Теорема Байерса – Янга

В квантовой механике теорема Байерса -Янга утверждает, что все физические свойства двусвязной системы (кольца), охватывающей магнитный поток $\Phi$ через отверстие являются периодическими в потоке с периодом $\Phi _{0}=hc/e$ ( квант магнитного потока ). Теорема была впервые сформулирована и доказана Ниной Байерс и Чен-Нин Ян (1961). и далее развит Феликсом Блохом (1970).

Доказательство

Закрытый флюс $\Phi$ соответствует векторному потенциалу $A(r)$ внутри кольца с линейным интегралом ${\textstyle \oint _{C}A\cdot dl=\Phi }$ по любому пути $C$ который циркулирует один раз. Этот векторный потенциал можно попытаться устранить с помощью калибровочного преобразования

$\psi '(\{r_{n}\})=\exp \left({\frac {ie}{\hbar }}\sum _{j}\chi (r_{j})\right)\psi (\{r_{n}\})$

волновой функции $\psi (\{r_{n}\})$ электронов в позициях $r_{1},r_{2},\ldots$. Волновая функция с калибровочным преобразованием удовлетворяет тому же уравнению Шредингера, что и исходная волновая функция, но с другим магнитным векторным потенциалом. $A'(r)=A(r)+\nabla \chi (r)$. Предполагается, что электроны испытывают нулевое магнитное поле. $B(r)=\nabla \times A(r)=0$ во всех точках $r$ внутри кольца поле отлично от нуля только внутри отверстия (где нет электронов). Тогда всегда можно найти функцию $\chi (r)$ такой, что $A'(r)=0$ внутри кольца, поэтому можно было бы заключить, что система с замкнутым потоком $\Phi$ эквивалентна системе с нулевым приложенным потоком.

Однако для любого произвольного $\Phi$ калибровочно-преобразованная волновая функция больше не является однозначной: фаза $\psi '$ изменения на

$\delta \phi =(e/\hbar )\oint _{C}\nabla \chi (r)\cdot dl=-(e/\hbar )\oint _{C}A(r)\cdot dl=-2\pi \Phi /\Phi _{0}$

всякий раз, когда одна из координат $r_{n}$ перемещается по кольцу в начальную точку. Таким образом, требование однозначности волновой функции ограничивает калибровочное преобразование потоками $\Phi$ которые являются целым числом, кратным $\Phi _{0}$. Системы, в которых содержится поток, отличающийся кратно $h/e$ эквивалентны.

Приложения

Обзор физических эффектов, регулируемых теоремой Байерса-Янга, дан Йозефом Имри . К ним относятся Эффект Ааронова–Бома , постоянный ток в нормальных металлах и квантование потока в сверхпроводниках.