Динамическое подобие (числа Рейнольдса и Уомерсли)

В жидкости механике динамическое подобие — это явление, заключающееся в том, что когда имеются два геометрически подобных сосуда (одинаковой формы, разных размеров) с одинаковыми граничными условиями (например, прилипание, скорость по центральной линии) и одинаковыми Рейнольдса и числами Уомерсли , то потоки жидкости будут одинаковыми. Это можно увидеть из рассмотрения основного уравнения Навье-Стокса с геометрически подобными телами, равными числам Рейнольдса и Уомерсли, которые являются функциями скорости (u',v',w') и давления (P') для любого изменения потока. ^[1]

Вывод

Число Рейнольдса и число Уомерсли — единственные два физических параметра, необходимые для решения задачи о течении несжимаемой жидкости. Число Рейнольдса определяется следующим образом:

N_{R}={\tfrac {VL\rho }{\mu }}.\,\!

Члены самого уравнения представляют собой следующее:

N_{R}={{\text{Convective Inertial Force}} \over {\text{Shear Force}}}.\,\!

.

Когда число Рейнольдса велико, это показывает, что в потоке преобладают конвективные инерционные эффекты; Когда число Рейнольдса мало, это показывает, что в потоке преобладают эффекты сдвига. Число Уомерсли определяется как:

N_{W}=L{\sqrt {\tfrac {\omega \rho }{\mu }}}={\sqrt {N_{S}}}\,\!

,

что является просто квадратным корнем числа Стокса; члены самого уравнения представляют собой следующее:

N_{W}={{\text{Transient Inertial Force}} \over {\text{Shear Force}}}.\,\!

.

Когда число Уомерсли велико (около 10 или больше), это показывает, что в потоке преобладают колебательные силы инерции и что профиль скорости плоский. Когда параметр Уомерсли мал, силы вязкости имеют тенденцию доминируют в потоке, профили скорости имеют параболическую форму, а скорость по центральной линии колеблется в фазе с движущим градиентом давления. ^[2]

Начнем с уравнения Навье – Стокса для декартова потока:

{\rho }\left({\frac {{\partial }u}{{\partial }t}}+u{\frac {{\partial }u}{{\partial }x}}+v{\frac {{\partial }u}{{\partial }y}}+w{\frac {{\partial }u}{{\partial }z}}\right)={\rho }g-{\frac {{\partial }P}{{\partial }x}}+{\mu }\left({\frac {{\partial ^{2}}u}{{\partial }x^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}v}{{\partial }y^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}w}{{\partial }z^{2}}}\right).\,\!

.

Члены самого уравнения представляют собой следующее:

 ${\text{transient inertial forces + convective inertial forces}}={\text{gravitational force + Pressure force + viscous forces}}.\,\!$  ^[3]

Пренебрегая гравитационными силами и разделив уравнение на плотность ( $\rho$ ) дает:

\left({\frac {{\partial }u}{{\partial }t}}+u{\frac {{\partial }u}{{\partial }x}}+v{\frac {{\partial }u}{{\partial }y}}+w{\frac {{\partial }u}{{\partial }z}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {{\partial }P}{{\partial }x}}+{\nu }\left({\frac {{\partial ^{2}}u}{{\partial }x^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}v}{{\partial }y^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}w}{{\partial }z^{2}}}\right),\,\!

,

где $\nu ={\mu }/{\rho }$ – кинематическая вязкость. Поскольку числа Рейнольдса и Уомерсли безразмерны, Навье-Стокса также необходимо представить как безразмерное выражение. Выбор $V$ , $\omega$ , и $L$ как характерная скорость, частота и длина соответственно дают безразмерные переменные: Безразмерная длина (то же самое для y' и z'): $x'={x/L}\,\!$ , Безразмерная скорость (то же самое для v' и w'): $u'={u/V}\,\!$ , Безразмерное давление: $P'={P/{{\rho }V^{2}}}\,\!$ , Безразмерный срок: $t'=t{\omega }\,\!$ . Разделив уравнение Навье-Стокса на ${\tfrac {V^{2}}{L}}\,\!$ (Термин конвективной инерционной силы) дает:

{\frac {{N_{W}}^{2}}{N_{R}}}\left({\frac {{\partial }u'}{{\partial }t'}}\right)+\left(u'{\frac {{\partial }u'}{{\partial }x'}}+v'{\frac {{\partial }u'}{{\partial }y'}}+w'{\frac {{\partial }u'}{{\partial }z'}}\right)=-{\frac {{\partial }P'}{{\partial }x'}}+{\frac {1}{N_{R}}}\left({\frac {{\partial ^{2}}u'}{{\partial }x'^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}v'}{{\partial }y'^{2}}}+{\frac {{\partial ^{2}}w'}{{\partial }z'^{2}}}\right)\,\!

,

С добавлением безразмерного уравнения неразрывности (см. ниже) в любой задаче о движении несжимаемой жидкости числа Рейнольдса и Уомерсли становятся единственными двумя физическими параметрами, которые входят в эти два уравнения:

{\frac {{\partial }u'}{{\partial }x'}}+{\frac {{\partial }v'}{{\partial }y'}}+{\frac {{\partial }w'}{{\partial }z'}}=0.\,\!

, ^[4]

Толщина пограничного слоя

Числа Рейнольдса и Уомерсли также используются для расчета толщины пограничных слоев , которые могут образоваться в результате вязкого воздействия потока жидкости. Число Рейнольдса используется для расчета толщины конвективного инерционного пограничного слоя, который может образоваться, а число Уомерсли используется для расчета переходной толщины инерционного пограничного слоя, который может образоваться. Из числа Уомерсли можно показать, что переходная сила инерции представлена выражением ${\rho }{\omega }V\,\!$ и, судя по последнему члену немодифицированного уравнения Навье-Стокса, вязкая сила выражается выражением ${\tfrac {\mu V}{\delta _{1}^{2}}}\,\!$ (индекс один указывает на то, что толщина пограничного слоя равна толщине переходного пограничного слоя). Установив две силы равными друг другу, получим: ${\rho }{\omega }V={\tfrac {\mu V}{\delta _{1}^{2}}}\,\!$ Решение для ${\delta }_{1}\,\!$ дает: ${\delta }_{1}={\sqrt {\tfrac {\mu }{\rho \omega }}}\,\!$ Прибавление характеристической длины (L) к обеим сторонам дает соотношение: ${\tfrac {L}{\delta _{1}}}=L{\sqrt {\tfrac {\rho \omega }{\mu }}}=L{\sqrt {\tfrac {\omega }{\nu }}}=N_{W}\,\!$ Таким образом, можно видеть, что когда поток имеет высокое число Уомерсли, толщина переходного пограничного слоя очень мала по сравнению с характерной длиной, которая для круглых сосудов представляет собой радиус. Как было показано ранее, конвективная инерционная сила представлена термином ${\tfrac {{\rho }{V^{2}}}{L}}\,\!$ ; приравнивание этого к члену вязкой силы дает: ${\tfrac {{\rho }{V^{2}}}{L}}={\tfrac {{\mu }{V}}{\delta _{2}^{2}}}.\,\!$ Решение проблемы толщины конвективного пограничного слоя дает: ${\delta }_{2}={\sqrt {\tfrac {\mu L}{\rho V}}}.\,\!$ Учет характеристической длины дает соотношение: ${\tfrac {L}{\delta _{2}}}={\sqrt {\tfrac {\rho VL}{\mu }}}={\sqrt {\tfrac {VL}{\nu }}}={\sqrt {N_{R}}}.\,\!$ Из уравнения показано, что для потока с большим числом Рейнольдса будет соответственно малый конвективный пограничный слой по сравнению с характерной длиной сосуда. ^[5] Зная числа Рейнольдса и Уомерсли для данного потока, можно рассчитать как переходную, так и конвективную толщину пограничного слоя и связать их с потоком в другой системе. Толщина пограничного слоя также полезна для определения того, когда жидкость можно рассматривать как идеальную жидкость. Это расстояние превышает толщину обоих пограничных слоев. ^[6]

См. также

Ссылки

^ Джонс, Роберт Т. «Поток крови», Ежегодный обзор механики жидкости , 1 (1969) 223: 244.
^ Ку, Дэвид Н. «Кровь в артериях», Ежегодный обзор механики жидкости , 1 (1969) 223:44.
^ Фунг, Юань-чэн. «Биомеханика: кровообращение», « Динамическое подобие », «Нью-Йорк: Спрингер», 2 (2008) 130:134.
^ ван де Воссе, Франс М. «Распространение пульсовой волны в артериальном дереве», Annual Review of Fluid Mechanics , 43 (2011) 467:499.
^ Скалак, Ричард. «Механика биожидкостей», Ежегодный обзор механики жидкостей , 21 (1989) 167:204.
^ Тейлор, М.Г. «Гемодинамика», Ежегодный обзор физиологии , 35 (1973) 87:116.

[1] Джонс, Роберт Т. «Поток крови», Ежегодный обзор механики жидкости , 1 (1969) 223: 244.

[2] Ку, Дэвид Н. «Кровь в артериях», Ежегодный обзор механики жидкости , 1 (1969) 223:44.

[3] Фунг, Юань-чэн. «Биомеханика: кровообращение», « Динамическое подобие », «Нью-Йорк: Спрингер», 2 (2008) 130:134.

[4] ван де Воссе, Франс М. «Распространение пульсовой волны в артериальном дереве», Annual Review of Fluid Mechanics , 43 (2011) 467:499.

[5] Скалак, Ричард. «Механика биожидкостей», Ежегодный обзор механики жидкостей , 21 (1989) 167:204.

[6] Тейлор, М.Г. «Гемодинамика», Ежегодный обзор физиологии , 35 (1973) 87:116.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]