Метод Якоби для комплексных эрмитовых матриц

В математике метод Якоби для комплексных эрмитовых матриц является обобщением итерационного метода Якоби . Итерационный метод Якоби также объясняется в книге Странга «Введение в линейную алгебру» (1993) .

Вывод

Комплексные унитарные вращения матрицы R _pq можно использовать для итерации Якоби комплексных эрмитовых матриц , чтобы одновременно найти численную оценку их собственных векторов и собственных значений.

Подобно матрицам вращения Гивенса , R _pq определяются как:

${\begin{aligned}(R_{pq})_{m,n}&=\delta _{m,n}&\qquad m,n\neq p,q,\\[10pt](R_{pq})_{p,p}&={\frac {+1}{\sqrt {2}}}e^{-i\theta },\\[10pt](R_{pq})_{q,p}&={\frac {+1}{\sqrt {2}}}e^{-i\theta },\\[10pt](R_{pq})_{p,q}&={\frac {-1}{\sqrt {2}}}e^{+i\theta },\\[10pt](R_{pq})_{q,q}&={\frac {+1}{\sqrt {2}}}e^{+i\theta }\end{aligned}}$

Каждая матрица вращения R _pq будет изменять только p -ю и q -ю строки или столбцы матрицы M, если она применяется слева или справа соответственно:

${\begin{aligned}(R_{pq}M)_{m,n}&={\begin{cases}M_{m,n}&m\neq p,q\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{p,n}e^{-i\theta }-M_{q,n}e^{+i\theta })&m=p\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{p,n}e^{-i\theta }+M_{q,n}e^{+i\theta })&m=q\end{cases}}\\[8pt](MR_{pq}^{\dagger })_{m,n}&={\begin{cases}M_{m,n}&n\neq p,q\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{m,p}e^{+i\theta }-M_{m,q}e^{-i\theta })&n=p\\[8pt]{\frac {1}{\sqrt {2}}}(M_{m,p}e^{+i\theta }+M_{m,q}e^{-i\theta })&n=q\end{cases}}\end{aligned}}$

Эрмитова матрица H : определяется свойством сопряженной транспонированной симметрии

$H^{\dagger }=H\ \Leftrightarrow \ H_{i,j}=H_{j,i}^{*}$

По определению, комплексно-сопряженная комплексная унитарная матрица вращения , R является ее обратной, а также комплексной унитарной вращения матрицей :

${\begin{aligned}R_{pq}^{\dagger }&=R_{pq}^{-1}\\[6pt]\Rightarrow \ R_{pq}^{\dagger ^{\dagger }}&=R_{pq}^{-1^{\dagger }}=R_{pq}^{-1^{-1}}=R_{pq}.\end{aligned}}$

Следовательно, комплексное эквивалентное преобразование Гивенса $T$ эрмитовой матрицы H также является эрмитовой матрицей, аналогичной H :

${\begin{aligned}T&\equiv R_{pq}HR_{pq}^{\dagger },&&\\[6pt]T^{\dagger }&=(R_{pq}HR_{pq}^{\dagger })^{\dagger }=R_{pq}^{\dagger ^{\dagger }}H^{\dagger }R_{pq}^{\dagger }=R_{pq}HR_{pq}^{\dagger }=T\end{aligned}}$

Элементы T можно рассчитать по приведенным выше соотношениям. Важными элементами итерации Якоби являются следующие четыре:

${\begin{array}{clrcl}T_{p,p}&=&&{\frac {H_{p,p}+H_{q,q}}{2}}&-\ \ \ \mathrm {Re} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{p,q}&=&&{\frac {H_{p,p}-H_{q,q}}{2}}&+\ i\ \mathrm {Im} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{q,p}&=&&{\frac {H_{p,p}-H_{q,q}}{2}}&-\ i\ \mathrm {Im} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\},\\[8pt]T_{q,q}&=&&{\frac {H_{p,p}+H_{q,q}}{2}}&+\ \ \ \mathrm {Re} \{H_{p,q}e^{-2i\theta }\}.\end{array}}$

Каждая итерация Якоби с R ^Дж _pq генерирует преобразованную матрицу T ^Дж , с Т ^Дж _{p , q} = 0. Матрица вращения R ^Дж _{p , q} определяется как произведение двух комплексных унитарных матриц вращения .

${\begin{aligned}R_{pq}^{J}&\equiv R_{pq}(\theta _{2})\,R_{pq}(\theta _{1}),{\text{ with}}\\[8pt]\theta _{1}&\equiv {\frac {2\phi _{1}-\pi }{4}}{\text{ and }}\theta _{2}\equiv {\frac {\phi _{2}}{2}},\end{aligned}}$

где фазовые члены, $\phi _{1}$ и $\phi _{2}$ даны:

${\begin{aligned}\tan \phi _{1}&={\frac {\mathrm {Im} \{H_{p,q}\}}{\mathrm {Re} \{H_{p,q}\}}},\\[8pt]\tan \phi _{2}&={\frac {2|H_{p,q}|}{H_{p,p}-H_{q,q}}}.\end{aligned}}$

Наконец, важно отметить, что произведение двух комплексных матриц вращения для заданных углов θ ₁ и θ ₂ не может быть преобразовано в одну комплексную унитарную матрицу вращения R _pq ( θ ). Произведение двух комплексных матриц вращения определяется выражением:

${\begin{aligned}\left[R_{pq}(\theta _{2})\,R_{pq}(\theta _{1})\right]_{m,n}={\begin{cases}\ \ \ \ \delta _{m,n}&m,n\neq p,q,\\[8pt]-ie^{-i\theta _{1}}\,\sin {\theta _{2}}&m=p{\text{ and }}n=p,\\[8pt]-e^{+i\theta _{1}}\,\cos {\theta _{2}}&m=p{\text{ and }}n=q,\\[8pt]\ \ \ \ e^{-i\theta _{1}}\,\cos {\theta _{2}}&m=q{\text{ and }}n=p,\\[8pt]+ie^{+i\theta _{1}}\,\sin {\theta _{2}}&m=q{\text{ and }}n=q.\end{cases}}\end{aligned}}$

Ссылки

• Стрэнг, Г. (1993), Введение в линейную алгебру , Массачусетс: Wellesley Cambridge Press .