Модель непрерывной спонтанной локализации

Модель непрерывной спонтанной локализации ( CSL ) — это модель спонтанного коллапса в квантовой механике , предложенная в 1989 году Филипом Перлом. и завершен в 1990 году Джан Карло Гирарди , Филипом Перле и Альберто Римини.

Введение

Наиболее широко изученной среди моделей динамической редукции (также известной как коллапс) является модель CSL. Основываясь на модели Жирарди-Римини-Вебера , Модель CSL описывает коллапс волновой функции как происходящий непрерывно во времени, в отличие от модели Жирарди-Римини-Вебера.

Некоторые из ключевых особенностей модели:

• Локализация происходит в положении, которое является предпочтительным основанием в этой модели.
• Модель не меняет существенно динамику микроскопических систем, однако для макроскопических объектов она становится сильной: механизм усиления обеспечивает такое масштабирование.
• Он сохраняет свойства симметрии одинаковых частиц.
• Он характеризуется двумя параметрами: $\lambda$ и $r_{C}$, которые являются соответственно скоростью коллапса и длиной корреляции модели.

Динамическое уравнение

Динамическое уравнение CSL для волновой функции является стохастическим и нелинейным: $$\operatorname {d} \!|\psi _{t}\rangle =\left[-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\operatorname {d} \!t+{\frac {\sqrt {\lambda }}{m_{0}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\,{\hat {N}}_{t}({\bf {x}})\operatorname {d} \!W_{t}({\bf {x}})\right.\left.-{\frac {\lambda }{2m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\int \operatorname {d} \!{\bf {y}}\,g({\bf {x}}-{\bf {y}}){\hat {N}}_{t}({\bf {x}}){\hat {N}}_{t}({\bf {y}})\operatorname {d} \!t\right]|\psi _{t}\rangle .$$Здесь ${\hat {H}}$ – гамильтониан, описывающий квантовомеханическую динамику, $m_{0}$ — эталонная масса, принятая равной массе нуклона, $g({\bf {x}}-{\bf {y}})=e^{-{({\bf {x}}-{\bf {y}})^{2}}/{4r_{C}^{2}}}$, а шумовое поле $w_{t}({\bf {x}})=\operatorname {d} \!W_{t}({\bf {x}})/\operatorname {d} \!t$ имеет нулевое среднее и корреляцию, равную $$\mathbb {E} [w_{t}({\bf {x}})w_{s}({\bf {y}})]=g({\bf {x}}-{\bf {y}})\delta (t-s),$$где $\mathbb {E} [\ \cdot \ ]$ обозначает стохастическое среднее по шуму. Наконец, мы пишем $${\hat {N}}_{t}({\bf {x}})={\hat {M}}({\bf {x}})-\langle \psi _{t}|{\hat {M}}({\bf {x}})|\psi _{t}\rangle ,$$где ${\hat {M}}({\bf {x}})$ это оператор плотности массы, который читается $${\hat {M}}({\bf {x}})=\sum _{j}m_{j}\sum _{s}{\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\bf {x}},s){\hat {a}}_{j}({\bf {x}},s),$$где ${\hat {a}}_{j}^{\dagger }({\bf {y}},s)$ и ${\hat {a}}_{j}({\bf {y}},s)$ являются соответственно вторично квантованными операторами рождения и уничтожения частицы типа $j$ со вращением $s$ в точку ${\bf {y}}$ массы $m_{j}$. Использование этих операторов обеспечивает сохранение свойств симметрии тождественных частиц. Более того, пропорциональность масс автоматически реализует механизм усиления. Выбор формы ${\hat {M}}({\bf {x}})$ обеспечивает обвал позиции в базисе.

Действие модели CSL количественно оценивается значениями двух феноменологических параметров. $\lambda$ и $r_{C}$. Первоначально модель Жирарди-Римини-Вебера предложенный $\lambda =10^{-17}\,$с $^{-1}$ в $r_{C}=10^{-7}\,$м, а позже Адлер рассматривал и большие значения: $\lambda =10^{-8\pm 2}\,$с $^{-1}$ для $r_{C}=10^{-7}\,$м, и $\lambda =10^{-6\pm 2}\,$с $^{-1}$ для $r_{C}=10^{-6}\,$м. В конце концов, эти значения должны быть ограничены экспериментами.

Из динамики волновой функции можно получить соответствующее основное уравнение для статистического оператора ${\hat {\rho }}_{t}$: $${\frac {\operatorname {d} \!{\hat {\rho }}_{t}}{\operatorname {d} \!t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{{\hat {\rho }}_{t}}\right]-{\frac {\lambda }{2m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {x}}\int \operatorname {d} \!{\bf {y}}\,g({\bf {x}}-{\bf {y}})\left[{{\hat {M}}({\bf {x}})},\left[{{{\hat {M}}({\bf {y}})},{{\hat {\rho }}_{t}}}\right]\right].$$Как только основное уравнение представлено в базисе положения, становится ясно, что его прямым действием является диагонализация матрицы плотности по положению. Для одной точечной частицы массы $m$, он читает $${\frac {\partial \langle {{\bf {x}}|{\hat {\rho }}_{t}|{\bf {y}}}\rangle }{\partial t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\langle {{\bf {x}}|\left[{\hat {H}},{{\hat {\rho }}_{t}}\right]|{\bf {y}}}\rangle -\lambda {\frac {m^{2}}{m_{0}^{2}}}\left(1-e^{-{\tfrac {({\bf {x}}-{\bf {y}})^{2}}{4r_{C}^{2}}}}\right)\langle {{\bf {x}}|{\hat {\rho }}_{t}|{\bf {y}}}\rangle ,$$где недиагональные члены, которые имеют ${\bf {x}}\neq {\bf {y}}$, экспоненциально затухают. И наоборот, диагональные члены, характеризующиеся ${\bf {x}}={\bf {y}}$, сохраняются. Для составной системы скорость одночастичного коллапса $\lambda$ следует заменить на составную систему $$\lambda {\frac {m^{2}}{m_{0}^{2}}}\to \lambda {\frac {r_{C}^{3}}{\pi ^{3/2}m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {k}}|{\tilde {\mu }}({\bf {k}})|^{2}e^{-k^{2}r_{C}^{2}},$$где ${\tilde {\mu }}(k)$ – преобразование Фурье массовой плотности системы.

Экспериментальные испытания

В отличие от большинства других предлагаемых решений проблемы измерения, модели коллапса поддаются экспериментальной проверке. Эксперименты, проверяющие модель CSL, можно разделить на два класса: интерферометрические и неинтерферометрические эксперименты, которые соответственно исследуют прямые и косвенные эффекты механизма коллапса.

Интерферометрические эксперименты

Интерферометрические эксперименты позволяют обнаружить прямое действие коллапса, заключающееся в локализации волновой функции в пространстве. К ним относятся все эксперименты, в которых генерируется суперпозиция и через некоторое время исследуется ее интерференционная картина. Действие CSL заключается в уменьшении интерференционного контраста, что количественно выражается уменьшением недиагональных членов статистического оператора $$\rho (x,x',t)={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!k\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {d} \!w\,e^{-ikw/\hbar }F_{CSL}(k,x-x',t)\rho ^{QM}(x+w,x'+w,t),$$где ${\textstyle \rho ^{QM}}$ обозначает статистический оператор, описываемый квантовой механикой, и мы определяем $$F_{CSL}(k,q,t)=\exp {\bigg [}-\lambda {\frac {m^{2}}{m_{0}^{2}}}t\left(1-{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\operatorname {d} \!\tau \,e^{-{(q-{\frac {k\tau }{m}})^{2}}/{4r_{C}^{2}}}\right){\bigg ]}.$$Эксперименты по проверке такого снижения интерференционного контраста проводятся на холодных атомах. молекулы и запутанные бриллианты.

Аналогичным образом можно также количественно определить минимальную силу разрушения, чтобы решить проблему измерения на макроскопическом уровне. В частности, оценка можно получить, потребовав, чтобы суперпозиция однослойного графенового диска радиуса $\simeq 10^{-5}$м рушится менее чем за $\simeq 10^{-2}$с.

Неинтерферометрические эксперименты

Неинтерферометрические эксперименты состоят из тестов CSL, которые не основаны на приготовлении суперпозиции. Они используют косвенный эффект коллапса, который заключается в броуновском движении, вызванном взаимодействием с шумом коллапса. Эффект этого шума представляет собой эффективную стохастическую силу, действующую на систему, и для количественной оценки такой силы можно провести несколько экспериментов. Они включают в себя:

• Излучение заряженных частиц . Если частица электрически заряжена, действие связи с шумом коллапса вызовет испускание излучения. Этот результат резко контрастирует с предсказаниями квантовой механики, согласно которой от свободной частицы не ожидается никакого излучения. Прогнозируемая скорость излучения, вызванного CSL, на частоте $\omega$ для частицы заряда $Q$ дается:

$${\frac {\operatorname {d} \!\Gamma (\omega )}{\operatorname {d} \!\omega }}={\frac {\hbar Q^{2}\lambda }{2\pi ^{2}\epsilon _{0}c^{3}m_{0}^{2}r_{C}^{2}\omega }},$$где $\epsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума и $c$ это скорость света. Это предсказание CSL можно проверить. путем анализа спектра рентгеновского излучения объемной тестовой массы германия.

• Нагрев сыпучих материалов . Прогноз CSL — это увеличение полной энергии системы. Например, полная энергия $E$ свободной частицы массы $m$ в трех измерениях растет линейно во времени согласно закону  $$E(t)=E(0)+{\frac {3m\lambda \hbar ^{2}}{4m_{0}^{2}r_{C}^{2}}}t,$$где $E(0)$ – начальная энергия системы. Это увеличение фактически невелико; например, температура атома водорода увеличивается на $\simeq 10^{-14}$ тыс. в год с учетом значений $\lambda =10^{-16}$ с $^{-1}$ и $r_{C}=10^{-7}$м. Хотя такое увеличение энергии и небольшое, его можно проверить, наблюдая за холодными атомами. и сыпучие материалы, такие как решетки Браве, низкотемпературные эксперименты, нейтронные звезды и планеты

• Диффузионные эффекты . Еще одним предсказанием модели CSL является увеличение разброса положения центра масс системы. Для свободной частицы разброс позиций в одном измерении равен $$\langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{t}=\langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{t}^{(QM)}+{\frac {\hbar ^{2}\eta t^{3}}{3m^{2}}},$$где $\langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{t}^{(QM)}$ свободное квантовомеханическое распространение и $\eta$ - константа диффузии CSL, определяемая как $$\eta ={\frac {\lambda r_{C}^{3}}{2\pi ^{3/2}m_{0}^{2}}}\int \operatorname {d} \!{\bf {k}}\,e^{-{\bf {k}}^{2}r_{C}^{2}}k_{x}^{2}|{\tilde {\mu }}({\bf {k}})|^{2},$$где предполагается, что движение происходит вдоль $x$ ось; ${\tilde {\mu }}({\bf {k}})$ - преобразование Фурье массовой плотности $\mu ({\bf {r}})$. В экспериментах такое увеличение ограничивается скоростью диссипации $\gamma$. Полагая, что эксперимент проводится при температуре $T$, частица массы $m$, гармонически захваченный на частоте $\omega _{0}$, в состоянии равновесия достигает разброса в положении, заданном формулой $$\langle {{\hat {x}}^{2}}\rangle _{eq}={\frac {k_{B}T}{m\omega _{0}^{2}}}+{\frac {\hbar ^{2}\eta }{2m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma }},$$где $k_{B}$ — постоянная Больцмана. Несколько экспериментов могут проверить такое распространение. Они варьируются от расширения без холодного атома до нанокантилеверы, охлажденные до температуры милликельвина, детекторы гравитационных волн, левитирующая оптомеханика , крутильный маятник.

Диссипативные и цветные расширения.

Модель CSL последовательно описывает механизм коллапса как динамический процесс. Однако у него есть два слабых места.

• CSL не сохраняет энергию изолированных систем . Хотя это увеличение и невелико, оно является неприятной особенностью для феноменологической модели. Диссипативное расширение модели CSL дает лекарство. С шумом коллапса связывают конечную температуру $T_{CSL}$ при котором система в конечном итоге термализуется . Таким образом, для свободной точечной частицы массы $m$ в трех измерениях эволюция энергии описывается уравнением $$E(t)=e^{-\beta t}(E(0)-E_{as})+E_{as},$$где $E_{as}={\tfrac {3}{2}}k_{B}T_{CSL}$, $\beta =4\chi \lambda /(1+\chi )^{5}$ и $\chi =\hbar ^{2}/(8m_{0}k_{B}T_{CSL}r_{C}^{2})$. Если предположить, что шум CSL имеет космологическое происхождение (что вполне разумно ввиду его предполагаемой универсальности), то вероятным значением такой температуры будет $T_{CSL}=1$ К, хотя только эксперименты могут указать определенную величину. Несколько интерферометрических и неинтерферометрический тесты ограничивали пространство параметров CSL для различных вариантов выбора $T_{CSL}$.

• Спектр шума CSL имеет белый цвет . Если приписать КСЛ-шуму физическое происхождение, то его спектр не может быть белым, а цветным. В частности, вместо белого шума $w_{t}({\bf {x}})$, корреляция которого пропорциональна дельте Дирака по времени, рассматривается небелый шум , характеризующийся нетривиальной временной корреляционной функцией $f(t)$. Эффект можно оценить количественно путем пересчета $F_{CSL}(k,q,t)$, который становится $$F_{cCSL}(k,q,t)=F_{CSL}(k,q,t)\exp \left[{\frac {\lambda {\bar {\tau }}}{2}}\left(e^{-(q-kt/m)^{2}/4r_{C}^{2}}-e^{-q^{2}/4r_{C}^{2}}\right)\right],$$где ${\bar {\tau }}=\int _{0}^{t}\operatorname {d} \!s\,f(s)$. В качестве примера можно рассмотреть экспоненциально затухающий шум, временная корреляционная функция которого может иметь вид $f(t)={\tfrac {1}{2}}\Omega _{C}e^{-\Omega _{C}|t|}$. Таким образом, вводится частота среза $\Omega _{C}$, обратная функция которого описывает временной масштаб корреляций шума. Параметр $\Omega _{C}$ теперь работает как третий параметр цветной модели CSL вместе с $\lambda$ и $r_{C}$. Если предположить космологическое происхождение шума, то можно предположить, что $\Omega _{C}=10^{12}\,$Гц. Что касается диссипативного расширения, то экспериментальные границы были получены для разных значений $\Omega _{C}$: они включают интерферометрические и неинтерферометрический тесты.