Произвольно большой

В математике фразы произвольно большой , произвольно маленький и произвольно длинный используются в утверждениях, чтобы прояснить тот факт, что объект является большим, маленьким или длинным с небольшими ограничениями или ограничениями соответственно. Использование слова «произвольно» часто происходит в контексте действительных чисел (и их подмножеств ), хотя его значение может отличаться от значений «достаточно» и «бесконечно».

Примеры

Заявление

" $f(x)$ неотрицательна для сколь угодно больших $x$."

является сокращением для:

«Для каждого действительного числа $n$, $f(x)$ неотрицательна для некоторого значения $x$ больше, чем $n$."

В просторечии термин «произвольно длинный» часто используется в контексте последовательности чисел. Например, утверждение о существовании «сколь угодно длинных арифметических прогрессий простых чисел » не означает, что существует какая-либо бесконечно длинная арифметическая прогрессия простых чисел (а ее нет) или что не существует какой-либо конкретной арифметической прогрессии простых чисел, которая в некотором смысле «сколь угодно долго». Скорее, эта фраза используется для обозначения того факта, что независимо от того, насколько велико число $n$ то есть существует некоторая арифметическая прогрессия простых чисел длины не менее $n$.

Подобно произвольно большому, можно также определить фразу « $P(x)$ справедливо для сколь угодно малых действительных чисел», а именно:

$\forall \epsilon \in \mathbb {R} _{+},\,\exists x\in \mathbb {R} :|x|<\epsilon \land P(x)$

Другими словами:

Каким бы малым ни было число, оно будет. $x$ меньше его, так что $P(x)$ держит.

Произвольно большой, достаточно большой или бесконечно большой

Несмотря на схожесть, «произвольно большой» не эквивалентен « достаточно большому ». Например, хотя верно, что простые числа могут быть сколь угодно большими (поскольку их бесконечно много согласно теореме Евклида ), неверно, что все достаточно большие числа являются простыми.

Другой пример: утверждение « $f(x)$ неотрицательна для сколь угодно больших $x$.» можно переписать так:

$\forall n\in \mathbb {R} {\mbox{, }}\exists x\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}x>n\land f(x)\geq 0$

Однако, используя « достаточно большой », та же самая фраза становится:

$\exists n\in \mathbb {R} {\mbox{ such that }}\forall x\in \mathbb {R} {\mbox{, }}x>n\Rightarrow f(x)\geq 0$

Более того, «произвольно большой» также не означает « бесконечно большой ». Например, хотя простые числа могут быть сколь угодно большими, бесконечно большого простого числа не существует, поскольку все простые числа (а также все другие целые числа) конечны.

В некоторых случаях такие фразы, как «предложение $P(x)$ верно для сколь угодно больших $x$" используются главным образом для выделения, например " $P(x)$ верно для всех $x$, независимо от того, насколько велик $x$ В этих случаях словосочетание «произвольно большое» не имеет указанного выше значения (т. е. «как бы ни было велико число, найдется какое-то большее число, для которого $P(x)$ все еще держится». ). Вместо этого использование в этом случае фактически является логическим синонимом слова «все».

См. также

• Достаточно большой
• Математический жаргон