Последовательность выбора

В математике последовательность выбора представляет собой конструктивную формулировку последовательности . интуиционистской Поскольку интуиционистская школа математики, сформулированная Л. Дж. Брауэром , отвергает идею завершенной бесконечности , для того, чтобы использовать последовательность (которая в классической математике является бесконечным объектом), мы должны иметь формулировку конечного, конструктивного объекта. объект, который может служить той же цели, что и последовательность. Таким образом, Брауэр сформулировал последовательность выбора, которая дана как конструкция, а не абстрактный, бесконечный объект.

и

Различают беззаконные и законоподобные последовательности. последовательность Законоподобная — это такая последовательность, которую можно описать полностью, — это завершенная конструкция, которую можно полностью описать. Например, натуральные числа $\mathbb {N}$ можно рассматривать как закономерную последовательность: последовательность может быть полностью конструктивно описана уникальным элементом 0 и функцией-преемником . Учитывая эту формулировку, мы знаем, что $i$элементом последовательности натуральных чисел будет число $i-1$. Аналогично, функция $f:\mathbb {N} \mapsto \mathbb {N}$ отображение натуральных чисел в натуральные числа эффективно определяет значение любого принимаемого аргумента и, таким образом, описывает закономерную последовательность.

( С другой стороны , беззаконная а также свободная ) последовательность не является предопределенной. Это следует рассматривать как процедуру генерации значений аргументов 0, 1, 2, .... То есть незаконную последовательность $\alpha$ это процедура генерации $\alpha _{0}$, $\alpha _{1}$, ... (элементы последовательности $\alpha$) такой, что:

• В любой момент построения последовательности $\alpha$известен только начальный сегмент последовательности, и на будущие значения не накладывается никаких ограничений. $\alpha$; и
• Можно заранее указать начальный сегмент $\langle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\rangle$ из $\alpha$.

Обратите внимание, что первый пункт выше немного вводит в заблуждение, поскольку мы можем указать, например, что значения в последовательности извлекаются исключительно из набора натуральных чисел — мы можем априори указать диапазон последовательности.

Каноническим примером беззаконной последовательности является серия бросков игральной кости . Указываем, какой кубик использовать и, по желанию, заранее указываем значения первого $k$ роллы (для $k\in \mathbb {N}$). Далее мы ограничиваем значения последовательности входящими в множество $\{1,2,3,4,5,6\}$. Эта спецификация содержит процедуру генерации рассматриваемой противоправной последовательности. Таким образом, ни в каком месте не известно какое-либо конкретное будущее значение последовательности.

Аксиоматизация

В частности, мы ожидаем соблюдения двух аксиом относительно последовательностей выбора, описанных выше. Позволять $\alpha \in n$ обозначим отношение «последовательность $\alpha$ начинается с начальной последовательности $n$" для выбора последовательности $\alpha$ и конечный сегмент $n$ (точнее, $n$ вероятно, будет целым числом, кодирующим конечную начальную последовательность).

Мы ожидаем, что следующее, называемое аксиомой открытых данных , будет справедливым для всех беззаконных последовательностей:

$$A(\alpha )\rightarrow \exists n[\alpha \in n\,\land \,\forall \beta \in n[A(\beta )]]$$

где $A$ является одноместным предикатом . Интуитивное обоснование этой аксиомы состоит в следующем: в интуиционистской математике проверка того, что $A$ имеет место последовательность $\alpha$ предоставляется как процедура ; в любой момент выполнения этой процедуры мы будем рассматривать только конечный начальный участок последовательности. Интуитивно эта аксиома утверждает, что, поскольку в любой момент проверки этого $A$ держится $\alpha$, мы только проверим это $A$ справедливо для конечной начальной последовательности $\alpha$; таким образом, должно быть так, что $A$ справедливо также для любой противозаконной последовательности $\beta$ разделяя эту начальную последовательность. Это связано с тем, что на любом этапе процедуры проверки $A(\alpha )$, для любого такого $\beta$ разделяя начальный префикс $\alpha$ закодировано $n$ что мы уже исследовали, если мы запустим ту же процедуру на $\beta$, мы получим тот же результат. Аксиому можно обобщить для любого предиката, принимающего произвольное количество аргументов.

Для беззаконных последовательностей необходима еще одна аксиома. Аксиома плотности , определяемая формулой:

$$\forall n\,\exists \alpha [\alpha \in n]$$

утверждает, что для любого конечного префикса (закодированного) $n$, есть некоторая последовательность $\alpha$ начиная с этого префикса. Нам нужна эта аксиома, чтобы не было «дыр» во множестве последовательностей выбора. Эта аксиома является причиной того, что мы требуем, чтобы произвольно длинные конечные начальные последовательности последовательностей беззаконного выбора могли быть заданы заранее; без этого требования аксиома плотности не обязательно гарантируется.

См. также

• Конструктивизм (философия математики) - математическая точка зрения, согласно которой доказательства существования должны быть конструктивными.

Ссылки

• Даммет, Майкл (1977). Элементы интуиционизма . Издательство Оксфордского университета.

• Фурман, Майкл П. (1982). «Представления о последовательности выбора» (PDF) . Исследования по логике и основам математики . 110 : 91–105. дои : 10.1016/S0049-237X(09)70125-9 . ISBN  9780444864949 .

• Жакетт, Дейл (2002). Компаньон философской логики . Издательство Блэквелл. п. 517. ИСБН  9780631216711 .

• Крайзель, Георг (1958). «Замечание о последовательностях свободного выбора и доказательствах топологической полноты». Журнал символической логики . 23 (4): 369–388. дои : 10.2307/2964012 . JSTOR   2964012 .

• Линнебо, Эйстейн ; Шапиро, Стюарт (23 сентября 2020 г.). «Последовательности выбора: модальный и классический анализ» (PDF) . Университет Осло и Университет штата Огайо . Проверено 14 апреля 2022 г.

• Троэльстра, Энн Шерп (1977). Последовательность выбора. Глава интуиционистской математики . Кларендон Пресс.

• Трульстра, Энн Шерп (1982). «О происхождении и развитии концепции последовательности выбора Брауэра». Исследования по логике и основам математики . 110 : 465–486. дои : 10.1016/S0049-237X(09)70145-4 . ISBN  9780444864949 .

• Трульстра, Энн Шерп (1983). «Анализ последовательности выбора». Журнал философской логики . 12 (2): 197–260. дои : 10.1007/BF00247189 . S2CID   26373820 .

• Троэльстра, Энн Шерп ; Ван Дален, Дирк (1988a). Конструктивизм в математике: Введение, Том 1 . ElsevierScience. ISBN  9780444702661 .

• Троэльстра, Энн Шерп ; Ван Дален, Дирк (1988b). Конструктивизм в математике: Введение, Том 2 . ElsevierScience. ISBN  9780444703583 .