Решетчатая сеть задержки

Решетчатые сети задержки являются важной подгруппой решетчатых сетей . Это всепроходные фильтры , поэтому они имеют плоскую амплитудную характеристику, но фазовую характеристику, которая изменяется линейно (или почти линейно) с частотой. Все решетчатые схемы, независимо от их сложности, основаны на схеме, показанной ниже, которая содержит два последовательных сопротивления Za и два шунтирующих сопротивления Zb. Несмотря на то, что в этой схеме имеется дублирование импедансов, она обеспечивает большую гибкость для разработчика схем, так что в дополнение к ее использованию в качестве сети задержки (как показано здесь) ее можно сконфигурировать в качестве фазокорректора. дисперсионная сеть, амплитудный эквалайзер, или фильтр нижних частот (или полосовой), в зависимости от выбора комплектующих для элементов решетки.

показано В решетчатых сетях , что, когда решетка сконфигурирована как сеть задержки, она имеет характеристический импеданс , который является резистивным (= Ro), ее импедансы Za и Zb являются двойными импедансами , т.е. Za⋅Zb = Ro. ² (или Za/Ro = Ro/Zb), а Za и Zb состоят из катушек индуктивности и конденсаторов. Такая решетка представляет собой сеть постоянного сопротивления и всепропускающий фильтр , и ее фазовая характеристика определяется свойствами Za. Это делает его идеальным в качестве устройства задержки, поскольку его можно включать в каскад других секций фильтра, не влияя на общую амплитудную характеристику и не создавая проблем несогласования, но увеличивая наклон фазы (т. е. задержку) всей сборки. .

Чтобы добиться желаемой задержки, необходимо выбрать конкретные компоненты для Za и Zb, а методы проектирования для этого приведены в последующих разделах. Однако независимо от используемого метода сети обеспечивают постоянную задержку только в конечном диапазоне частот, поэтому, если требуется увеличение полосы пропускания и/или задержки, необходимы более сложные решения для Za и Zb.
Обычно Za и Zb представляют собой сосредоточенные импедансы элементов , подходящие для сетей, работающих на аудио- или видеочастотах, но также возможна работа до ОВЧ и даже УВЧ. Иногда процедуры проектирования могут привести к тому, что Za и Zb будут представлять собой очень сложные сети, но всегда можно получить каскад более простых решеток с идентичными электрическими характеристиками. должно ли это быть предпочтительным.

Секция решетчатой ​​задержки имеет вдвое большую задержку, чем сопоставимая секция лестничного фильтра, и это помогает снизить опасения по поводу дублирования компонентов. В любом случае решетчатую конфигурацию можно преобразовать в несбалансированный эквивалент, что уменьшит количество компонентов и позволит несколько ослабить допуски компонентов. Следовательно, секции решетчатой ​​задержки или их эквиваленты в мостовых Т-схемах способны обеспечивать значительные временные задержки в компактной физической форме и эффективно использовать свою рабочую полосу пропускания. Хотя существуют и другие способы достижения задержки сигнала, например, с помощью коаксиального кабеля большой длины или лестничных сетей с сосредоточенными элементами , такие решения либо имеют больший физический объем, либо неэффективно используют полосу частот, либо имеют плохую фазу. линейность.

Методы расчета решеточных задержек

Первоначально конструкции решетчатых задержек были основаны на теории изображений. целью которого было смоделировать линию передачи конечной длины. Позже сетевого синтеза были введены методы .

Обычно выбираемым ответом для сети задержки является максимально плоская характеристика групповой задержки. Эта задержка не имеет пульсаций и идеально плавна по всей полосе пропускания, отклоняясь от среднего значения только при достижении края полосы. Первоначально такой ответ можно было бы считать идеальным для сети с задержкой, но он не обязательно является наиболее эффективным, и для достижения более широкой полосы пропускания для заданной задержки требуется сеть более высокого порядка. Однако некоторое увеличение полосы пропускания также возможно без увеличения сложности схемы за счет рассмотрения альтернативных характеристик, при которых характеристики фазовой и групповой задержки могут пульсировать в пределах полосы пропускания. ’.

Существует несколько процедур проектирования, с помощью которых можно достичь желаемой аппроксимации линейной фазы, будь то максимально плоской или с пульсациями. Эти методы включают методы теории изображений, метод потенциального аналога и разложение групповой задержки Тейлора, все из которых описаны в следующих разделах.

В ситуациях, когда симметричная сеть не подходит, требуется несимметричная цепь, работающая с заземляющим слоем. преобразование решетки в мостовую Т-образную схему В таких случаях осуществляется , как описано в статье Решетчатая сеть . Получающаяся в результате несбалансированная сеть имеет те же электрические характеристики, что и сбалансированная решетчатая сеть, на которой она основана. Пример этой процедуры приведен в следующем разделе.

Сети, полученные из теории изображений

Идеальная характеристика линии задержки имеет постоянное затухание и линейное изменение фазы в зависимости от частоты, т. е. ее можно выразить как

$T(p)=e^{-p\tau }$

где τ – требуемая задержка.

Как показано в решетчатых сетях , последовательные ветви решетки za определяются выражением

$z_{a}={\frac {1}{z_{b}}}={\frac {1-T(p)}{1+T(p)}}\qquad {\text{so}}\qquad z_{a}={\frac {1-e^{-p\tau }}{1+e^{-p\tau }}}=\tanh \left({\frac {p\tau }{2}}\right)$

В более общем смысле, для решетчатых цепей с задержкой τ сек. и характеристическим сопротивлением Zo выражения для Za и Zb имеют вид $Z_{a}=Z_{0}\tanh \left({\frac {p\tau }{2}}\right)\quad {\text{and}}\quad Z_{b}=Z_{0}\coth \left({\frac {p\tau }{2}}\right)\quad {\text{ where }}\quad Z_{a}\cdot Z_{b}=Z_{0}^{2}$

И е ^{− х} и tanh( x ) не являются рациональными функциями , точные решения для z _a и z _b невозможны, поэтому необходимо использовать некоторую форму аппроксимации.

Приближение непрерывной дроби

Разложение tanh( x ) в непрерывную дробь является

$\tanh(x)={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\cdots }}}}}}}}$

Итак, для сети с задержкой в ​​1 секунду z _a можно записать

$z_{a}(p)=\tanh \left({\frac {p}{2}}\right)={\cfrac {1}{1\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{3\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{5\cdot {\cfrac {2}{p}}+{\cfrac {1}{\cdots }}}}}}}}$

Точное решение требует бесконечного числа членов, но приближение n-го порядка получается путем завершения z _a после n элементов. (Если последним оставшимся компонентом является конденсатор, оставшаяся часть сети заменяется на короткое замыкание). Так, например, завершение этого выражения после шести членов даст задержку шестого порядка, которую можно синтезировать непосредственно методами Кауэра. чтобы дать показанную сеть.

Из этого решения легко найти схему для z _b , поскольку она является двойственной к z _a и

Хотя эту схему z _b было легко получить, она не обязательно является самой идеальной. Если в конечном итоге потребуется несбалансированная схема замещения решетки, было бы лучше, если бы z _b начинался с последовательного индуктора (см. Решетчатые сети ). Для этого сначала необходимо умножить разложение цепной дроби на z _a , чтобы в этом примере получить z _a (и z _b в частности) как отношение многочленов от p. Это

$z_{a}(p)={\frac {24p^{5}+10080p^{3}+332640p}{p^{6}+840p^{4}+75600p^{2}+665280}}={\frac {1}{z_{b}(p)}}$

а для альтернативного варианта Кауэра I расширение происходит следующим образом

$z_{b}={\frac {1}{42}}p+Z_{1}(p)\quad {\text{where}}\quad Y_{1}(p)={\frac {1}{Z_{1}(p)}}={\frac {42p^{5}+10080p^{3}+332640p}{600p^{4}+67680p^{2}+665280}}$

$Y_{1}(p)={\frac {42}{600}}p+Y_{2}(p)\quad {\text{where}}\quad Z_{2}(p)={\frac {1}{Y_{2}(p)}}={\frac {600p^{4}+67680p^{2}+665280}{5342.4p^{3}+286070.4p}}$

и так далее, пока не будет получена показанная ниже сеть.

Более подробная информация о решетчатых схемах, использующих эти импедансы, рассматривается позже в разделе примеров.

Теперь, как показано в разделе «Решетчатые сети» , передаточная функция этой решетки определяется выражением

$T(p)={\frac {1-z_{a}}{1+z_{a}}}$

так

$T(p)={\frac {p^{6}-42p^{5}+840p^{4}-10080p^{3}+75600p^{2}-332640p+665280}{p^{6}+42p^{5}+840p^{4}+10080p^{3}+75600p^{2}+332640p+665280}}$

На основе этого можно рассчитать фазовый график для этой всепроходной функции шестого порядка, который приведен ниже.

Этот отклик такой же, как и при максимально плоской задержке, которая будет получена в следующем разделе. (Фактически, вывод z _a методом цепной дроби приводит к семейству решеток, каждая из которых имеет максимально плоскую характеристику групповой задержки). График фазовой ошибки (т.е. отклонения отклика от линейного) этого отклика можно найти в разделе о максимально плоских сетях с задержкой, где приведены отклики сетей нескольких порядков.

Сети, полученные методом потенциального аналога

Метод потенциального аналога был предложен Дарлингтоном. как простой способ выбора положений полюс-ноль для сетей задержки. Метод позволяет разработчику реализовать характеристику задержки путем интуитивного расположения полюсов и нуля на плоскости комплексной частоты, без необходимости сложных математических вычислений или обращения к справочным таблицам.

Другие аналоговые методы, которые были разработаны, чтобы помочь проектировщику выбрать нулевые положения полюсов для его сетей, включают «модель резинового листа». и «электролитический бак». и Теледельтос бумага

Процедура Дарлингтона начинается с рассмотрения поля между двумя пластинами конденсатора с параллельными пластинами. Поле однородно внутри пластин и отклоняется от линейного только за краями пластин. Для увеличения длины, на которой поле однородно, длину пластин увеличивают по мере необходимости. Следующий шаг — заменить однородные пластины равномерно расположенными заряженными нитями, которые создают такое же поле, но могут привести к «ошибке зернистости» (или пульсации). Наконец, эквивалентная электрическая сеть получается заменой локализованных зарядов нити на полюсы и нули, где характеристика групповой задержки соответствует электрическому полю в потенциальном аналоге.

Типичное расположение полюсов и нулей, номинально дающее электрическую цепь с постоянной групповой задержкой, соответствует схеме, показанной на рисунке ниже (см. также Стюарта ). Полюсы и нули лежат в двух линиях конечной длины, параллельных оси jω на расстоянии a от нее. Кроме того, они разнесены на расстояние b друг от друга в направлении jω.

В общем, Дарлингтон показал, что групповая задержка и эффект детализации определяются выражением

${\text{GD}}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {2\pi }{b}}\pm {\frac {4\pi }{b}}\exp \left(-{\frac {2\pi a}{b}}\right)\cos \left({\frac {2\pi \omega }{b}}\right)$

Хорошее приближение к характеристике единичной задержки получается, если положить a = b = 2 π (значение, которое легко запомнить). Однако пульсация задержки (детализация), возникающая при использовании этих значений a и b, довольно высока и составляет ±8%, и лучший выбор для a — 4,4 (= 1,4 π ), что дает пульсации меньшую пульсацию ±2,5. %. Графики, показанные ниже, относятся к сетям с увеличивающимся числом полюсов и нулей, для a = 4,4 и b = 2 π . Порядок «n» соответствует количеству пар полюс-ноль, присутствующих в сети.

Для частот за пределами диаграммы направленности и нулей групповая задержка подвержена ошибке усечения, но характеристики края полосы характеристики можно улучшить, слегка изменив положение внешних полюсов и нулей, чтобы компенсировать это внезапное прекращение диаграммы направленности. Дарлингтон обсуждает это в своей статье.

Сети могут быть реализованы как каскад решеток второго порядка (или их мостовых Т-эквивалентов) путем выделения комплексно-сопряженной четверки полюсов и нулей для каждой секции каскада (как описано в разделе Решетчатые сети ). В текущем примере нет пары полюс-ноль, расположенной на действительной оси, поэтому сеть первого порядка не требуется.

Сети с максимально плоской характеристикой групповой задержки

Общее выражение для передаточной функции сети фильтров нижних частот имеет вид

$T(p)={\frac {1}{p^{n}+ap^{n-1}+bp^{n-2}+cp^{n-3}+dp^{n-4}+\cdots }}$

Характеристика групповой задержки для этого выражения может быть получена как разложение в степенной ряд по ω около нулевой частоты (т. е. в ряд Маклорена ). Это описывается как максимально плоская характеристика, когда как можно больше коэффициентов при ω в степенном ряду равны нулю, путем соответствующего выбора значений для a , b , c , d и т. д. При получении этой характеристики мало внимания уделяется результирующей амплитудной характеристике фильтра нижних частот. (Фактически, она приближается к гауссовой форме).

Временная задержка для сети нижних частот порядка n с требуемыми максимально плоскими характеристиками определяется выражением

$t_{d}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}=t_{0}{\frac {b_{0}+b_{1}\omega ^{2}+b_{2}\omega ^{4}+\cdots +b_{n-1}\omega ^{2n-1}}{b_{0}+b_{1}\omega ^{2}+b_{2}\omega ^{4}+\cdots +b_{n-1}\omega ^{2n-1}+b_{n}\omega ^{2n}}}$

где первые (n-1) коэффициенты знаменателя равны соответствующим коэффициентам числителя. В этом случае, когда ряд Маклорена для t _d получается путем деления знаменателя на числитель, результат будет следующим:

$t_{d}=t_{0}\left(1-{\frac {b_{n}}{b_{0}}}\omega ^{2n}+{\frac {b_{1}b_{n}}{b_{0}^{2}}}\omega ^{2n+2}-\cdots \right)$

с первыми ( n − 1) производными от t _d (рассматриваемыми как функция ω ² ) при ω = 0 все равны нулю. В этом конкретном выражении максимально плоский отклик имеет порядок n .

При максимально плоской характеристике задержка остается постоянной, равной значению нулевой частоты, в конечном диапазоне частот, но за пределами этого диапазона задержка плавно уменьшается с ростом частоты. Сети более высокого порядка имеют более широкую полосу пропускания.

Всепроходные сети получаются, когда нули вводятся в правую половину плоскости комплексной частоты в местах, которые являются зеркальным отображением левых полюсов. Такая процедура решает проблему плохих характеристик полосы пропускания фильтров нижних частот, с дополнительным преимуществом, заключающимся в том, что полученные цепи обладают свойством постоянного сопротивления. Общий отклик для всепроходной схемы с максимально плоской задержкой определяется выражением

$T(p)={\frac {p^{n}-ap^{n-1}+bp^{n-2}-cp^{n-3}+dp^{n-4}-ep^{n-5}+\cdots }{p^{n}+ap^{n-1}+bp^{n-2}+cp^{n-3}+dp^{n-4}+ep^{n-5}+\cdots }}$

Таким образом, введение нулей дает двойную задержку по сравнению с всеполюсным фильтром нижних частот, но фазовая характеристика по-прежнему сохраняет желаемую максимально плоскую характеристику. Схема может быть реализована как одна решетчатая сеть или каскад решеток низкого порядка, как показано ниже в некоторых примерах, как в решетчатых сетях .

В качестве примера типичного вывода рассмотрим функцию фильтра нижних частот 6-го порядка. Его передаточная функция T ( p ) определяется выражением

$T(p)={\frac {1}{p^{6}+ap^{5}+bp^{4}+cp^{3}+dp^{2}+ep+f}}$

Цель состоит в том, чтобы определить значения для a , b , c , d , e и f так, чтобы групповая задержка функции была максимально плоской.

${\text{Now }}\quad T(j\omega )={\frac {1}{(f-d\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6})+j\omega (e-c\omega ^{2}+a\omega ^{4})}}$

А фазовая характеристика функции равна φ , где

$\phi =\arg(t)=\arctan \left[{\frac {\omega (e-c\omega ^{2}+a\omega ^{4})}{f-d\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6}}}\right]$

где

$u=\omega (e-c\omega ^{2}+a\omega ^{4}\qquad {\text{so}}\quad {\frac {du}{d\omega }}=e-3c\omega ^{2}+5a\omega ^{4}$

и

$v=f-d\omega ^{2}+b\omega ^{4}-\omega ^{6}\qquad {\text{so}}\quad {\frac {dv}{d\omega }}=-2d\omega +4b\omega ^{3}-6\omega ^{6}$

Групповая задержка составляет

${\text{GD}}=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {1}{u^{2}+v^{2}}}\left(v{\frac {du}{d\omega }}-u{\frac {dv}{d\omega }}\right)$

Подставив выражения для u и v и переставив их, получим следующее уравнение для групповой задержки. Обратите внимание, что на этом этапе групповая задержка удваивается, так что результаты будут применяться к всепроходной сети шестого порядка, а не к низкочастотной сети. Таким образом, мы имеем

$GD_{\text{all-pass}}={\frac {2[ef+(de-3cf)\omega ^{2}+(cd+5af-3ad)\omega ^{4}+(5e+bc-3ad)\omega ^{6}+(ab-3c)\omega 8+a\omega ^{10}}{f^{2}+(e^{2}-2df)\omega ^{2}+(d^{2}+2bf-2Ce)\omega ^{4}+(c^{2}+2ae-2f-2bd)\omega ^{6}+(2d+b^{2}-2ac)\omega ^{8}+(a^{2}-2b)}}$

Выбирая GD = 1, когда ω = 0, и приравнивая коэффициенты в числителе и знаменателе, шесть соотношений для шести неизвестных a , b , c , d , e и f получаем , а именно:

$2ef=f^{2}\qquad 2(de-3cf)=e^{2}-2df\qquad 2(cd+5af-3be)=d^{2}+2bf-2ce$

$2(5e+bc-3ad)=c^{2}+2ae-2f-2bd\qquad 2(ab-3c)=2d+b^{2}-2ac\qquad 2a=a^{2}-2b$

Решение этих шести уравнений относительно неизвестных дает

$a=42;\quad b=840;\quad c=10080;\quad d=75600;\quad e=332640;\quad f=665280$

Итак, всепропускающий фильтр шестого порядка с максимально плоской задержкой в ​​1 сек. является

$T(p)={\frac {p^{6}-42p^{5}+840p^{4}-10080p^{3}+75600p^{2}-33260p+665280}{p^{6}+42p^{5}+840p^{4}+10080p^{3}+75600p^{2}+33260p+665280}}$

Это выражение для T ( p ) идентично полученному ранее для задержки шестого порядка методом цепной дроби.

Аналогичная процедура может быть использована для определения передаточных функций сетей всех порядков, имеющих максимально равномерную задержку, хотя для более высоких порядков эта процедура становится утомительной. Более удобный способ получения коэффициентов полиномов состоит в том, чтобы отметить, что они основаны на полиномах Бесселя, а коэффициенты для всепроходных сетей имеют вид

$a_{r}={\frac {(2N-r)!}{2^{N-r}r!(N-r)!}}$

Альтернативно значения можно получить путем проверки опубликованных таблиц. Однако обратите внимание, что результаты в большинстве этих таблиц относятся к нормализованным сетям нижних частот (всеполюсным сетям) с задержкой в ​​1 секунду, поэтому использование данных значений коэффициентов непосредственно в всепроходном выражении приведет к получению схемы с задержка 2 секунды.

подборка результатов для всепроходных сетей четного порядка с n Ниже приведена = от 2 до 12. Для краткости полиномы не приводятся полностью, указаны только коэффициенты.

Для получения этих результатов предположим, что T ( p ) имеет вид $T(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}.$

В полиноме знаменателя D ( p ) все коэффициенты положительны, тогда как в полиноме числителя N ( p ) отрицательные значения принимаются для коэффициентов, когда это указано.

п = 2 1; ±6 12
п = 4 1; ±20; 180; ±840; 1680 г.
п = 6 1; ±42; 840; ±10080; 75600; ±332640; 665280
п = 8 1; ±72; 2520; ±55440; 831600; ±8648640; 60540480; ±259459200; 518918400
п = 10 1; ±110; 5940; ±20592; 504504; ±90810720; 1210809600; ±11762150400; 79394515200 ±335221286400 670442572800
п = 12 1; ±156; 12012; ±600600; 21621600; ±588107520; 12350257920; ±2001132771840; 2514159648000 ±23465490048000; 154872234316800; ±647647525324800; 1295295050649600

Положения полюса и нуля на плоскости комплексных частот для этих откликов, полученных путем факторизации полиномов, следующие.

n = 2 ±3,0 ±j1,7321
n = 4 ±5,7924 ±j1,7345 ±4,2076 ±j5,2548
n = 6 ±8,4967 ±j1,7350 ±7,4714 ±j5,2525 ±5,0319 ±j8,9854
n = 8 ±11,1758 ±j1,7352 ±10,4097 ±j5,2324 ±8,7366 ±j8,8289 ±5,6780 ±j12,7078
n = 10 ±13,8441 ±j1,7353 ±13,2306 ±j5,2231 ±11,9351 ±j8,770 ±9,77244 ±j12,4500 ±6,2178 ±j16,4654
n = 12 ±16,4864 ±j1,8777 ±16,0337 ±j5,1567 ±14,9063 ±j8,7335 ±13,2282 ±j12,3580 ±10,6595 ±j16,1017 ±6,6859 ±j20,2489

Графики фазовой ошибки (т.е. отклонения фазовой характеристики от линейной) для сетей четного порядка от n = 2 до 12 приведены на прилагаемом рисунке.

Все характеристики задержки могут быть реализованы в виде одной решетчатой ​​сети или в виде каскада решеток второго порядка путем выделения симметричной группы (четверки) из двух полюсов и двух нулей для каждой решетки второго порядка в сети и использования отношения, заданные в сети Lattice . Дополнительную информацию о реализации схем см. в разделе «Примеры решетчатых схем» ниже.

Сети задержки с пульсациями фазы в полосе пропускания

Максимально плоский ответ не очень эффективен. Он имеет превосходную линейную фазовую характеристику в пределах своей рабочей полосы пропускания, но для получения больших задержек необходимы большие сложные сети. Однако, допуская пульсацию фазовой характеристики в пределах полосы пропускания, сеть определенного порядка может обеспечить более широкую полосу пропускания (или большую задержку для заданной полосы пропускания).

Допустимый уровень пульсаций задержки (или пульсаций фазы), вносимых схемой, во многом зависит от приложения, в котором используется сеть. В ситуациях, когда важна точность формы сигнала или импульса, допустимая пульсация невелика. Например, в случае сигналов аналогового телевидения содержание изображения также влияет на приемлемые уровни искажений системы. (В случае телевизионных изображений пульсации фазы будут давать эффекты, подобные «двойному» или многолучевому приему, когда несколько изображений низкого уровня накладываются на основное изображение. Также «звон» после переходных фронтов является еще одним результатом нелинейной фазы. Приемлемость ухудшение изображения часто зависит от отображаемой сцены). Уиллер, используя метод «парного эха», предположил, что в телевизионных сигналах допустима пульсация фазы в 0,1 рад, пик-пиксель (или 6 градусов, пик-пике). Другие авторы предполагают, что пульсации групповой задержки в несколько процентов допустимы. При вынесении решения о допустимых искажениях можно установить ограничения на асимметрию формы сигнала, уровень выбросов и предварительных выбросов, а также ухудшение времени нарастания, и это обсуждается позже в разделе «Тестирование переходных процессов».

Сети задержки, полученные с помощью чебышевской ряби

Подробности полюсных положений для сетей нижних частот, которые имеют групповую задержку с характеристикой «чебышевской пульсации» по всей полосе пропускания, для фильтров различных порядков и различных уровней пульсаций, были рассчитаны и опубликованы Ульбрихом и др. и Макни. Таблицы ниже, основанные на этих данных, относятся к всепроходным сетям. Фильтр заданного порядка может обеспечить большую задержку и/или полосу пропускания, если разрешена большая пульсация фазы полосы пропускания.

Положение полюс-ноль для всепроходных сетей с единичной средней задержкой и пульсацией групповой задержки 1 %:

п = 2 ±2,759 ±j1,959
n = 4 ±3,902 ±j2,300 ±3,118 ±j6,698
n = 6 ±4,424 ±j2,539 ±4,176 ±j7,500 ±3,260 ±j12,092
n = 8 ±4,690 ±j2,681 ±4,588 ±j7,985 ±4,285 ±j13,089 ±3,324 ±j17,772
n = 10 ±4,667 ±j2,693 ±4,618 ±j8,049 ±4,493 ±j13,303 ±4,185 ±j18,432 ±3,245 ±j22,931

Положение полюс-ноль для всепроходных сетей с единичной средней задержкой и пульсацией групповой задержки 2 %:

n = 2 ±2,619 ±j1,958
n = 4 ±3,635 ±j2,380 ±2,958 ±j6,909
n = 6 ±3,965 ±j2,620 ±3,778 ±j7,741 ±3,029 ±j12,466
n = 8 ±4,204 ±j2,739 ±4,127 ±j8,164 ±3,895 ±j13,398 ±3,099 ±j18,189
n = 10 ±4,213 ±j2,829 ±4,178 ±j8,459 ±4,086 ±j13,997 ±3,854 ±j19,319 ±3,078 ±j24,176

Положение полюс-ноль для всепроходных сетей с единичной средней задержкой и пульсацией групповой задержки 5 %:

п = 2 ±2,427 ±j2,087
n = 4 ±3,090 ±j2,525 ±2,615 ±j7,308
n = 6 ±3,248 ±j2,731 ±3,141 ±j8,095 ±2,640 ±j13,042
n = 8 ±4,690 ±j2,681 ±4,588 ±j7,985 ±4,285 ±j13,089 ±3,324 ±j17,772

Положение полюс-ноль для всех проходных сетей с единичной средней задержкой и пульсацией групповой задержки 10 %:

п = 2 ±2,187 ±j2,222
n = 4 ±2,459 ±j2,739 ±2,195 ±j7,730

Сеть задержки может быть удобно составлена ​​из каскада решетчатых сетей второго порядка, в каждой секции которых имеется четверка полюсов и нулей из приведенных выше таблиц. Пример сети четвертого порядка с пульсациями групповой задержки 10% рассматривается позже.

Пульсации задержки с использованием аппроксимации бесконечного произведения

Альтернативная форма пульсаций групповой задержки, предпочтительная по сравнению с пульсациями Чебышева равной амплитуды, имеет пульсации малой амплитуды на низких частотах, но пульсации, амплитуда которых увеличивается с увеличением частоты. Эта характеристика более желательна, чем характеристика Чебышева, поскольку фазовые ошибки малы на низких частотах (где спектр типичных сигналов имеет высокое энергосодержание), но могут быть высокими на более высоких частотах (где энергосодержание спектра ниже). .

Подходящая характеристика пульсаций получается путем аппроксимации степенными рядами sinh(x) и cosh(x): вместо того, чтобы выводить разложение tanh(x) в непрерывную дробь, как это было сделано ранее. Обычно при такой процедуре пульсации на фазовой характеристике отклоняются на ±5% от среднего (линейного) значения.

Эти результаты аналогичны результатам, полученным с помощью «метода вынужденной пульсации». где используется метод подбора кривой на конечном числе частот фазовой характеристики.

Для нормализованных сетей (Zo = 1) с единичной задержкой уравнения для za и zb можно записать

$z_{a}=\tanh \left({\frac {p}{2}}\right)={\frac {\sinh(p/2)}{cosh(p/2)}}\qquad {\text{and}}\qquad z_{b}=\coth \left({\frac {p}{2}}\right)={\frac {\cosh(p/2)}{sinh(p/2)}}$

sinh( x ) и cosh( x ) могут быть представлены бесконечными произведениями, и это

$\sinh(x)=x\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{k^{2}\pi ^{2}}}\right)\qquad {\text{and}}\qquad \cosh(x)=\prod _{k=1}^{\infty }\left[1+{\frac {4.x^{2}}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right]$

Итак, для сети с единичной задержкой

$z_{a}={\frac {p}{2}}{\frac {\left(1+{\frac {p^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{16.\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{36\pi ^{2}}}\right)\cdots }{\left(1+{\frac {p^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {p^{2}}{25\pi ^{2}}}\right)\cdots }}$

Завершение серии после конечного числа членов дает аппроксимацию ограниченной полосы пропускания для задержки в 1 секунду. Так, например, выражение для включения членов до p ⁴ даст сеть задержки четвертого порядка. В этом случае _a z

$z_{a}=K_{4}{\frac {4\pi ^{2}p+p^{3}}{9\pi ^{4}+10.\pi ^{2}p^{2}+p^{4}}}\qquad {\text{where}}\qquad K_{4}={\frac {1\times 9\times \pi ^{2}}{2\times 4}}={\frac {9.\pi ^{2}}{8}}$

которую можно реализовать как лестничную сеть с использованием процедуры Кауэра, чтобы дать схему ниже для z _a . Как и раньше, двойственная сеть z _b легко получается путем проверки.

Как уже говорилось, передаточная функция нормализованной решетчатой ​​всепроходной сети определяется выражением

$T(p)={\frac {1-z_{a}}{1+z_{a}}}$

поэтому для сети четвертого порядка, содержащей импеданс za, полученный путем разложения в степенной ряд, равен

$T(p)={\frac {p^{4}-K_{4}p^{3}+80\pi ^{2}p^{2}-K_{4}.4\pi ^{2}p+9\pi ^{4}}{p^{4}+K_{4}p^{3}+80.\pi ^{2}p^{2}+K_{4}\cdot 4\pi ^{2}p+9\pi ^{4}}}\qquad {\text{where}}\qquad K_{4}={\frac {9\pi ^{2}}{8}}$

Он имеет всепроходную амплитудную характеристику, фазовая характеристика которой показана на рисунке ниже.

Ниже приведен набор результатов для сетей четного порядка с n = от 2 до 10. (Как и в случае с результатами, приведенными ранее, полиномы не представлены полностью, указаны только коэффициенты).

В этих результатах $T(p)={\frac {N(p)}{D(p)}}$ где указаны коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе. Для знаменателя D(p) все коэффициенты положительны, тогда как для числителя N(p) берутся отрицательные значения, где указано.

п = 2 1; ±К ₂ ; п ² где К ₂ = π ² /2
п = 4 1; ±К ₄ ; 80 р. ² ;   ±4π ² .К ₄ ; 9π ⁴ где К ₄ = 1×9π ² /2×4 = 9р ² /8
п = 6 1; ±К ₆ ; 35 р. ² ;   ±20π ² .К ₆ ; 259 пи ⁴ ;   ±64π ² .К ₆ ; 225π ⁶ где К ₆ = 1×9×25×π ² /2×4×16 = 225p ² /128
п = 8 1; ±К ₈ ; 84р ² ; ±56π2.К ₈ ; 1974 год ⁴ ;   ±784π ⁴ .К ₈ ; 12916п ⁶ ;  ±2304π ⁶ .К ₈ ; 11025р ⁸ где К ₈ = 1×9×25×49π ² /2×4×16×36 = 11025π ² /4608
п = 10 1; ±К ₁₀ ; 165p ² ;   ±120π ² .К ₁₀ ; 8778р ⁴ ;   ±4368π ⁴ .К ₁₀ ; 172810р ⁶  ;   ±52480π ⁶ .К ¹⁰ ; 1057221п ⁸ ;   ±147456π ⁸ .К ₁₀ ; 893025п ¹⁰ где К ₁₀ = 1×9×25×49×81π ² /2×4×16×36×64 = 893025π ² /294912

Положения полюса и нуля в плоскости комплексной частоты для этих откликов следующие.

n = 2 ±2,4674 ±j1,9446
n = 4 ±2,08573 ±j6,999720 ±3,46592 ±j2,10266
n = 6 ±1,65372 ±j12,92985 ±2,95253 ±j7,141180 ±4,06821 ±j2,18380
n = 8 ±1,39164 ±j19,08424 ±2,39805 ±j13,00016 ±3,51463 ±j7,234452 ±4,50223 ±j2,23670
n = 10 ±1,22048 ±j25,3044 ±2,03964 ±j19,12346 ±2,90618 ±j13,05263 ±3,93447 ±j7,30403 ±4,84234 ±j2,27510

Реакции фазовой ошибки для сетей четного порядка от n = 2 до n = 10 показаны на прилагаемом рисунке.

Сравнивая пропускную способность сетей с неравномерностью полосы пропускания и сетей с максимально ровной характеристикой, достигается увеличение примерно на 50%.

Сравнение трех сетей

В качестве примера рассмотрим производительность максимально плоской сети задержки шестого порядка с двумя сетями четвертого порядка, одной с чебышевской пульсацией и другой, использующей приближение степенного ряда. На рисунке ниже сравниваются графики фазовой ошибки этих трех сетей (сплошная линия соответствует максимально плоскому отклику, пунктирная линия — отклику Чебышева и пунктирная линия — аппроксимации степенным рядом).

Как можно видеть, все три нормализованные схемы задержки имеют номинальную полосу пропускания по линейной фазе 1,6 Гц (10 рад/с).

Для того чтобы сравнить характеристики сетей 4-го порядка с максимально плоской схемой, необходимо использовать соответствующие тестовые формы сигналов. Например, в случае телевизионных сигналов синусоидальные импульсы. для целей могут использоваться

Некоторые примеры схем решетчатой ​​задержки

Все сети, приведенные ниже, нормированы на единичную задержку и одноомную нагрузку. Чтобы масштабировать задержку в τ секунд, умножьте все значения C и L на τ. Чтобы масштабировать другой уровень импеданса Ro, умножьте все значения L на Ro и разделите все значения C на Ro.

Схемы максимально плоского отклика шестого порядка

Схемы, имеющие одну решетку

В первом примере дана схема для максимально плоской задержки 6-го порядка. Значения схемы для z _a и z _b для нормализованной решетки (где z _b двойственен z _a ) были даны ранее. альтернативная версия z _b Однако в этом примере используется , так что можно легко создать несбалансированную альтернативу. Схема

где значения компонентов для нормализованной сети с сопротивлением 1 Ом с задержкой в ​​1 секунду на низких частотах составляют:

Л1 = ⁠ 1/2 = ⁠ 0,5 C1 = ⁠ 1/6 0,16667 ⁠ = L2 = ⁠ 1 / 10 ⁠ = 0.1
С2 = ⁠ 1/14 = 0,07143 L3 ⁠ = ⁠ 1/19 = ⁠ = 0,05556 C3 ⁠ 1 / 22 ⁠ = 0.04545
и
L4' = 0,02381 C4' = 0,070 L5' = 0,11231
C5' = 0,15027 L6' = 0,19104 C6' = 0,2797

Используя процедуры решетчатых сетей , это можно преобразовать в несбалансированную форму, чтобы дать

Схемы с каскадом решеток низкого порядка

Часто желательно разложить решетку на каскад сетей более низкого порядка, поскольку можно ослабить допуски на компоненты.

Для выполнения процедуры возьмите три набора данных полюс-ноль из таблицы для максимально плоских функций для n = 6 и используйте методы в решетчатых сетях.

xA = 8,4967 yA = 1,7350 xB = 7,4714 yB = 5,2525 xC = 5,0319 yC = 8,9854

Итак, для решетки А
C1A = 1/2.xA = 0,05885 = L2A и L1A = 2.xA/(xA ² + да ² ) = 0,2260 = С2А
Для решетки Б
C1B = 1/2.xB = 0,06692 = L2B и L1B = 2.xB/(xB ² + yB ² ) = 0,1791 = C2B
Для решетки C
C1C = 1/2.xC = 0,09937 = L2C и L1C = 2.xC/(xC ² + yC ² ) = 0,09489 = С2С

Эти значения компонентов используются в схеме, показанной ниже.

Фазовая характеристика этого трехсекционного каскада, конечно, идентична приведенной ранее одинарной комплексной решетке.

Этот каскад решеток второго порядка можно преобразовать в несбалансированную конфигурацию методами Решетчатых сетей , и результирующая схема показана.

Схемы с пульсациями фазы

Чебышев, 4-й порядок с пульсацией ГД 10%

По таблицам данных Чебышева, приведенным выше, найдите положения полюса-ноля:

хА = 2,459 уА = 2,739 хВ = 2,195 уБ = 7,730

Итак, для решетки А
C1A = 1/2.xA = 0,2033 = L2A и L1A = 2.xA/(xA ² + да ² ) = 0,3630 = С2А
Для решетки Б
C1B = 1/2.xB = 0,2280 = L2B и L1B = 2.xB/(xB ² + yB ² ) = 0,06799 = С2

Поэтому используйте эти значения в схеме ниже.

Схема аппроксимации вынужденной пульсации 4-го порядка

Из таблиц аппроксимации произведения мощности, приведенных выше, найдите положения полюса и нуля:

хА = 3,4659 уА = 2,1027 хВ = 2,0857 уБ = 6,9997

Итак, для решетки А
C1A = 1/2.xA = 0,1443 = L2A и L1A = 2.xA/(xA ² + да ² ) = 0,4218 = С2А
Для решетки Б
C1B = 1/2.xB = 0,2397 = L2B и L1B = 2.xB/(xB ² + yB ² ) = 0,07820 = C2B

Используйте эти значения в схеме, показанной выше.

Обе сети 4-го порядка можно преобразовать к несбалансированному виду с помощью процедур решетчатых сетей.

См. также

• Мостовой эквалайзер задержки T
• Решетчатый фазовый эквалайзер