Мгновенная фаза и частота

Мгновенная фаза и частота являются важными понятиями в обработке сигналов , которые возникают в контексте представления и анализа функций, изменяющихся во времени. Мгновенная фаза (также известная как локальная фаза или просто фаза ) комплексной функции s ( t ) является действительной функцией:

$\varphi (t)=\arg\{s(t)\},$

где arg — функция комплексного аргумента . Мгновенная частота – это временная скорость изменения мгновенной фазы.

А для действительнозначной функции s ( t функции ) она определяется из аналитического представления , s _a ( t ):

${\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}$

где ${\hat {s}}(t)$ представляет преобразование Гильберта s t ( ) .

Когда φ ( t ) ограничена своим главным значением , либо интервалом (− π , π ] или [0, 2 π ) , это называется обернутой фазой . В противном случае это называется развернутой фазой , которая является непрерывной функцией аргумента t , предполагая, что s _a ( t ) является непрерывной функцией t . Если не указано иное, следует подразумевать непрерывную форму.

Мгновенная фаза в зависимости от времени. Функция имеет два истинных разрыва по 180° в моменты времени 21 и 59, что указывает на переходы амплитуды через нуль. «Разрывы» на 360° в моменты времени 19, 37 и 91 являются артефактами фазового свертывания.

Мгновенная фаза частотно-модулированного сигнала: MSK (минимальная манипуляция). «Обернутый» график на 360° просто повторяется по вертикали еще два раза, создавая иллюзию развернутого графика, но с использованием только 3x360° вертикальной оси.

Примеры

Пример 1

$s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),$

где ω > 0.

${\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}$

В этом простом примере синусоидальной формы константу θ также часто называют фазой или сдвигом фазы . φ ( t ) — функция времени; θ нет. В следующем примере мы также видим, что сдвиг фазы вещественной синусоиды неоднозначен, если не указана ссылка (sin или cos). φ ( t ) определена однозначно.

Пример 2

$s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),$

где ω > 0.

${\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}$

В обоих примерах локальные максимумы s ( t ) соответствуют φ ( t ) = 2 π N для целых N. значений Это имеет применение в области компьютерного зрения.

Составы

Мгновенная угловая частота определяется как:

$\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},$

а мгновенная (обычная) частота определяется как:

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}$

где φ ( t ) должна быть развернутой фазой ; в противном случае, если φ ( t ) обернут, разрывы в φ ( t ) приведут к дельта-импульсам Дирака в f ( t ).

Обратная операция, которая всегда разворачивает фазу:

${\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}$

Эта мгновенная частота ω ( t ) может быть получена непосредственно из и мнимой частей sa ( _t ) действительной вместо комплексного arg , не беспокоясь о развертке фазы.

${\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}$

2 m ₁ π и m ₂ π — целые числа, кратные π, которые необходимо добавить, чтобы развернуть фазу. При значениях времени t , где нет изменения целого числа m ₂ , производная φ ( t ) равна

${\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}$

Для функций с дискретным временем это можно записать как рекурсию:

${\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}$

Затем разрывы можно устранить, добавив 2 π всякий раз, когда Δ φ [ n ] ≤ − π , и вычитая 2 π всякий раз, когда Δ φ [ n ] > π . Это позволяет φ [ n ] накапливаться без ограничений и создает развернутую мгновенную фазу. Эквивалентная формулировка, которая заменяет операцию по модулю 2 π комплексным умножением:

$\varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},$

где звездочка обозначает комплексно-сопряженное число. Мгновенная частота дискретного времени (в радианах на выборку) — это просто сдвиг фазы для этой выборки.

$\omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.$

Комплексное представление

В некоторых приложениях, таких как усреднение значений фазы в несколько моментов времени, может быть полезно преобразовать каждое значение в комплексное число или векторное представление:

$e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).$

Это представление похоже на развернутое фазовое представление тем, что оно не различает кратные 2 π фазы, , но похоже на развернутое фазовое представление, поскольку оно непрерывно. Фазу среднего вектора можно получить как аргумент суммы комплексных чисел, не беспокоясь об цикле.

См. также

• Угловое смещение
• Аналитический сигнал
• Частотная модуляция
• Групповая задержка
• Мгновенная амплитуда
• Отрицательная частота

Дальнейшее чтение

• Коэн, Леон (1995). Частотно-временной анализ . Прентис Холл.
• Гранлунд; Кнутссон (1995). Обработка сигналов для компьютерного зрения . Академическое издательство Клувер.