Критерий урожайности на холме

Критерий текучести Хилла, разработанный Родни Хиллом , является одним из нескольких критериев текучести для описания анизотропных пластических деформаций. Самая ранняя версия представляла собой прямое расширение критерия текучести фон Мизеса и имела квадратичную форму. Позднее эта модель была обобщена путем учета показателя степени m . Вариации этих критериев широко используются для металлов, полимеров и некоторых композитов.

Критерий доходности квадратичного холма

Квадратичный критерий доходности Хилла имеет форму

$F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}=1~.$

Здесь F, G, H, L, M, N — константы, которые необходимо определить экспериментально и $\sigma _{ij}$ являются стрессы. Квадратичный критерий текучести Хилла зависит только от девиаторных напряжений и не зависит от давления. Он прогнозирует одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Выражения для F , G , H , L , M , N

Если предположить, что оси анизотропии материала ортогональны, можно записать

$(G+H)~(\sigma _{1}^{y})^{2}=1~;~~(F+H)~(\sigma _{2}^{y})^{2}=1~;~~(F+G)~(\sigma _{3}^{y})^{2}=1$

где $\sigma _{1}^{y},\sigma _{2}^{y},\sigma _{3}^{y}$ – нормальные напряжения текучести относительно осей анизотропии. Поэтому у нас есть

$F={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]$

$G={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]$

$H={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]$

Аналогично, если $\tau _{12}^{y},\tau _{23}^{y},\tau _{31}^{y}$ – напряжения текучести при сдвиге (относительно осей анизотропии), имеем

$L={\cfrac {1}{2~(\tau _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2~(\tau _{31}^{y})^{2}}}~;~~N={\cfrac {1}{2~(\tau _{12}^{y})^{2}}}$

Квадратичный критерий текучести Хилла для плоского напряжения

Квадратичный критерий текучести Хилла для тонколистового проката (условия плоского напряжения) можно выразить как

$\sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}$

где главные напряжения $\sigma _{1},\sigma _{2}$ предполагается совмещенными с осями анизотропии с $\sigma _{1}$ в направлении прокатки и $\sigma _{2}$ перпендикулярно направлению прокатки, $\sigma _{3}=0$, $R_{0}$ - значение R в направлении прокатки, и $R_{90}$ — значение R, перпендикулярное направлению прокатки.

Для частного случая поперечной изотропии имеем $R=R_{0}=R_{90}$ и мы получаем

$\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R}{1+R}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}$

showВывод критерия Хилла для плоского напряжения.

For the situation where the principal stresses are aligned with the directions of anisotropy we have $f:=F(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+G(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}+H(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,$ where $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ are the principal stresses. If we assume an associated flow rule we have ${\dot {\varepsilon }}_{i}^{p}={\dot {\lambda }}~{\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}\qquad \implies \qquad {\cfrac {d\varepsilon _{i}^{p}}{d\lambda }}={\cfrac {\partial f}{\partial \sigma _{i}}}~.$ This implies that ${\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}-2G\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}-2F\sigma _{3}\\{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+G)\sigma _{3}-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}$ For plane stress $\sigma _{3}=0$, which gives ${\begin{aligned}{\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\lambda }}&=2(G+H)\sigma _{1}-2H\sigma _{2}\\{\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\lambda }}&=2(F+H)\sigma _{2}-2H\sigma _{1}\\{\cfrac {d\varepsilon _{3}^{p}}{d\lambda }}&=-2G\sigma _{1}-2F\sigma _{2}~.\end{aligned}}$ The R-value $R_{0}$ is defined as the ratio of the in-plane and out-of-plane plastic strains under uniaxial stress $\sigma _{1}$. The quantity $R_{90}$ is the plastic strain ratio under uniaxial stress $\sigma _{2}$. Therefore, we have $R_{0}={\cfrac {d\varepsilon _{2}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{G}}~;~~R_{90}={\cfrac {d\varepsilon _{1}^{p}}{d\varepsilon _{3}^{p}}}={\cfrac {H}{F}}~.$ Then, using $H=R_{0}G$ and $\sigma _{3}=0$, the yield condition can be written as $f:=F\sigma _{2}^{2}+G\sigma _{1}^{2}+R_{0}G(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}-1=0\,$ which in turn may be expressed as $\sigma _{1}^{2}+{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}={\cfrac {1}{(1+R_{0})G}}~.$ This is of the same form as the required expression. All we have to do is to express $F,G$ in terms of $\sigma _{1}^{y}$. Recall that, ${\begin{aligned}F&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\right]\\G&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}\right]\\H&={\cfrac {1}{2}}\left[{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}+{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}-{\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}\right]\end{aligned}}$ We can use these to obtain ${\begin{aligned}R_{0}={\cfrac {H}{G}}&\implies (1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1+R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1-R_{0}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\\R_{90}={\cfrac {H}{F}}&\implies (1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}-(1-R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}=(1+R_{90}){\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}\end{aligned}}$ Solving for ${\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}},{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}$ gives us ${\cfrac {1}{(\sigma _{3}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}+R_{90}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~{\cfrac {1}{(\sigma _{2}^{y})^{2}}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}$ Plugging back into the expressions for $F,G$ leads to $F={\cfrac {R_{0}}{(1+R_{0})~R_{90}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}~;~~G={\cfrac {1}{1+R_{0}}}~{\cfrac {1}{(\sigma _{1}^{y})^{2}}}$ which implies that ${\cfrac {1}{G(1+R_{0})}}=(\sigma _{1}^{y})^{2}~;~~{\cfrac {F+R_{0}G}{G(1+R_{0})}}={\cfrac {R_{0}(1+R_{90})}{R_{90}(1+R_{0})}}~.$ Therefore the plane stress form of the quadratic Hill yield criterion can be expressed as $\sigma _{1}^{2}+{\cfrac {R_{0}~(1+R_{90})}{R_{90}~(1+R_{0})}}~\sigma _{2}^{2}-{\cfrac {2~R_{0}}{1+R_{0}}}~\sigma _{1}\sigma _{2}=(\sigma _{1}^{y})^{2}$

Обобщенный критерий доходности Хилла

Обобщенный критерий доходности Хилла имеет форму

${\begin{aligned}F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}&+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+M|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}=\sigma _{y}^{m}~.\end{aligned}}$

где $\sigma _{i}$ – главные напряжения (совмещенные с направлениями анизотропии), $\sigma _{y}$ – предел текучести, а F, G, H, L, M, N – константы. Значение m определяется степенью анизотропии материала и должно быть больше 1, чтобы обеспечить выпуклость поверхности текучести.

Обобщенный критерий текучести Хилла для анизотропного материала

Для трансверсально-изотропных материалов с $1-2$ будучи плоскостью симметрии, обобщенный критерий доходности Хилла сводится к (при $F=G$ и $L=M$)

${\begin{aligned}f:=&F|\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}+G|\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+H|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+L|2\sigma _{1}-\sigma _{2}-\sigma _{3}|^{m}\\&+L|2\sigma _{2}-\sigma _{3}-\sigma _{1}|^{m}+N|2\sigma _{3}-\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0\end{aligned}}$

Значение R или коэффициент Ланкфорда можно определить, рассмотрев ситуацию, когда $\sigma _{1}>(\sigma _{2}=\sigma _{3}=0)$. Тогда значение R определяется выражением

$R={\cfrac {(2^{m-1}+2)L-N+H}{(2^{m-1}-1)L+2N+F}}~.$

В условиях плоского напряжения и при некоторых допущениях обобщенный критерий Хилла может принимать несколько форм.

• Случай 1: $L=0,H=0.$

$f:={\cfrac {1+2R}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})-{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0$

• Случай 2: $N=0,F=0.$

$f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(1-2^{m-1})(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-{\cfrac {1}{(1-2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0$

• Случай 3: $N=0,H=0.$

$f:={\cfrac {2^{m-1}(1-R)+(R+2)}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|\sigma _{1}|^{m}-|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{(2+2^{m-1})(1+R)}}(|2\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+|2\sigma _{2}-\sigma _{1}|^{m})-\sigma _{y}^{m}\leq 0$

• Случай 4: $L=0,F=0.$

$f:={\cfrac {1+2R}{2(1+R)}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}+{\cfrac {1}{2(1+R)}}|\sigma _{1}+\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0$

• Случай 5: $L=0,N=0.$. Это критерий доходности Хосфорда .

$f:={\cfrac {1}{1+R}}(|\sigma _{1}|^{m}+|\sigma _{2}|^{m})+{\cfrac {R}{1+R}}|\sigma _{1}-\sigma _{2}|^{m}-\sigma _{y}^{m}\leq 0$

Следует проявлять осторожность при использовании этих форм обобщенного критерия текучести Хилла, поскольку поверхности текучести становятся вогнутыми (иногда даже неограниченными) для определенных комбинаций $R$ и $m$.

Критерий доходности Hill 1993 г.

В 1993 году Хилл предложил другой критерий доходности. для задач плоских напряжений с планарной анизотропией. Критерий Hill93 имеет вид

$\left({\cfrac {\sigma _{1}}{\sigma _{0}}}\right)^{2}+\left({\cfrac {\sigma _{2}}{\sigma _{90}}}\right)^{2}+\left[(p+q-c)-{\cfrac {p\sigma _{1}+q\sigma _{2}}{\sigma _{b}}}\right]\left({\cfrac {\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{0}\sigma _{90}}}\right)=1$

где $\sigma _{0}$ – предел текучести при одноосном растяжении в направлении прокатки, $\sigma _{90}$ - предел текучести при одноосном растяжении в направлении, нормальном к направлению прокатки, $\sigma _{b}$ - предел текучести при равномерном двухосном растяжении, а $c,p,q$ параметры, определяемые как

${\begin{aligned}c&={\cfrac {\sigma _{0}}{\sigma _{90}}}+{\cfrac {\sigma _{90}}{\sigma _{0}}}-{\cfrac {\sigma _{0}\sigma _{90}}{\sigma _{b}^{2}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~p&={\cfrac {2R_{0}(\sigma _{b}-\sigma _{90})}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}-{\cfrac {2R_{90}\sigma _{b}}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{0}}}\\\left({\cfrac {1}{\sigma _{0}}}+{\cfrac {1}{\sigma _{90}}}-{\cfrac {1}{\sigma _{b}}}\right)~q&={\cfrac {2R_{90}(\sigma _{b}-\sigma _{0})}{(1+R_{90})\sigma _{90}^{2}}}-{\cfrac {2R_{0}\sigma _{b}}{(1+R_{0})\sigma _{0}^{2}}}+{\cfrac {c}{\sigma _{90}}}\end{aligned}}$

и $R_{0}$ - значение R для одноосного растяжения в направлении прокатки, и $R_{90}$ — значение R для одноосного растяжения в плоскостном направлении, перпендикулярном направлению прокатки.

Расширение критерия доходности Хилла

Первоначальные версии критерия текучести Хилла были разработаны для материалов, которые не имели поверхностей текучести, зависящих от давления, которые необходимы для моделирования полимеров и пенопластов .

Критерий текучести Кэдделла – Рагхавы – Аткинса.

Расширением, учитывающим зависимость от давления, является модель Кадделла – Рагхавы – Аткинса (CRA). который имеет вид

$F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+I\sigma _{11}+J\sigma _{22}+K\sigma _{33}=1~.$

Критерий текучести Дешпанде–Флека–Эшби.

Еще одним зависящим от давления расширением квадратичного критерия текучести Хилла, которое имеет форму, аналогичную критерию текучести Бреслера-Пистера, является критерий текучести Дешпанде, Флека и Эшби (DFA). для сотовых конструкций (используется в сэндвич-композитных конструкциях). Этот критерий доходности имеет вид

$F(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}+K(\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33})^{2}=1~.$

См. также

• Критерий текучести Логана-Хосфорда для анизотропной пластичности.

Внешние ссылки

• Критерии текучести алюминия