Формула порядка Томпсона

В математической конечных теории , групп формула порядка Томпсона введенная Джоном Григгсом Томпсоном ( Held 1969 , стр.279), дает формулу порядка конечной группы в терминах централизаторов инволюций, расширяя результаты Брауэра и Фаулера. (1955) .

Заявление

Если конечная группа G имеет ровно два класса сопряженных инволюций с представителями t и z , то формула порядка Томпсона ( Aschbacher 2000 , 45.6) ( Suzuki 1986 , 5.1.7) гласит:

$|G|=|C_{g}(z)|a(t)+|C_{g}(t)|a(z)$

Здесь a ( x ) — количество пар ( u , v ) с u, сопряженным с t , v , сопряженным с z , и x в подгруппе, порожденной uv .

Харрис (1972 , 3.10) дает следующую более сложную версию формулы порядка Томпсона для случая, когда G имеет более двух классов сопряженности инволюции.

$|G|=C_{G}(t)C_{G}(z)\sum _{x}{\frac {a(x)}{C_{G}(x)}}$

где t и z — несопряженные инволюции, сумма ведется по множеству представителей x для классов сопряженности инволюций, а a ( x ) — количество упорядоченных пар инволюций u , v таких, что u сопряжено с t , v сопряжен с z , а x — инволюция в подгруппе, порожденной tz .

Доказательство

Формулу порядка Томпсона можно переписать как

${\frac {|G|}{C_{G}(z)}}{\frac {|G|}{C_{G}(t)}}=\sum _{x}a(x){\frac {|G|}{C_{G}(x)}}$

где, как и раньше, сумма ведется по множеству представителей x классов инволюций. В левой части указано количество пар инволюций ( u , v ), где u сопряжено с t , v сопряжено с z . В правой части эти пары подсчитываются по классам в зависимости от класса инволюции в циклической группе, порожденной uv . Ключевым моментом является то, что uv имеет четный порядок (как будто бы он имел нечетный порядок, тогда u и v были бы сопряжены), и поэтому создаваемая им группа содержит уникальную инволюцию x .

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 10 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-78675-1 , МР   1777008
• Брауэр, Р .; Фаулер, К.А. (1955), «О группах четного порядка», Annals of Mathematics , Second Series, 62 : 565–583, doi : 10.2307/1970080 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970080 , MR   0074414
• Харрис, Мортон Э. (1972), «Характеристика расширений нечетного порядка конечных проективных симплектических групп PSp(4,q)», Труды Американского математического общества , 163 : 311–327, doi : 10.2307/1995724 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1995724 , MR   0286897
• Хелд, Дитер (1969), «Простые группы, связанные с M ₂₄ », Journal of Algebra , 13 : 253–296, doi : 10.1016/0021-8693(69)90074-X , ISSN   0021-8693 , 0249500
• Судзуки, Мичио (1986), Теория групп. II , Фундаментальные принципы математических наук, т. 1, с. 248, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-10916-9 , МР   0815926