Инвариант Решетихина–Тураева.

В математической области квантовой топологии инварианты Решетихина –Тураева ( RT-инварианты ) представляют собой семейство квантовых инвариантов оснащенных связей .Такие инварианты оснащенных связей также порождают инварианты 3-многообразий посредством конструкции хирургии Дена . Эти инварианты были открыты Николаем Решетихиным и Владимиром Тураевым в 1991 году. ^[1] и должны были стать математической реализацией предложенных Виттеном инвариантов зацеплений и трехмерных многообразий с использованием квантовой теории поля . ^[2]

Обзор

Чтобы получить RT-инвариант, нужно сначала иметь $\Bbbk$ -Линейная категория ленты под рукой. Каждый $\Bbbk$ Категория -линейной ленты снабжена диаграммным исчислением, в котором морфизмы представлены определенными декорированными диаграммами клубка в рамке , где начальные и конечные объекты представлены граничными компонентами клубка. В этом исчислении диаграмма связей (оформленная в рамке) $L$ , будучи клубком без границы (декоративно оформленным), представляет собой эндоморфизм моноидального тождества (пустое множество в этом исчислении) или, другими словами, элемент $\Bbbk$ . Этот элемент $\Bbbk$ – RT-инвариант, связанный с $L$ . Для любого замкнутого ориентированного 3-многообразия $M$ , существует ссылка в рамке $L$ в 3-сфере $S^{3}$ так что $M$ гомеоморфно многообразию $M_{L}$ полученный путем нагнетания $S^{3}$ вдоль $L$ . Два таких многообразия $M_{L}$ и $M_{L^{\prime }}$ гомеоморфны тогда и только тогда, когда $L$ и $L^{\prime }$ связаны последовательностью ходов Кирби . Решетихин и Тураев ^[1] использовал эту идею для построения инвариантов 3-многообразий путем объединения определенных RT-инвариантов в выражение, инвариантное относительно движений Кирби. Такие инварианты 3-многообразий известны как инварианты Виттена–Решетихина–Тураева ( WRT-инварианты ).

Примеры

Позволять $A$ быть ленточной алгеброй Хопфа над полем $\Bbbk$ (можно взять, например, любую квантовую группу над $\mathbb {C}$ ). Рассмотрим категорию ${\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)$ , конечномерных представлений $A$ . Существует схематическое исчисление, в котором морфизмы в ${\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)$ представлены в виде каркасных диаграмм клубков, где каждый компонент связности украшен конечномерным представлением $A$ ^[3]. То есть, ${\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)$ это $\Bbbk$ -линейная категория ленты. Таким образом, каждая ленточная алгебра Хопфа $A$ порождает инвариант структурированных ссылок, окрашенных представлениями $A$ (RT-инвариант).

Для квантовой группы $A=U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} ))$ над полем $\mathbb {C} (q)$ , соответствующий RT-инвариант для зацеплений и 3-многообразий порождает следующее семейство инвариантов зацеплений, появляющееся в теории мотков . Позволять $L$ быть ссылкой в рамке $S^{3}$ с $m$ компоненты. Для каждого $r\in \mathbb {N}$ , позволять ${\text{RT}}_{r}(S^{3},L)$ обозначим RT-инвариант, полученный декорированием каждой компоненты $L$ уникальным $N+1$ -мерное представление $A$ . Затем

\operatorname {RT} _{r}(S^{3},L)=\langle e_{n},e_{n},\dots ,e_{n}\rangle _{L}\in \mathbb {C} (q)

где $m$ -кортеж, $\langle e_{n},e_{n},\dots ,e_{n}\rangle _{L}$ обозначает полином Кауфмана связи $L$ , где каждый из $m$ компоненты связаны идемпотентом Джонса – Венцля. $e_{n}$ , специальный элемент алгебры Темперли–Либа .

Чтобы определить соответствующий WRT-инвариант для 3-многообразий, прежде всего выберем $t$ быть либо $2r$ -й корень из единицы или $r$ -й корень из единицы с нечетным $r$ . Предположим, что $M_{L}$ получается путем выполнения операции Дена на звене в рамке $L$ . Тогда RT-инвариант 3-многообразия $M$ определяется как

\operatorname {RT} _{r}(M_{L})=\langle \omega _{r}\rangle _{O^{+}}^{b_{-}}\langle \omega _{r}\rangle _{O^{-}}^{b_{+}}\langle \omega _{r},\omega _{r},\dots ,\omega _{r}\rangle _{L}(t)\in \mathbb {C} ,

где $\omega _{r}=\sum _{n=0}^{r-2}\langle e_{n}\rangle _{O}e_{n}$ это раскраска Кирби, $O^{\pm }$ распутаны с $\pm 1$ обрамление и $b_{\pm }$ - это количество положительных и отрицательных собственных значений матрицы связи $L$ соответственно. Грубо говоря, первая и вторая скобка обеспечивают, что ${\text{RT}}_{r}(M_{L})$ инвариантен при взрыве вверх/вниз (первый ход Кирби), а третья скобка гарантирует, что ${\text{RT}}_{r}(M_{L})$ инвариантен при скольжении ручки (второй ход Кирби).

Характеристики

Инварианты Виттена–Решетихина–Тураева для 3-многообразий удовлетворяют следующим свойствам:

${\text{RT}}_{r}(M\#N)={\text{RT}}_{r}(M){\text{RT}}_{r}(N),$ где $M\#N$ обозначает связную сумму $M$ и $N$
$\operatorname {RT} _{r}(-M)={\overline {{\text{RT}}_{r}(M)}},$ где $-M$ это многообразие $M$ с противоположной ориентацией и ${\overline {{\text{RT}}_{r}(M)}}$ обозначает комплексно-сопряженное число $\operatorname {RT} _{r}(M)$
$\operatorname {RT} _{r}(S^{3})=1$

Эти три свойства совпадают со свойствами, которым удовлетворяют инварианты трехмерного многообразия, определенные Виттеном с использованием теории Черна – Саймонса (при определенной нормализации). ^[2]

Открытые проблемы

Гипотеза асимптотического расширения Виттена

Выбирать $t=e^{\frac {\pi i}{r}}$ . Гипотеза асимптотического расширения Виттена предполагает, что для любого 3-многообразия $M$ , большой $r$ -я асимптотика ${\text{RT}}_{r}(M)$ определяется вкладами плоских связностей. ^[4]

Гипотеза: Существуют константы $d_{j}\in \mathbb {Q}$ и $b_{j}\in \mathbb {C}$ (в зависимости от $M$ ) для $j=0,1,\dots ,n$ и $a_{j}^{l}\in \mathbb {C}$ для $j=0,1,\dots ,n,l=1,2,\dots$ такая, что асимптотическое разложение ${\text{RT}}_{r}(M)$ в пределе $r\to \infty$ дается

\operatorname {RT} _{r}(M)\sim \sum _{j=0}^{n}e^{2\pi irq_{j}}r^{d_{j}}b_{j}\left(1+\sum _{\ell =1}^{\infty }a_{j}^{\ell }r^{-\ell }\right)

где $q_{0}=0,q_{1},\dots q_{n}$ — конечное число различных значений функционала Черна–Саймонса на пространстве плоских ${\text{SU}}(2)$ -подключения включены $M$ .

Гипотеза объема для инварианта Решетихина–Тураева

Гипотеза асимптотического расширения Виттена предполагает, что при $t=e^{{\pi i}/{r}}$ RT-инварианты растут полиномиально по $r$ . Напротив, при $t=e^{{2\pi i}/{r}}$ со странным $r$ , в 2018 году К. Чен и Т. Ян предложили гипотезу объема для RT-инвариантов, которая по сути говорит, что RT-инварианты для гиперболических 3-многообразий растут экспоненциально в $r$ а скорость роста дает гиперболический объем и инварианты Черна – Саймонса для трехмерного многообразия. ^[5]

Гипотеза: Позволять $M$ — замкнутое ориентированное гиперболическое трехмерное многообразие. Тогда для подходящего выбора аргументов

\lim _{r\to \infty }{\frac {4\pi }{r}}\log \left(\operatorname {RT} _{r}{\big (}M,e^{{2\pi i}/{r}}{\big )}\right)=\operatorname {Vol} (M)-i\operatorname {CS} (M)\mod \pi ^{2}i\mathbb {Z}

где $r$ — нечетное положительное целое число.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Решетихин, Николай; Тураев, Владимир Георгиевич (1991). «Инварианты 3-многообразий через полиномы зацепления и квантовые группы». Математические изобретения . 103 (1): 547–597. Бибкод : 1991InMat.103..547R . дои : 10.1007/BF01239527 . S2CID 123376541 .
^ Jump up to: ^а ^б Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса» . Связь в математической физике . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W . дои : 10.1007/BF01217730 . S2CID 14951363 .
^ Тураев, Владимир Георгиевич (2016). Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий . Исследования Де Грюйтера по математике. Том. 18. Берлин: Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-044266-3 .
^ Андерсен, Йорген Эллегаард; Хансен, Сорен Колд (2006). «Асимптотика квантовых инвариантов операций на узле восьмерки». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 15 (4): 479–548. arXiv : math/0506456 . дои : 10.1142/S0218216506004555 . S2CID 8713259 .
^ Чен, Циндао; Ян, Тянь (2018). «Гипотезы об объеме для инвариантов Решетихина – Тураева и Тураева – Виро». Квантовая топология . 9 (3): 419–460. arXiv : 1503.02547 . дои : 10.4171/QT/111 . S2CID 18870964 .

Внешние ссылки

https://ncatlab.org/nlab/show/Reshetikhin-Turaev+construction

[RT1991-1] Jump up to: ^а ^б Решетихин, Николай; Тураев, Владимир Георгиевич (1991). «Инварианты 3-многообразий через полиномы зацепления и квантовые группы». Математические изобретения . 103 (1): 547–597. Бибкод : 1991InMat.103..547R . дои : 10.1007/BF01239527 . S2CID 123376541 .

[Witten1989-2] Jump up to: ^а ^б Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и полином Джонса» . Связь в математической физике . 121 (3): 351–399. Бибкод : 1989CMaPh.121..351W . дои : 10.1007/BF01217730 . S2CID 14951363 .

[3] Тураев, Владимир Георгиевич (2016). Квантовые инварианты узлов и 3-многообразий . Исследования Де Грюйтера по математике. Том. 18. Берлин: Вальтер де Грюйтер. ISBN 978-3-11-044266-3 .

[4] Андерсен, Йорген Эллегаард; Хансен, Сорен Колд (2006). «Асимптотика квантовых инвариантов операций на узле восьмерки». Журнал теории узлов и ее разветвлений . 15 (4): 479–548. arXiv : math/0506456 . дои : 10.1142/S0218216506004555 . S2CID 8713259 .

[5] Чен, Циндао; Ян, Тянь (2018). «Гипотезы об объеме для инвариантов Решетихина – Тураева и Тураева – Виро». Квантовая топология . 9 (3): 419–460. arXiv : 1503.02547 . дои : 10.4171/QT/111 . S2CID 18870964 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]