Вращательно-колебательная связь

Две частицы, соединенные пружиной. В отсутствие пружины частицы разлетелись бы на части. Однако сила, создаваемая растянутой пружиной, тянет частицы на периодический колебательный путь.

В физике . вращательно-колебательная связь возникает, когда вращения системы частота близка или равна собственной частоте внутренних колебаний . Анимация справа показывает идеальное движение: сила, действующая на пружину , и расстояние от центра вращения увеличиваются линейно без трения .

При вращательно-колебательной связи угловая скорость колеблется. Притягивая вращающиеся массы ближе друг к другу, пружина передает накопленную энергию деформации в кинетическую энергию вращающихся масс, увеличивая их угловую скорость. Пружина не может соединить кружащиеся массы, поскольку притяжение пружины ослабевает по мере приближения кружащихся масс. В какой-то момент возрастающая угловая скорость вращающихся масс преодолевает силу пружины, в результате чего вращающиеся массы все больше отдаляются друг от друга. Это все больше растягивает пружину, усиливая ее натяжение и заставляя вращающиеся массы передавать свою кинетическую энергию в энергию деформации пружины, тем самым уменьшая угловую скорость вращающихся масс. В какой-то момент тяга пружины преодолевает угловую скорость вращающихся масс, возобновляя цикл.

В вертолетов конструкции вертолеты должны включать демпфирующие устройства, поскольку при определенных угловых скоростях вибрации лопастей винта могут усиливаться за счет вращательно-колебательной связи и катастрофически нарастать. Без демпфирования эти вибрации привели бы к поломке лопастей ротора.

Преобразование энергии

Движение кружащихся масс отображается в системе координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью.

Гармоническое колебание, восстанавливающая сила пропорциональна расстоянию от центра.

Анимация справа дает более четкое представление о колебании угловой скорости. Существует близкая аналогия с гармоническими колебаниями .

Когда гармоническое колебание находится в средней точке, вся энергия системы является кинетической энергией . Когда гармоническое колебание находится в точках, наиболее удаленных от средней точки, вся энергия системы является потенциальной энергией . Энергия системы колеблется между кинетической энергией и потенциальной энергией.

В анимации с двумя кружащимися массами происходит колебание кинетической и потенциальной энергии вперед и назад. Когда пружина максимально растянута, потенциальная энергия максимальна, а когда угловая скорость максимальна, кинетическая энергия максимальна.

В настоящей пружине присутствует трение. В настоящей пружине вибрация будет затухать, и в конечном итоге массы будут вращаться друг вокруг друга на постоянном расстоянии при постоянном натяжении пружины.

Математический вывод

В этом обсуждении применяются следующие упрощения: сама пружина считается невесомой, а пружина считается идеальной пружиной; восстанавливающая сила увеличивается линейно по мере растяжения пружины. То есть возвращающая сила точно пропорциональна расстоянию от центра вращения. Возвращающая сила с такой характеристикой называется гармонической силой .

Следующее параметрическое уравнение положения как функции времени описывает движение кружащихся масс:

$$x=a\cos(\omega t)$$ ( 1 )

$$y=b\sin(\omega t)$$ ( 2 )

где

• $a$ это большой радиус
• $b$ это малый радиус
• $\omega$ равен 360°, делённому на продолжительность одного оборота

Движение как функцию времени можно также рассматривать как векторную комбинацию двух равномерных круговых движений. Параметрические уравнения (1) и (2) можно переписать в виде:

Движение за счет гармонической силы, описываемой как движение по кругу + эпи-круг.

$$x=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\cos(\omega t)+\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\cos(\omega t)$$

$$y=\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)\sin(\omega t)-\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\sin(\omega t)$$

Преобразование в систему координат, которая вычитает общее круговое движение, оставляет эксцентриситет траектории в форме эллипса. центр эксцентриситета расположен на расстоянии $(a+b)/2$ от главного центра:

$$x=\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\cos(2\omega t)$$

$$y=-\left({\tfrac {a-b}{2}}\right)\sin(2\omega t)$$

Именно это и видно во второй анимации, в которой движение отображается в системе координат, вращающейся с постоянной угловой скоростью. Угловая скорость движения относительно вращающейся системы координат равна 2ω, что в два раза превышает угловую скорость всего движения. Пружина непрерывно совершает работу. Точнее, пружина колеблется между совершением положительной работы (увеличением кинетической энергии гири) и отрицательной работой (уменьшением кинетической энергии гири).

Обсуждение с использованием векторной записи

Центростремительная сила является гармонической силой.

$$\mathbf {F} =-\ C\mathbf {r}$$

Множество всех решений приведенного выше уравнения движения состоит как из круговых траекторий, так и из траекторий эллипсовидной формы. Все решения имеют одинаковый период обращения. Это отличительная особенность движения под действием гармонической силы; всем траекториям требуется одинаковое количество времени для совершения оборота.

Когда используется вращающаяся система координат, к уравнению движения добавляются центробежный член и член Кориолиса. Следующее уравнение дает ускорение относительно вращающейся системы объекта, находящегося в движении по инерции.

$$a\ =\ \Omega ^{2}\mathbf {r} \ +\ 2({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} )$$

Здесь Ω — угловая скорость вращающейся системы координат относительно инерциальной системы координат. v — скорость движущегося объекта относительно вращающейся системы координат. Важно отметить, что центробежный член определяется угловой скоростью вращающейся системы координат; центробежный член не относится к движению объекта.

В целом это дает следующие три члена в уравнении движения относительно системы координат, вращающейся с угловой скоростью Ω .

$$\mathbf {F} =-\ C\mathbf {r} +m\Omega ^{2}\mathbf {r} +2m({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} )$$

И центростремительная сила, и центробежный член в уравнении движения пропорциональны r . Угловая скорость вращающейся системы координат настраивается так, чтобы иметь тот же период вращения, что и у объекта, следующего по траектории в форме эллипса. Следовательно, вектор центростремительной силы и вектор центробежного члена на каждом расстоянии от центра равны друг другу по величине и противоположны по направлению, поэтому эти два члена падают друг против друга.
Лишь в очень особых обстоятельствах вектор центростремительной силы и центробежный член отклоняются друг от друга на каждом расстоянии от центра вращения. Это так тогда и только тогда, когда центростремительная сила является гармонической силой.
В этом случае в уравнении движения остается только член Кориолиса.

$$\mathbf {F} =2m({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} )$$

Поскольку вектор члена Кориолиса всегда направлен перпендикулярно скорости относительно вращающейся системы координат, из этого следует, что в случае восстанавливающей силы, которая является гармонической силой, эксцентриситет траектории будет проявляться как небольшое круговое движение. относительно вращающейся системы координат. Коэффициент 2 члена Кориолиса соответствует периоду вращения, который составляет половину периода общего движения.

Как и ожидалось, анализ с использованием векторной записи приводит к прямому подтверждению предыдущего анализа:
Пружина непрерывно совершает работу. Точнее, пружина колеблется между выполнением положительной работы (увеличением кинетической энергии гири) и отрицательной работой (уменьшением кинетической энергии гири).

Сохранение углового момента

В предыдущем разделе, озаглавленном «Преобразование энергии», динамика отслеживается путем отслеживания преобразований энергии . Увеличение угловой скорости при сокращении соответствует закону сохранения углового момента . Поскольку на вращающиеся грузы не действует крутящий момент , угловой момент сохраняется. Однако при этом игнорируется причинный механизм, который представляет собой силу растянутой пружины и работу, совершаемую во время ее сжатия и растяжения. Аналогично, при выстреле из пушки снаряд вылетит из ствола в сторону цели, а ствол откатится в соответствии с принципом сохранения импульса . Это не означает, что снаряд покидает ствол с большой скоростью из-за отдачи ствола. Хотя отдача ствола должна произойти, как описано в третьем законе Ньютона , она не является причинным фактором.

Причинный механизм заключается в превращениях энергии: взрыв пороха преобразует потенциальную химическую энергию в потенциальную энергию сильно сжатого газа. По мере расширения газа его высокое давление оказывает воздействие как на снаряд, так и на внутреннюю часть ствола. Именно под действием этой силы потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию как снаряда, так и ствола.

В случае вращательно-колебательной связи причинным фактором является сила, оказываемая пружиной. Пружина колеблется между выполнением работы и выполнением отрицательной работы. (Работа считается отрицательной, если направление силы противоположно направлению движения.)

См. также

• Вращательно-колебательная спектроскопия