Теорема Сталя

В матричном анализе теорема Сталя — это теорема, доказанная в 2011 году Гербертом Сталем относительно преобразований Лапласа для специальных матричных функций. ^{[ 1 ]} Она возникла в 1975 году как гипотеза Бесси-Муссы-Виллани (BMV), выдвинутая Даниэлем Бесси, Пьером Мусса и Марселем Виллани. ^{[ 2 ]} В 2004 году Эллиот Х. Либ и Роберт Зейрингер дали две важные переформулировки гипотезы BMV. ^{[ 3 ]} В 2015 году Александр Еременко дал упрощенное доказательство теоремы Сталя. ^{[ 4 ]}

В 2023 году Отте Хейняваара доказал структурную теорему для эрмитовых матриц, вводящую следовые совместные спектральные меры , следствием чего является теорема Сталя. ^{[ 5 ]}

Формулировка теоремы

Позволять $\operatorname {tr}$ обозначаем след матрицы . Если $A$ и $B$ являются $n\times n$ Эрмитовы матрицы и $B$ положительно полуопределена , определим $\mathbf {f} (t)=\operatorname {tr} (\exp(A-tB))$ , на самом деле $t\geq 0$ . Затем $\mathbf {f}$ можно представить как преобразование Лапласа неотрицательной борелевской меры $\mu$ на $[0,\infty )$ . Другими словами, для всех реальных $t\geq 0$ ,

\mathbf {f}

(

т

) =

\int _{[0,\infty )}e^{-ts}\,d\mu (s)

,

для некоторой неотрицательной меры $\mu$ в зависимости от $A$ и $B$ . ^{[ 6 ]}

Ссылки

^ Шталь, Герберт Р. (2013). «Доказательство гипотезы BMV». Акта Математика . 211 (2): 255–290. arXiv : 1107.4875 . дои : 10.1007/s11511-013-0104-z .
^ Бессис, Д.; Мусса, П.; Виллани, М. (1975). «Монотонно сходящиеся вариационные аппроксимации функциональных интегралов в квантовой статистической механике» . Журнал математической физики . 16 (11): 2318–2325. Бибкод : 1975JMP....16.2318B . дои : 10.1063/1.522463 .
^ Либ, Эллиотт; Зейрингер, Роберт (2004). «Эквивалентные формы гипотезы Бесси-Муссы-Виллани». Журнал статистической физики . 115 (1–2): 185–190. arXiv : math-ph/0210027 . Бибкод : 2004JSP...115..185L . дои : 10.1023/B:JOSS.0000019811.15510.27 .
^ Ерёменко, А.Э. (2015). «Доказательство Герберта Сталя гипотезы BMV». Сборник: Математика . 206 (1): 87–92. arXiv : 1312.6003 . Бибкод : 2015СбМат.206...87Е . дои : 10.1070/SM2015v206n01ABEH004447 .
^ Хейняваара, Отте (2023). «Следовые совместные спектральные измерения». arXiv : 2310.03227 [ мат.FA ].
^ Кливаз, Фабьен (2016). Теорема Сталя (также известная как гипотеза BMV): идеи и интуиция по ее доказательству . Теория операторов: достижения и приложения. Том. 254. С. 107–117. arXiv : 1702.06403 . дои : 10.1007/978-3-319-29992-1_6 . ISBN 978-3-319-29990-7 . ISSN 0255-0156 .

[1] Шталь, Герберт Р. (2013). «Доказательство гипотезы BMV». Акта Математика . 211 (2): 255–290. arXiv : 1107.4875 . дои : 10.1007/s11511-013-0104-z .

[2] Бессис, Д.; Мусса, П.; Виллани, М. (1975). «Монотонно сходящиеся вариационные аппроксимации функциональных интегралов в квантовой статистической механике» . Журнал математической физики . 16 (11): 2318–2325. Бибкод : 1975JMP....16.2318B . дои : 10.1063/1.522463 .

[3] Либ, Эллиотт; Зейрингер, Роберт (2004). «Эквивалентные формы гипотезы Бесси-Муссы-Виллани». Журнал статистической физики . 115 (1–2): 185–190. arXiv : math-ph/0210027 . Бибкод : 2004JSP...115..185L . дои : 10.1023/B:JOSS.0000019811.15510.27 .

[4] Ерёменко, А.Э. (2015). «Доказательство Герберта Сталя гипотезы BMV». Сборник: Математика . 206 (1): 87–92. arXiv : 1312.6003 . Бибкод : 2015СбМат.206...87Е . дои : 10.1070/SM2015v206n01ABEH004447 .

[5] Хейняваара, Отте (2023). «Следовые совместные спектральные измерения». arXiv : 2310.03227 [ мат.FA ].

[Clivaz2016-6] Кливаз, Фабьен (2016). Теорема Сталя (также известная как гипотеза BMV): идеи и интуиция по ее доказательству . Теория операторов: достижения и приложения. Том. 254. С. 107–117. arXiv : 1702.06403 . дои : 10.1007/978-3-319-29992-1_6 . ISBN 978-3-319-29990-7 . ISSN 0255-0156 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]