Модуль плавности

В математике используются модули гладкости для количественной оценки гладкости функций. Модули гладкости обобщают модуль непрерывности и используются в теории приближений и численном анализе для оценки ошибок аппроксимации полиномами и сплайнами .

Модули плавности

Модуль гладкости порядка $n$ функции $f\in C[a,b]$ это функция $\omega _{n}:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ определяется

$\omega _{n}(t,f,[a,b])=\sup _{h\in [0,t]}\sup _{x\in [a,b-nh]}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|\qquad {\text{for}}\quad 0\leq t\leq {\frac {b-a}{n}},$

и

$\omega _{n}(t,f,[a,b])=\omega _{n}\left({\frac {b-a}{n}},f,[a,b]\right)\qquad {\text{for}}\quad t>{\frac {b-a}{n}},$

где конечная разность ( прямая разность n -го порядка) определяется как

$\Delta _{h}^{n}(f,x_{0})=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f(x_{0}+ih).$

Характеристики

1. $\omega _{n}(0)=0,\omega _{n}(0+)=0.$

2. $\omega _{n}$ не убывает на $[0,\infty ).$

3. $\omega _{n}$ постоянно включен $[0,\infty ).$

4. Для $m\in \mathbb {N} ,t\geq 0$ у нас есть:

$\omega _{n}(mt)\leq m^{n}\omega _{n}(t).$

5. $\omega _{n}(f,\lambda t)\leq (\lambda +1)^{n}\omega _{n}(f,t),$ для $\lambda >0.$

6. Для $r\in \mathbb {N}$ позволять $W^{r}$ обозначим пространство непрерывной функции на $[-1,1]$ которые имеют $(r-1)$-st абсолютно непрерывная производная по $[-1,1]$ и

$\left\|f^{(r)}\right\|_{L_{\infty }[-1,1]}<+\infty .$

Если $f\in W^{r},$ затем

$\omega _{r}(t,f,[-1,1])\leq t^{r}\left\|f^{(r)}\right\|_{L_{\infty }[-1,1]},t\geq 0,$

где $\|g(x)\|_{L_{\infty }[-1,1]}={\mathrm {ess} \sup }_{x\in [-1,1]}|g(x)|.$

Приложения

Модули гладкости можно использовать для доказательства оценок погрешности аппроксимации. Благодаря свойству (6) модули гладкости дают более общие оценки, чем оценки через производные.

Например, модули гладкости используются в неравенстве Уитни для оценки погрешности локальной полиномиальной аппроксимации. Другое применение даёт следующая более общая версия неравенства Джексона :

Для каждого натурального числа $n$, если $f$ является $2\pi$-периодическая непрерывная функция, существует тригонометрический полином $T_{n}$ степени $\leq n$ такой, что

$\left|f(x)-T_{n}(x\right)|\leq c(k)\omega _{k}\left({\frac {1}{n}},f\right),\quad x\in [0,2\pi ],$

где константа $c(k)$ зависит от $k\in \mathbb {N} .$