Реальный элемент

В теории групп , дисциплине современной алгебры, элемент $x$ группы ​ $G$ называется действительным элементом $G$ если он принадлежит к тому же классу сопряженности, что и его обратный $x^{-1}$, то есть, если существует $g$ в $G$ с $x^{g}=x^{-1}$, где $x^{g}$ определяется как $g^{-1}\cdot x\cdot g$. Элемент $x$ группы $G$ называется сильно вещественным, если существует инволюция $t$ с $x^{t}=x^{-1}$.

Элемент $x$ группы $G$ веществен тогда и только тогда, когда для всех представлений $\rho$ из $G$, след $\mathrm {Tr} (\rho (g))$ соответствующей матрицы является действительным числом . Другими словами, элемент $x$ группы $G$ действительно тогда и только тогда, когда $\chi (x)$ это действительное число для всех символов $\chi$ из $G$.

Группа, в которой каждый элемент веществен, называется амбивалентной группой . Каждая амбивалентная группа имеет реальную таблицу персонажей . Симметричная группа $S_{n}$ любой степени $n$ является двойственным.

Характеристики

Группа с реальными элементами, отличными от единичного элемента, обязательно имеет четный порядок .

Для настоящего элемента $x$ группы $G$, количество элементов группы $g$ с $x^{g}=x^{-1}$ равно $\left|C_{G}(x)\right|$, где $C_{G}(x)$ является централизатором ​ $x$,

$\mathrm {C} _{G}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\}$.

Каждая инволюция строго реальна. Более того, каждый элемент, являющийся продуктом двух инволюций, строго реален. И наоборот, каждый сильно вещественный элемент является продуктом двух инволюций.

Если $x\neq e$ и $x$ реально в $G$ и $\left|C_{G}(x)\right|$ странно, тогда $x$ сильно реален в $G$.

Расширенный центратор

Расширенный централизатор элемента $x$ группы $G$ определяется как

$\mathrm {C} _{G}^{*}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\lor x^{g}=x^{-1}\},$

создание расширенного централизатора элемента $x$ равен нормализатору множества $\left\{x,x^{-1}\right\}$.

Расширенный централизатор элемента группы $G$ всегда является подгруппой $G$. Для инволюций или невещественных элементов централизатор и расширенный централизатор равны. Для настоящего элемента $x$ группы $G$ это не инволюция,

$\left|\mathrm {C} _{G}^{*}(x):\mathrm {C} _{G}(x)\right|=2.$

См. также

• Теорема Брауэра – Фаулера

Ссылки

• Горенштейн, Дэниел (2007) [перепечатка работы, первоначально опубликованной в 1980 году]. Конечные группы . Издательство AMS Челси. ISBN  978-0821843420 .
• Айзекс, И. Мартин (1994) [полное, исправленное переиздание работы, впервые опубликованной Academic Press, Нью-Йорк в 1976 году]. Теория характеров конечных групп . Дуврские публикации. ISBN  978-0486680149 .
• Роуз, Джон С. (2012) [полная и неизмененная переиздание работы, впервые опубликованной издательством Кембриджского университета, Кембридж, Англия, в 1978 году]. Курс теории групп . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-68194-8 .