Парадокс двух конденсаторов

Схема парадокса, показывающая начальные напряжения до замыкания ключа.

Парадокс двух конденсаторов или парадокс конденсатора — это парадокс или противоречивый мысленный эксперимент в теории электрических цепей . Мысленный эксперимент обычно описывается следующим образом: Два одинаковых конденсатора соединены параллельно с разомкнутым ключом между ними. Один из конденсаторов заряжен напряжением $V_{i}$, другой незаряжен. Когда переключатель замкнут, часть заряда $Q=CV_{i}$ на первом конденсатор перетекает во второй, уменьшая напряжение на первом и увеличивая напряжение на втором. Когда достигается устойчивое состояние и ток становится равным нулю, напряжение на двух конденсаторах должно быть равным, поскольку они соединены вместе. Поскольку они оба имеют одинаковую емкость $C$ заряд будет разделен поровну между конденсаторами, поэтому каждый конденсатор будет иметь заряд ${Q \over 2}$ и напряжение $V_{f}={Q \over 2C}={V_{i} \over 2}$. В начале опыта полная начальная энергия $W_{i}$ в цепи – энергия, запасенная в заряженном конденсаторе:

$W_{i}={1 \over 2}CV_{i}^{2}$

В конце опыта конечная энергия $W_{f}$ равен сумме энергий двух конденсаторов
$W_{f}={1 \over 2}CV_{f}^{2}+{1 \over 2}CV_{f}^{2}=CV_{f}^{2}=C\left({V_{i} \over 2}\right)^{2}={1 \over 4}CV_{i}^{2}={1 \over 2}W_{i}$

Таким образом, конечная энергия $W_{f}$ равна половине начальной энергии $W_{i}$. Куда делась вторая половина первоначальной энергии?

Решения

Эта проблема обсуждалась в литературе по электронике, по крайней мере, еще в 1955 году. В отличие от некоторых других парадоксов в науке, этот парадокс обусловлен не лежащими в его основе физиками, а ограничениями соглашений об «идеальных схемах», используемых в теории цепей . Указанное выше описание физически не реализуемо, если предполагается, что схема состоит из идеальных элементов схемы , как это обычно бывает в теории цепей. Если провода, соединяющие два конденсатора, переключатель и сами конденсаторы, идеализироваться как не имеющие обычного электрического сопротивления или индуктивности , то замыкание переключателя соединит точки с разным напряжением с идеальным проводником, вызывая протекание бесконечного тока. Поэтому решение требует ослабления одной или нескольких «идеальных» характеристик элементов схемы, что не указано в приведенном выше описании. Решение различается в зависимости от того, от какого из предположений о реальных характеристиках элементов схемы отказаться:

• Если предположить, что соединительные провода вообще имеют какое-либо ненулевое сопротивление, это RC-цепь , и ток будет экспоненциально уменьшаться до нуля. Поскольку ни один первоначальный заряд не теряется, конечное состояние конденсаторов будет таким, как описано выше, с половиной начального напряжения на каждом конденсаторе. Поскольку в этом состоянии два конденсатора вместе остаются с половиной энергии, независимо от величины сопротивления, половина первоначальной энергии будет рассеиваться в виде тепла на сопротивлении провода.
• Если предполагается, что провода имеют индуктивность, но не имеют сопротивления, ток не будет бесконечным, но в цепи нет компонентов, рассеивающих энергию, поэтому она не установится в устойчивое состояние, как предполагается в описании. Это будет LC-цепь без демпфирования , поэтому заряд будет постоянно колебаться между двумя конденсаторами; напряжение на двух конденсаторах и ток будут изменяться синусоидально. Никакая первоначальная энергия не будет потеряна, в любой момент сумма энергии в двух конденсаторах и энергии, запасенной в магнитном поле вокруг проводов, будет равна начальной энергии.
• Если предположить, что соединительные провода, помимо наличия индуктивности и отсутствия сопротивления, имеют ненулевую длину, то колебательный контур будет действовать как антенна и терять энергию за счет излучения электромагнитных волн ( радиоволн ). Эффект этой потери энергии точно такой же, как если бы в цепи было сопротивление, называемое сопротивлением излучения , поэтому схема будет эквивалентна цепи RLC . Колебательный ток в проводах будет представлять собой экспоненциально затухающую синусоиду . Поскольку ни один первоначальный заряд не теряется, конечное состояние конденсаторов будет таким же, как и в случае с резистором, с половиной начального напряжения на каждом. Поскольку в этом состоянии конденсаторы содержат половину первоначальной энергии, недостающая половина энергии будет излучена электромагнитными волнами.
• Если помимо ненулевой длины и индуктивности предположить, что провода обладают сопротивлением, то общие потери энергии будут такими же, составляющими половину начальной энергии, но будут разделены между излучаемыми электромагнитными волнами и теплом, рассеиваемым в сопротивлении.

Были разработаны различные дополнительные решения, основанные на более детальных предположениях о характеристиках компонентов.

Альтернативные версии

Существует несколько альтернативных версий парадокса. Одна из них — оригинальная схема с двумя конденсаторами, изначально заряженными под равными и противоположными напряжениями. $+V_{i}$ и $-V_{i}$. Другая эквивалентная версия — это одиночный заряженный конденсатор, закороченный идеальным проводником. В этих случаях в конечном состоянии весь заряд нейтрализован, конечное напряжение на конденсаторах равно нулю, поэтому вся начальная энергия пропала. Решения того, куда пошла энергия, аналогичны описанным в предыдущем разделе.

См. также

• Список парадоксов