Оптимальные инструменты

В статистике и эконометрике , оптимальные инструменты это метод повышения эффективности оценок — в моделях условных моментов , классе полупараметрических моделей которые генерируют условные функции ожидания. Чтобы оценить параметры модели условного момента, статистик может вывести функцию ожидания (определяющую «моментные условия») и использовать обобщенный метод моментов (GMM). Однако существует бесконечно много моментных условий, которые можно создать на основе одной модели; оптимальные инструменты обеспечивают наиболее эффективные моментные условия.

В качестве примера рассмотрим нелинейной регрессии модель .

$y=f(x,\theta )+u$

$E[u\mid x]=0$

где y — скалярная (одномерная) случайная величина , x — случайный вектор размерности k , а θ — k -мерный параметр . Условное ограничение момента $E[u\mid x]=0$ согласуется с бесконечным множеством моментных условий. Например:

$E[ux]=E[ux^{2}]=E[ux^{3}]=\dots =0$

В более общем смысле, для любой векторной функции z от x будет так, что

$E[z(x)(y-f(x,\theta ))]=0$.

То есть z определяет конечный набор условий ортогональности .

Тогда возникает естественный вопрос: существует ли асимптотически эффективный набор условий в том смысле, что ни один другой набор условий не обеспечивает более низкую асимптотическую дисперсию . Оба специалиста по эконометрике и статистики тщательно изучили этот предмет.

Ответ на этот вопрос обычно заключается в том, что это конечное множество существует и было доказано для широкого круга оценок. Такеши Амемия был одним из первых, кто работал над этой проблемой и показал оптимальное количество инструментов для нелинейных моделей одновременных уравнений с гомоскедастическими и серийно некоррелированными ошибками. Форму оптимальных инструментов охарактеризовал Ларс Петер Хансен , а результаты непараметрической оценки оптимальных инструментов предоставлены Ньюи. Результат для оценок ближайших соседей был предоставлен Робинсоном.

В линейной регрессии

Технику оптимальных инструментов можно использовать, чтобы показать, что в модели линейной регрессии условного момента с данными iid оптимальной оценкой GMM является обобщенный метод наименьших квадратов . Рассмотрим модель

$y=x^{\mathrm {T} }\theta +u$

$E[u\mid x]=0$

где y — скалярная случайная величина, x — k -мерный случайный вектор, а θ — k -мерный вектор параметров. Как и выше, моментные условия

$E[z(x)(y-x^{\mathrm {T} }\theta )]=0$

где z = z ( x ) — набор инструментов размерности p ( p ≥ k ). Задача состоит в том, чтобы выбрать z так, чтобы минимизировать асимптотическую дисперсию полученной оценки GMM. Если данные iid , асимптотическая дисперсия средства оценки GMM равна

$(E[xz^{\mathrm {T} }]^{\mathrm {T} }E[\sigma ^{2}(x)zz^{\mathrm {T} }]^{-1}E[zx^{\mathrm {T} }])^{-1}$

где $\sigma ^{2}(x)\equiv E[u^{2}\mid x]$.

Оптимальные инструменты даны

$z^{*}(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}(x)}}$

что дает асимптотическую матрицу дисперсии

$\left(E\left[{\frac {xx^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x)}}\right]\right)^{-1}.$

Это оптимальные инструменты, поскольку для любого другого z матрица

$\left(E\left[{\frac {xx^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x)}}\right]\right)^{-1}-(E[xz^{\mathrm {T} }]^{\mathrm {T} }E[\sigma ^{2}(x)zz^{\mathrm {T} }]^{-1}E[zx^{\mathrm {T} }])^{-1}$

является положительно полуопределенным .

Учитывая iid данные $(y_{1},x_{1}),\dots ,(y_{N},x_{N})$, оценка GMM, соответствующая $z^{*}(x)$ является

${\widetilde {\theta }}=\left(\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}x_{i}^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x_{i})}}\right)^{-1}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}y_{i}}{\sigma ^{2}(x_{i})}}$

что является обобщенной оценкой наименьших квадратов. (Это невозможно, поскольку σ ² (·) неизвестно.)

Дальнейшее чтение

• Циатис, А.А. (2006). Полупараметрическая теория и недостающие данные . Серия Спрингера по статистике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-32448-8 .