Вариограмма

В пространственной статистике теоретическая вариограмма обозначается $2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})$ , – функция, описывающая степень пространственной зависимости пространственного случайного поля или случайного процесса $Z(\mathbf {s} )$ . Семивариограмма $\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})$ составляет половину вариограммы.

В случае конкретного примера из области добычи золота вариограмма даст меру того, насколько будут различаться процентное содержание золота в двух пробах, взятых из района добычи, в зависимости от расстояния между этими образцами. Образцы, взятые далеко друг от друга, будут различаться больше, чем образцы, взятые близко друг к другу.

Определение

Семивариограмма $\gamma (h)$ впервые был определен Матероном (1963) как половина среднеквадратичной разницы между значениями в точках ( $\mathbf {s} _{1}$ и $\mathbf {s} _{2}$ ) разделены на расстоянии $h$ . ^[1]^[2] Формально

\gamma (h)={\frac {1}{2V}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dV,

где $M$ это точка геометрического поля $V$ , и $f(M)$ это значение на данный момент. Тройной интеграл имеет более 3 измерений. $h$ представляет собой интересующее расстояние разделения (например, в метрах или км). Например, значение $f(M)$ может представлять содержание железа в почве в каком-то месте $M$ (с географическими координатами широты, долготы и высоты) над некоторым регионом $V$ с элементом объема $dV$ .Чтобы получить вариограмму для заданного $\gamma (h)$ , будут выбраны все пары точек на этом точном расстоянии. На практике невозможно отобрать образцы повсюду, поэтому эмпирическая вариограмма вместо этого используется .

Вариограмма в два раза превышает вариограмму и может быть эквивалентно определена как дисперсия разницы между значениями поля в двух местоположениях ( $\mathbf {s} _{1}$ и $\mathbf {s} _{2}$ , обратите внимание на изменение обозначений с $M$ к $\mathbf {s}$ и $f$ к $Z$ ) в разных реализациях поля (Cressie 1993):

2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))-E[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].

Если пространственное случайное поле имеет постоянное среднее значение $\mu$ , это эквивалентно ожиданию квадратичного приращения значений между местоположениями $\mathbf {s} _{1}$ и $s_{2}$ (Вакернагель 2003) (где $\mathbf {s} _{1}$ и $\mathbf {s} _{2}$ являются точками в пространстве и, возможно, во времени):

2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].

В случае стационарного процесса вариограмма и семивариограмма могут быть представлены в виде функции $\gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)$ разницы $h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}$ только между местоположениями по следующему соотношению (Cressie 1993):

\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}).

Если процесс, кроме того, изотропен , то вариограмма и семивариограмма могут быть представлены функцией $\gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})$ расстояния $h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|$ только (Кресси 1993):

\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).

Индексы $i$ или $s$ обычно не пишутся. Термины используются для всех трех форм функции. Более того, для обозначения семивариограммы иногда используют термин «вариограмма», а символ $\gamma$ иногда используется для вариограммы, что вносит некоторую путаницу. ^[3]

Характеристики

Согласно (Cressie 1993, Chiles and Delfiner 1999, Wackernagel 2003) теоретическая вариограмма обладает следующими свойствами:

Семивариограмма неотрицательна $\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0$ , так как это математическое ожидание квадрата.
Семивариограмма $\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0$ на расстоянии 0 всегда равно 0, поскольку $Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0$ .
Функция является вариограммой тогда и только тогда, когда она является условно отрицательно определенной функцией, т.е. для всех весов $w_{1},\ldots ,w_{N}$ при условии $\sum _{i=1}^{N}w_{i}=0$ и локации $s_{1},\ldots ,s_{N}$ он содержит:

\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j})w_{j}\leq 0

что соответствует тому, что дисперсия

var(X)

из

X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})

задается отрицательным значением этой двойной суммы и должно быть неотрицательным. ^{[ оспаривается – обсуждаем ]}

Если ковариационная функция стационарного процесса существует, она связана с вариограммой соотношением
$2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})$
Если стационарное случайное поле не имеет пространственной зависимости (т.е. $C(h)=0$ если $h\not =0$ ), вариограмма – это константа $var(Z(\mathbf {s} ))$ везде, кроме начала координат, где оно равно нулю.
$\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})$ является симметричной функцией.
Следовательно, $\gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)$ является четной функцией .
Если случайное поле стационарно и эргодично , то $\lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=var(Z(\mathbf {s} ))$ соответствует дисперсии поля. Предел вариограммы также называют ее порогом .
Как следствие, вариограмма может быть прерывистой только в начале координат. Высоту скачка в начале координат иногда называют эффектом самородка или самородка.

Параметры

Таким образом, для описания вариограмм часто используются следующие параметры:

самородок $n$ : Высота скачка вариограммы на разрыве в начале координат.
подоконник $s$ : Предел вариограммы, стремящейся к бесконечности.
диапазон $r$ : Расстояние, на котором отличие вариограммы от порога становится незначительным. В моделях с фиксированным подоконником – это расстояние, на котором он впервые достигается; для моделей с асимптотическим порогом за него принято считать расстояние, на котором полудисперсия впервые достигает 95% порога.

Эмпирическая вариограмма

Обычно эмпирическая вариограмма , поскольку информация об образце для измеренных данных необходима $Z$ доступен не для каждого местоположения. Информацией об образце, например, может быть концентрация железа в образцах почвы или интенсивность пикселей на камере. Каждая часть информации об образце имеет координаты. $\mathbf {s} =(x,y)$ для 2D-пространства выборки, где $x$ и $y$ являются географическими координатами. В случае железа в почве пространство образца может быть трехмерным. Если также существует временная изменчивость (например, содержание фосфора в озере), то $\mathbf {s}$ может быть 4-мерный вектор $(x,y,z,t)$ . В случае, когда размеры имеют разные единицы измерения (например, расстояние и время), тогда коэффициент масштабирования $B$ можно применить к каждому из них для получения модифицированного евклидова расстояния. ^[4]

Выборочные наблюдения обозначены $Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}$ . Образцы можно взять по адресу $k$ вообще разные локации. Это предоставит набор образцов $z_{1},\ldots ,z_{k}$ в локациях $\mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{k}$ . Обычно на графиках показаны значения вариограммы как функция разделения точек отбора проб. $h$ . В случае эмпирической вариограммы интервалы разделения расстояний $h\pm \delta$ используются, а не точные расстояния, и обычно предполагаются изотропные условия (т. е. что $\gamma$ является лишь функцией $h$ и не зависит от других переменных, таких как центральное положение). Тогда эмпирическая семивариограмма ${\hat {\gamma }}(h\pm \delta )$ можно рассчитать для каждого контейнера:

{\hat {\gamma }}(h\pm \delta ):={\frac {1}{2|N(h\pm \delta )|}}\sum _{(i,j)\in N(h\pm \delta )}|z_{i}-z_{j}|^{2}

Или, другими словами, каждая пара точек, разделенных $h$ (плюс или минус некоторый диапазон допуска ширины бункера $\delta$ ) найдены. Они образуют набор точек $N(h\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):|\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}|=h\pm \delta ;i,j=1,\ldots ,N\}$ . Число этих точек в этом интервале равно $|N(h\pm \delta )|$ . Тогда для каждой пары точек $i,j$ , находится квадрат разницы в наблюдениях (например, содержания образца почвы или интенсивности пикселей) ( $|z_{i}-z_{j}|^{2}$ ). Эти квадраты разностей складываются и нормализуются по натуральному числу. $|N(h\pm \delta )|$ . По определению результат делится на 2 для вариограммы на этом расстоянии.

Для скорости вычислений необходимы только уникальные пары точек. Например, для 2 пар наблюдений [ $(z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})$ ] взято из мест с разделением $h\pm \delta$ только [ $(z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})$ ] необходимо учитывать, так как пары [ $(z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})$ ] не предоставляют никакой дополнительной информации.

Модели вариограммы

Эмпирическую вариограмму невозможно вычислить на каждом расстоянии задержки. $h$ и из-за различий в оценке не гарантируется, что это действительная вариограмма, как определено выше. Однако некоторые геостатистические методы, такие как кригинг, требуют достоверных вариограмм. Таким образом, в прикладной геостатистике эмпирические вариограммы часто аппроксимируются модельной функцией, обеспечивающей достоверность (Chiles&Delpfiner 1999). Вот некоторые важные модели (Chiles&Delfiner 1999, Cressie 1993):

Модель экспоненциальной вариограммы
$\gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).$
Модель сферической вариограммы
$\gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).$
Модель гауссовой вариограммы
$\gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).$

Параметр $a$ имеет разные значения в разных справочниках из-за неоднозначности определения диапазона. Например $a=1/3$ это значение, использованное в (Chiles&Delphiner 1999). $1_{A}(h)$ функция равна 1, если $h\in A$ и 0 в противном случае.

Обсуждение

используются три функции В геостатистике для описания пространственной или временной корреляции наблюдений : это коррелограмма , ковариация и семивариограмма . Последнюю еще проще называют вариограммой .

Вариограмма является ключевой функцией в геостатистике, поскольку она будет использоваться для построения модели временной/ пространственной корреляции наблюдаемого явления. Таким образом, проводится различие между экспериментальной вариограммой , которая представляет собой визуализацию возможной пространственной/временной корреляции, и моделью вариограммы , которая в дальнейшем используется для определения весов функции кригинга . Обратите внимание, что экспериментальная вариограмма представляет собой эмпирическую оценку ковариации гауссова процесса . По существу, он не может быть положительно определенным и, следовательно, не может быть использован непосредственно в кригинге без ограничений или дальнейшей обработки. Это объясняет, почему используется лишь ограниченное количество моделей вариограмм: чаще всего линейная, сферическая, гауссовая и экспоненциальная модели.

Приложения

Эмпирическая вариограмма используется в геостатистике в качестве первой оценки модели вариограммы, необходимой для пространственной интерполяции методом кригинга .

Эмпирические вариограммы пространственно-временной изменчивости усредненной по столбцу концентрации углекислого газа использовались для определения критериев совпадения спутниковых и наземных измерений. ^[4]
Эмпирические вариограммы рассчитывались для плотности гетерогенного материала (Гилсокарбон). ^[5]
Эмпирические вариограммы рассчитываются на основе наблюдений сильных движений грунта в результате землетрясений . ^[6] Эти модели используются для оценки сейсмического риска и потерь пространственно-распределенной инфраструктуры. ^[7]

Связанные понятия

Квадратный член в вариограмме, например $(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}$ , можно заменить разными степенями: Мадограмма определяется с абсолютной разностью , $|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|$ , а родограмма определяется квадратным корнем абсолютной разности, $|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}$ . Оценщики, основанные на этих более низких степенях, считаются более устойчивыми к выбросам . Их можно обобщить как «вариограмму порядка α »,

2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]

,

у которых вариограмма имеет 2-й порядок, мадограмма — вариограмма 1-го порядка, родограмма — вариограмма 0,5-го порядка. ^[8]

Когда вариограмма используется для описания корреляции различных переменных, ее называют кросс-вариограммой . Кросс-вариограммы используются в ко-кригинге .Если переменная является бинарной или представляет классы значений, тогда речь идет об индикаторных вариограммах . Индикаторные вариограммы используются в индикаторном кригинге .

Ссылки

^ Матерон, Жорж (1963). «Принципы геостатистики». Экономическая геология . 58 (8): 1246–1266. дои : 10.2113/gsecongeo.58.8.1246 . ISSN 1554-0774 .
^ Форд, Дэвид. «Эмпирическая вариограмма» (PDF) . факультет.washington.edu/edford . Проверено 31 октября 2017 г.
^ Бахмайер, Мартин; Бэкес, Маттиас (24 февраля 2008 г.). «Вариограмма или семивариограмма? Понимание дисперсий вариограммы». Точное земледелие . 9 (3). ООО «Спрингер Сайенс и Бизнес Медиа»: 173–175. дои : 10.1007/s11119-008-9056-2 . ISSN 1385-2256 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Нгуен, Х.; Остерман, Г.; Вунч, Д.; О'Делл, К.; Мандрагора, Л.; Веннберг, П.; Фишер, Б.; Кастано, Р. (2014). «Метод сопоставления спутниковых данных X _{CO ₂} с наземными данными и его применение в ACOS-GOSAT и TCCON» . Методы измерения атмосферы . 7 (8): 2631–2644. Бибкод : 2014AMT.....7.2631N . дои : 10.5194/amt-7-2631-2014 . ISSN 1867-8548 .
^ Арреги Мена, доктор юридических наук; и др. (2018). «Характеристика пространственной изменчивости свойств материалов Gilsocarbon и NBG-18 с использованием случайных полей» . Журнал ядерных материалов . 511 : 91–108. Бибкод : 2018JNuM..511...91A . дои : 10.1016/j.jnucmat.2018.09.008 .
^ Скьяппапьетра, Эрика; Дуглас, Джон (апрель 2020 г.). «Моделирование пространственной корреляции движения грунта при землетрясении: выводы из литературы, данные последовательности землетрясений в Центральной Италии в 2016–2017 годах и моделирование движения грунта» . Обзоры наук о Земле . 203 : 103139. Бибкод : 2020ESRv..20303139S . doi : 10.1016/j.earscirev.2020.103139 .
^ Соколов Владимир; Венцель, Фридеманн (25 июля 2011 г.). «Влияние пространственной корреляции сильных движений грунта на неопределенность оценки ущерба от землетрясения». Сейсмическая инженерия и структурная динамика . 40 (9): 993–1009. дои : 10.1002/eqe.1074 .
^ Олеа, Рикардо А. (1991). Геостатистический глоссарий и многоязычный словарь . Издательство Оксфордского университета. стр. 47, 67, 81. ISBN. 9780195066890 .

Дальнейшее чтение

Кресси, Н., 1993, Статистика пространственных данных, Wiley Interscience.
Чайлз, Дж. П., П. Дельфинер, 1999, Геостатистика, моделирование пространственной неопределенности, Wiley-Interscience.
Вакернагель, Х., 2003, Многомерная геостатистика, Springer.
Берроу, Пенсильвания и Макдоннелл, Р.А., 1998, Принципы географических информационных систем.
Изобель Кларк, 1979, Практическая геостатистика, Издательство прикладной науки .
Кларк И., 1979, Практическая геостатистика , Издательство Applied Science Publishers.
Дэвид, М., 1978, Геостатистическая оценка запасов руды , издательство Elsevier.
Хальд А., 1952, Статистическая теория с инженерными приложениями , John Wiley & Sons, Нью-Йорк.
Журнель, А.Г. и Хейбрегтс, Ч. Дж., 1978 Горная геостатистика , Академическое издательство.
Гласс, Х.Дж., 2003, Метод оценки качества вариограммы, Журнал Южноафриканского института горного дела и металлургии .

Внешние ссылки

[Matheron1963-1] Матерон, Жорж (1963). «Принципы геостатистики». Экономическая геология . 58 (8): 1246–1266. дои : 10.2113/gsecongeo.58.8.1246 . ISSN 1554-0774 .

[2] Форд, Дэвид. «Эмпирическая вариограмма» (PDF) . факультет.washington.edu/edford . Проверено 31 октября 2017 г.

[3] Бахмайер, Мартин; Бэкес, Маттиас (24 февраля 2008 г.). «Вариограмма или семивариограмма? Понимание дисперсий вариограммы». Точное земледелие . 9 (3). ООО «Спрингер Сайенс и Бизнес Медиа»: 173–175. дои : 10.1007/s11119-008-9056-2 . ISSN 1385-2256 .

[Nguyen2014-4] Перейти обратно: ^а ^б Нгуен, Х.; Остерман, Г.; Вунч, Д.; О'Делл, К.; Мандрагора, Л.; Веннберг, П.; Фишер, Б.; Кастано, Р. (2014). «Метод сопоставления спутниковых данных X _{CO ₂} с наземными данными и его применение в ACOS-GOSAT и TCCON» . Методы измерения атмосферы . 7 (8): 2631–2644. Бибкод : 2014AMT.....7.2631N . дои : 10.5194/amt-7-2631-2014 . ISSN 1867-8548 .

[arregui18-5] Арреги Мена, доктор юридических наук; и др. (2018). «Характеристика пространственной изменчивости свойств материалов Gilsocarbon и NBG-18 с использованием случайных полей» . Журнал ядерных материалов . 511 : 91–108. Бибкод : 2018JNuM..511...91A . дои : 10.1016/j.jnucmat.2018.09.008 .

[6] Скьяппапьетра, Эрика; Дуглас, Джон (апрель 2020 г.). «Моделирование пространственной корреляции движения грунта при землетрясении: выводы из литературы, данные последовательности землетрясений в Центральной Италии в 2016–2017 годах и моделирование движения грунта» . Обзоры наук о Земле . 203 : 103139. Бибкод : 2020ESRv..20303139S . doi : 10.1016/j.earscirev.2020.103139 .

[7] Соколов Владимир; Венцель, Фридеманн (25 июля 2011 г.). «Влияние пространственной корреляции сильных движений грунта на неопределенность оценки ущерба от землетрясения». Сейсмическая инженерия и структурная динамика . 40 (9): 993–1009. дои : 10.1002/eqe.1074 .

[8] Олеа, Рикардо А. (1991). Геостатистический глоссарий и многоязычный словарь . Издательство Оксфордского университета. стр. 47, 67, 81. ISBN. 9780195066890 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]