Решетчатая сеть

Эта статья об электронных фильтрах. Чтобы узнать о графике, см. граф решетки .

представляет Симметричная решетка собой двухполюсный электрических волн фильтр , в котором присутствуют диагонально скрещенные шунтирующие элементы – конфигурация, которая отличает его от лестничных сетей . Расположение компонентов решетки показано на схеме ниже. Свойства фильтра этой схемы сначала были разработаны с использованием концепции импеданса изображения более общие методы сетевого анализа , но позже к ней были применены .

происходит дублирование компонентов В решетчатой ​​сети , поскольку «последовательные импедансы» (примеры Z _a ) и «шунтирующие импедансы» (примеры Z _b ) встречаются дважды, такое расположение обеспечивает повышенную гибкость разработчику схем с различными возможных ответов. Решётчатая сеть может иметь характеристики: сети задержки, сеть коррекции амплитуды или фазы, дисперсионная сеть или в качестве линейно-фазового фильтра, по выбору комплектующих для элементов решетки.

Конфигурация

Базовая конфигурация симметричной решетки показана на левой схеме. Обычно используемая сокращенная версия показана справа, пунктирные линии указывают на наличие второй пары согласующихся импедансов.

С помощью этой схемы можно задать характеристический импеданс независимо от ее свойств передачи. функция, недоступная для структур лестничного фильтра. Кроме того, можно спроектировать схему как сеть постоянного сопротивления для ряда характеристик схемы.

Решётчатую структуру можно преобразовать в несбалансированную форму (см. ниже) для включения в цепи с заземляющим слоем. Такие преобразования также уменьшают количество компонентов и ослабляют допуски компонентов.

Можно перерисовать решетку в моста Уитстона . конфигурации (как показано в статье Сеть Зобеля ). Однако это не удобный формат для исследования свойств решетчатых фильтров, особенно их поведения в каскаде.

Основные свойства

Результаты теории изображений

Теория фильтров изначально была разработана на основе более ранних исследований линий электропередачи. В этой теории секция фильтра определяется с точки зрения ее постоянной распространения и импеданса изображения (или характеристического импеданса).

В частности, для решетки функция распространения γ и характеристический импеданс Z _o определяются формулами:

$\gamma =\ln \left(\ {\frac {\ {\sqrt {{\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}+1\ }}\ }{\ {\sqrt {\ {\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}-1\ }}\ }}\ \right)=2\ \operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}\ }}\qquad \;$ и $\;\qquad Z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\ Z_{\mathsf {a}}\cdot Z_{\mathsf {b}}\ }}$

После γ и Z _{o можно найти решения для} выбора $\;{\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}\;$ и $\;Z_{\mathsf {a}}\cdot Z_{\mathsf {b}}\;$ откуда характеристики Z _a и Z _b каждый может быть определен. (На практике выбор γ и z _o ограничивается теми, которые приводят к физически реализуемым импедансам для Z _a и Z _b .) Хотя схема фильтра может иметь одну или несколько полос пропускания и, возможно, несколько полос задерживания (или областей затухания), здесь рассматриваются только сети с одной полосой пропускания.

В полосе пропускания схемы произведение Z _a × Z _b является действительным (т. е. Z _o является резистивным) и может быть приравнено к R _o , конечному сопротивлению фильтра. Так

$Z_{\mathsf {a}}\ Z_{\mathsf {b}}=R_{\mathsf {o}}^{2}\qquad \;$ или $\;\qquad {\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}={\frac {\ R_{\mathsf {o}}\ }{Z_{\mathsf {b}}}}\qquad \;$ (для частот в полосе пропускания)

То есть в этом частотном диапазоне импедансы ведут себя как двойники друг другу.

В диапазоне затухания фильтра характеристическое сопротивление фильтра чисто мнимое , и

$Z_{\mathsf {a}}=Z_{\mathsf {b}}\qquad \qquad \qquad \;$ (для частот в полосе затухания)

Следовательно, для достижения конкретной характеристики реактивные сопротивления внутри Z _a и Z _b выбираются так, чтобы их резонансная и антирезонансная частоты были двойственными друг другу в полосе пропускания и совпадали друг с другом в полосе задерживания. Переходную область фильтра, где происходит смена одного набора условий на другой, можно сделать сколь угодно узкой за счет увеличения сложности Z _a и Z _b . Фазовая характеристика фильтра в полосе пропускания определяется расположением (расстоянием) резонансных и антирезонансных частот Z _a и Z _b .

Для удобства нормированные параметры   y _o и z _o определяются формулами

$y_{\mathsf {o}}={\sqrt {{\frac {\ Z_{\mathsf {b}}\ }{Z_{\mathsf {a}}}}\ }}={\sqrt {{\frac {\ z_{\mathsf {b}}\ }{z_{\mathsf {a}}}}\ }}\qquad \;$ и $\;\qquad z_{\mathsf {o}}={\sqrt {\ z_{\mathsf {a}}\cdot z_{\mathsf {b}}\ }}={\frac {\ Z_{\mathsf {o}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}$

где нормированные значения $\;z_{\mathsf {a}}={\frac {\ Z_{\mathsf {a}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}\;$ и $\;z_{\mathsf {b}}={\frac {\ Z_{\mathsf {b}}\ }{R_{\mathsf {o}}}}\;$ были представлены. Параметр y _o называется индексной функцией , а z _o представляет собой нормализованное характеристическое сопротивление сети. Параметр y _o равен примерно 1 в области затухания; z _o составляет приблизительно 1 в области передачи.

Каскадные решетки

Все решетчатые сети высокого порядка могут быть заменены каскадом более простых решеток при условии, что их характеристические импедансы равны оригиналу, а сумма их функций распространения равна оригиналу. В частном случае всепроходных сетей (сетей, которые изменяют только фазовую характеристику) любую данную сеть всегда можно заменить каскадом решеток второго порядка вместе, возможно, с одной единственной решеткой первого порядка.

Какие бы требования к фильтру ни рассматривались, процесс сокращения приводит к более простой конструкции фильтра с менее строгими требованиями к допускам компонентов.

Недостатки теории изображений

Характеристики фильтра, предсказанные теорией изображений, требуют правильно завершенной сети. Поскольку необходимые согласования зачастую невозможно обеспечить, в качестве согласований обычно используются резисторы, что приводит к несогласованному фильтру. Следовательно, предсказанные амплитудные и фазовые характеристики схемы больше не будут такими, как предсказывает теория изображений. Например, в случае фильтра нижних частот, где рассогласование наиболее сильное вблизи частоты среза, переход из полосы пропускания в полосу задерживания оказывается гораздо менее резким, чем ожидалось.

На рисунке ниже показана проблема: решетчатый фильтр, эквивалентный двум секциям фильтра нижних частот с постоянным k , был получен методами изображения. (Сеть нормализована, с $\;L=1\;$ и $\;C=1\;,$ так $\;R_{\mathsf {o}}={\sqrt {\ {\tfrac {\ L\ }{C}}\ }}=1\;$ и $\;\omega _{\mathsf {c}}=2\ {\sqrt {\ L\ C\ }}=2~.$ На левом рисунке показана решетчатая схема, а на правом рисунке показаны вносимые потери при условии, что сеть завершена (1) резистивно и (2) с правильными характеристическими импедансами.

Чтобы свести к минимуму проблему несоответствия, различные формы концевых окончаний фильтров изображений и другие предложили Зобель , но неизбежные компромиссы привели к тому, что метод вышел из моды. На смену ему пришли более точные методы сетевого анализа и сетевого синтеза .

Результаты, полученные с помощью сетевого анализа

На этой схеме показана общая схема симметричной решетки:

С помощью анализа сетки или узлового анализа схемы можно найти ее полную передаточную функцию. То есть,

$${\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{L}(Z_{b}-Z_{a})}{(Z_{a}+Z_{b})(Z_{S}+Z_{L})+2(Z_{a}Z_{b}+Z_{S}Z_{L})}}$$

Входное и выходное сопротивление ( Z _in и Z _out ) сети определяется выражением

$${\begin{aligned}Z_{\text{in}}={\frac {2Z_{a}Z_{b}+Z_{L}(Z_{a}+Z_{b})}{Z_{a}+Z_{b}+2Z_{L}}}\\[1ex]Z_{\text{out}}={\frac {2Z_{a}Z_{b}+Z_{S}(Z_{a}+Z_{b})}{Z_{a}+Z_{b}+2Z_{S}}}\end{aligned}}$$

Эти уравнения точны для всех возможных значений импеданса, в отличие от теории изображений, где функция распространения точно предсказывает производительность только тогда, когда Z _S и Z _L являются совпадающими характеристическими импедансами сети.

Уравнения можно упростить, сделав ряд допущений. Во-первых, сети часто включаются и завершаются резисторами одного и того же номинала R _0, так что Z _S = Z _L = R ₀ и уравнения принимают вид

$${\begin{aligned}{\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}&={\frac {R_{0}(Z_{b}-Z_{a})}{2(Z_{a}+R_{0})(Z_{b}+R_{0})}}\\[1ex]Z_{\text{in}}=Z_{\text{out}}&={\frac {2Z_{a}\,Z_{b}+R_{0}(Z_{a}+Z_{b})}{Z_{a}+Z_{b}+2R_{0}}}\end{aligned}}$$

Во-вторых, если импедансы Z _a и Z _b двойственны друг другу, так что Z _a Z _b = R ₀ ² , то возможно дальнейшее упрощение:

$${\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {R_{0}-Z_{a}}{2(R_{0}+Z_{a})}}={\frac {Z_{b}-R_{0}}{2(R_{0}+Z_{b})}}\qquad {\text{and}}\qquad Z_{\text{in}}=Z_{\text{out}}=R_{0}$$

поэтому такие сети являются сетями постоянного сопротивления.

Наконец, для нормализованных сетей с R ₀ = 1

$${\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {(1-z_{a})}{2(1+z_{a})}}={\frac {(z_{b}-1)}{2(1+z_{b})}}\qquad \qquad {\text{and}}\qquad z_{\text{in}}=z_{\text{out}}=1$$

Если импедансы Z _a и Z _b (или нормированные импедансы z _a и z _b ) являются чистыми реактивными сопротивлениями, то сети становятся всепроходными, с постоянным сопротивлением, с плоской частотной характеристикой, но с переменной фазовой характеристикой. Это делает их идеальными в качестве сетей задержки и фазовых эквалайзеров.

Когда резисторы присутствуют в пределах Z _a и Z _b, тогда, при условии, что условие двойственности все еще применяется, цепь будет иметь постоянное сопротивление, но иметь переменную амплитудную характеристику. Одним из применений таких схем является выравнивание амплитуды.

Преобразования и эквивалентности

(См. ссылки )

Т к решетке

Пи в решетку

Общий элемент серии

Общий параллельный элемент

Объединение двух решеток в одну

Решетка для T (см. также следующий раздел)

Shunt

Это преобразование решетки в T дает реализуемую схему только тогда, когда вычисление ( Z _b − Z _a ) / 2 дает компоненты с положительными значениями. В других ситуациях мостовое соединение T может обеспечить решение, как обсуждается в следующем разделе.

Несбалансированные эквиваленты

Решетка представляет собой сбалансированную конфигурацию, которая не подходит для некоторых применений. В таких случаях необходимо преобразовать схему к электрически эквивалентному несбалансированному виду. Это обеспечивает такие преимущества, как уменьшение количества компонентов и снижение допусков схемы. Простая процедура преобразования, показанная в предыдущем разделе, может применяться только в ограниченном наборе условий — как правило, необходима некоторая форма мостовой Т-образной схемы. Многие преобразования требуют включения идеального трансформатора 1:1. но есть некоторые конфигурации, которые позволяют избежать этого требования, и один из примеров показан ниже.

Эта процедура преобразования начинается с использования свойства решетки, при которой общий элемент серии во всех плечах может быть вынесен за пределы решетки как два элемента серии (как показано выше). Повторно применяя это свойство, можно извлечь компоненты из решетчатой ​​структуры. Наконец, с помощью теоремы Бартлетта пополам , достигается несбалансированная мостовая схема.

На левом рисунке плечо Z _a имеет шунтирующий конденсатор C _a , а плечо Z _b имеет последовательный конденсатор C _b . Следовательно, Z _a состоит из C _a параллельно с Z _a ′, а Z _b состоит из C _b последовательно с Z _b ′. Это может быть преобразовано в показанный несбалансированный мостовой Т при условии, что C _a > C _b .

(В альтернативной версии этой схемы Т-конфигурация конденсаторов заменена на схему Pi (или Delta). Для преобразования T в Pi см. уравнения в разделе «Аттенюатор (электроника)» ).

При C _b > Ca _. необходима альтернативная процедура, при которой общие индукторы сначала извлекаются из ветвей решетки Как показано, дроссель L _a шунтирует Z _a ', а дроссель L _b включен последовательно с Z _b '. Это приводит к альтернативной мостовой схеме Т справа.

Если L _a > L _b , то дроссель с отрицательным значением можно получить с помощью взаимно связанных катушек. Для достижения отрицательной взаимной индуктивности два связанных индуктора L1 и L2 наматываются последовательно.

Итак, наконец, мостовая Т-схема принимает вид

Подобные мостовые схемы Т-типа могут использоваться в сетях с задержкой и фазовой коррекцией.

Другая конфигурация решетки, содержащая резисторы, показана ниже. Он имеет шунтирующие резисторы Ro между Z _a и последовательные резисторы Ro как часть Z _b , как показано на рисунке слева. Его легко преобразовать в несбалансированную мостовую схему Т-образного типа, как показано справа.

Когда Z ₁ Z ₂ = R ₀ ² он становится сетью постоянного сопротивления, вносимая потеря которой определяется выражением $T(p)={\frac {R_{0}}{R_{0}+Z_{1}(p)}}$

При нормировании на 1 Ом источник, нагрузка и R ₀ равны единице, поэтому Z ₁ .Z ₂ = 1, и вносимые потери становятся

$$T(p)={\frac {1}{1+Z_{1}(p)}}$$

В прошлом схемы, сконфигурированные таким образом, были очень популярны в качестве эквалайзеров амплитуды. Например, они использовались для компенсации высокочастотных потерь в телефонных кабелях. и в длинных коаксиальных кабелях для телевизионных установок.

Пример, показывающий процедуру проектирования простого эквалайзера, приведен ниже в разделе синтеза.

Всепроходные сети

(См. ранее цитированные ссылки на Зобеля, Дарлингтона, Боде и Гиймена. См. также Стюарта. и Вайнберг.)

Всепроходные сети являются важным подклассом решетчатых сетей. Они использовались в качестве пассивных задержек с сосредоточенными элементами, в качестве фазовых корректоров для сетей фильтров и в дисперсионных сетях. Это сети с постоянным сопротивлением, поэтому их можно каскадировать друг с другом и с другими цепями без возникновения проблем несоответствия.

В случае всепроходных сетей область затухания отсутствует, поэтому импедансы Z _a и Z _b (решетки) двойственны друг другу на всех частотах, а Z ₀ всегда является резистивным, равным R ₀ .

то есть

$$Z_{a}Z_{b}=R_{0}^{2}\qquad \qquad {\text{(at all frequencies)}}$$

Для нормализованных сетей, где R ₀ = 1 , передаточную функцию T ( p ) можно записать

$$T(p)={\frac {1-z_{a}(p)}{1+z_{a}(p)}}={\frac {z_{b}(p)-1}{z_{b}(p)+1}}$$

и так

$$z_{a}(p)={\frac {1-T(p)}{1+T(p)}}\qquad {\text{and}}\qquad z_{b}(p)={\frac {1+T(p)}{1-T(p)}}$$

На практике T ( p ) можно выразить как отношение полиномов от p , а импедансы z _a и z _b также являются отношениями полиномов от p . Чтобы импедансы были реализуемы, они должны удовлетворять теореме о реактивном сопротивлении Фостера .

Две простейшие всепроходные сети — это решетки первого и второго порядка. Это важные цепи, потому что, как отметил Боде, все многопроходные решетчатые сети высокого порядка могут быть заменены каскадом сетей второго порядка, возможно, с одной сетью первого порядка, чтобы дать идентичный ответ.

Эти две простые нормализованные решетки имеют передаточное сопротивление, определяемое выражением

$$T_{1}(p)={\frac {-p+c}{p+c}}\qquad \qquad {\text{and}}\qquad T_{2}(p)={\frac {p^{2}-ap+b}{p^{2}+ap+b}}$$

Более подробно схемы рассмотрены в разделе «Синтез».

Решетчатый синтез

Синтез сети — это процесс создания схемы, соответствующей выбранной передаточной функции. Не все передаточные функции могут быть реализованы с помощью физических сетей, но для тех, которые могут, решётчатая сеть всегда является решением. Другими словами, если симметричная двухполюсная парная сеть вообще реализуема, то она реализуема как решетчатая сеть. Это связано с тем, что решетчатая структура является наиболее общей формой сети с меньшим количеством ограничений, чем, скажем, сети T, П или мостовые сети T.

После того как решетчатая схема разработана, часто желательно преобразовать результат в несбалансированную форму. так что схему можно использовать в системах с заземляющим слоем. Кроме того, процесс преобразования дает и другие преимущества, такие как уменьшение количества компонентов и менее строгие допуски на компоненты. Если в результате процедуры синтеза получается несколько возможных решеточных решений, обычно выбирается то, которое легче всего преобразовать. Часто процесс преобразования приводит к образованию взаимно связанных индукторов, как было показано ранее, но иногда можно вообще избежать этого, если допустимо высокое значение вносимых потерь. или если рассматривается параллельное сочетание цепей.

Синтез с параметрами z

z-параметры, или параметры импеданса , представляют собой один набор из семейства параметров, которые определяют двухпортовую сеть, с входными и выходными значениями, определяемыми I ₁ , I ₂ , V ₁ и V ₂ , как показано на рисунке.

Двухпортовая сеть

Уравнения, определяющие поведение сети с точки зрения z-параметров:

$${\begin{aligned}E_{1}=z_{11}I_{1}+z_{12}I_{2}\\E_{2}=z_{21}I_{1}+z_{22}I_{2}\end{aligned}}$$

где z-параметры определяются в условиях разомкнутой цепи (см. Параметры импеданса ), поэтому их иногда называют «параметрами разомкнутой цепи». Они определяются так

$$z_{11}=\left[{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right]{\text{ with }}I_{2}=0\qquad \qquad z_{12}=\left[{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right]{\text{ with }}I_{1}=0$$

$$z_{21}=\left[{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right]{\text{ with }}I_{2}=0\qquad \qquad z_{22}=\left[{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right]{\text{ with }}I_{1}=0$$

Для симметричной решетки легко находятся связи между z-параметрами и импедансами решетки, и они

$$z_{11}=z_{22}={\frac {Z_{a}+Z_{b}}{2}}\qquad z_{12}=z_{21}={\frac {Z_{b}-Z_{a}}{2}}$$

$$Z_{I}={\sqrt {Z_{a}Z_{b}}}$$

Так, $$Z_{a}=z_{11}-z_{12}\,,\quad Z_{b}=z_{11}+z_{12}$$

Иногда синтез решетки может быть достигнут путем простого распределения частей выражения в z ₁₂ или в z ₁₁ и z ₁₂ непосредственно на импедансы Z _a и Z _b , как в следующем примере.

Пример 1

Считайте, что z ₁₂ определяется выражением

$$z_{12}={\frac {p^{5}}{(p^{2}+1)(p^{2}+2)}}$$

Это можно разложить на частичные дроби, чтобы получить

$$z_{12}={\frac {p}{p^{2}+1}}-{\frac {4p}{p^{2}+2}}+p$$

Назначьте члены Z _a и Z _b соответственно, так что давая

$$Z_{a}={\frac {8p}{p^{2}+2}}$$ и $Z_{b}={\frac {2p}{p^{2}+1}}+2p={\frac {2p^{3}+4p}{p^{2}+1}}$

Решетчатая сеть, которая имеет эти решения для Z _a и Z _b, показана на левой схеме ниже. Его можно преобразовать в несимметричную форму, во-первых, извлекая общие параллельные катушки индуктивности и, во-вторых, извлекая последовательно общие конденсаторы. Это дает лестничную сеть, показанную на правой схеме.

Синтез из передаточной функции разомкнутой цепи

Передаточная функция коэффициента напряжения холостого хода T может быть получена через z ₁₁ и z ₁₂ , так как при I ₂ = 0

$$T={\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {z_{12}}{z_{11}}}$$

поэтому из выражения для T , которое дает соотношение z ₁₂ и z ₁₁ , можно получить схемы для Z _a и Z _b .

На практике T можно выразить в виде

$$T(p)=K\cdot {\frac {N(p)}{D{p}}}$$

где N ( p ) и D ( p ) — полиномы от p , комплексной частотной переменной, а K — постоянный коэффициент, меньший или равный единице.

Для данного выражения для T часто можно найти выражения (и, следовательно, схемы для Z _a и Z _b ), при условии, что выбранное значение K достаточно мало.

Теперь о решетке. $T={\frac {z_{11}}{z_{12}}}={\frac {Z_{b}-Z_{a}}{Z_{b}+Z_{a}}}={\frac {1-{\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}}{1+{\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}}}$

Перестановка ${\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}={\frac {1-T}{1+T}}={\frac {D-KN}{D+KN}}$

Процедура вычисляет числитель и знаменатель выражения как полиномы от p, а затем распределяет множители на Z _a и Z _b . Для облегчения реализации может потребоваться член потерь K с K <1.

Пример 2

Выведите решетчатую сеть с передаточной функцией отношения напряжения T _2, заданной выражением

$$T_{2}=K\cdot {\frac {p^{2}+1}{p^{2}+5p+4}}$$ с $K=1$ и $${\begin{aligned}D-KN&=p^{2}+5p+4-p^{2}-1=5p+3\\D+KN&=p^{2}+5p+4+p^{2}+1=2p^{2}+5p+5\end{aligned}}$$ $${\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}={\frac {5p+3}{2p^{2}+5p+5}}={\frac {1+3/5p}{1+(2p^{2}+5)/5p}}$$

Выбирать $Z_{a}=1+{\frac {3}{5p}}$ и $Z_{b}=1+{\frac {2p}{5}}+{\frac {1}{p}}$

Решётчатая реализация T ₂ показана ниже, слева. Несбалансированная сеть справа получается путем извлечения сначала общих последовательных резисторов, а затем извлечения емкости.

Пример 3

LC-цепь имеет передаточную функцию T _3, определяемую выражением

$$T_{3}=K\cdot {\frac {(p^{4}+1)}{(p^{2}+1)(p^{2}+2)}}$$

Это реализуемо при К = 0,05, так

$${\frac {D-KN}{D+KN}}={\frac {0.95(p^{4}+3.1579p^{2}+2.0526}{1.05(p^{4}+2.8571p^{2}+1.9524}}={\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}$$

Факторизация верха и низа дает

$${\frac {Z_{a}}{Z_{b}}}={\frac {0.95(p^{2}+0.9153)(p^{2}+2.2426)}{11.05(p^{2}+1.1312)(p^{2}+1.7259)}}$$

Выбери, скажем,

$$Z_{a}={\frac {0.9048(p^{2}+2.2426)}{(p^{+}1.1312)}}\qquad {\text{and}}\qquad Z_{b}={\frac {p(p+1.7259)}{p^{2}+0.9153}}$$

Z _a и Z _b могут быть реализованы как лестничные схемы LC, где Z _a имеет шунтирующий индуктор в качестве первого элемента, а Z _b имеет последовательный индуктор в качестве первого элемента, как показано на рисунке слева. Эту решетку можно преобразовать в несбалансированную форму с помощью методов, описанных ранее, чтобы получить значения компонентов правой фигуры:

Синтез Дарлингтона

Метод Дарлингтона лежит в основе синтеза двухпарных сетей без потерь с резистивным окончанием для заданных передаточных характеристик.

Сеть для метода Дарлингтона

На рисунке показана базовая конфигурация сети. Соответствующее передаточное сопротивление равно

$$T={\frac {E_{2}}{I_{1}}}$$

Первый шаг — выразить входное сопротивление Z _I оконечной сети через ее z-параметры. Это

$$Z_{I}={\frac {(z_{11}z_{22}-z_{12}^{2})+z_{11}R}{z_{22}+R}}$$

в котором z ₁₁ , z ₂₂ и z ₁₂ являются z-параметрами сети, как определено ранее. Для нормализованной сети положите R = 1 и переставьте выражение следующим образом:

$$Z_{I}=z_{11}\cdot {\frac {(z_{11}z_{22}-z_{12}^{2})/z_{11}+1}{z_{22}+1}}$$

На практике Z _I состоит из отношения двух многочленов от p:

$$Z_{I}={\frac {N(p)}{D(p)}}={\frac {m_{1}+n_{1}}{m_{2}+n_{2}}}$$

где m ₁ и n ₁ - четная и нечетная части полинома числителя соответственно, а m ₂ и n ₂ - четная и нечетная части полинома знаменателя соответственно.

Перестановка $Z_{I}={\frac {m_{1}}{n_{2}}}\cdot {\frac {(n_{1}/m_{1})+1}{(m_{2}/n_{2})+1}}$

Сравнивая два выражения для Z _I , можно предположить следующие соотношения:

$$z_{11}={\frac {m_{1}}{n_{2}}}\qquad \qquad z_{22}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}\qquad \qquad z_{12}={\frac {\sqrt {m_{1}m_{2}-n_{1}n_{2}}}{n_{2}}}$$

Пример 4

Рассмотрим сеть с Z _I, заданную формулой

$$Z_{I}={\frac {2.1351p^{3}+1.915p^{2}+2.4969p+1}{1.327p^{2}+1.18p+1}}$$ Так, $${\begin{aligned}m_{1}&=1.915p^{2}+1&n_{1}&=2.1351p^{3}+1\\m_{2}&=1.327p^{2}+1&n_{2}&=1.18p\end{aligned}}$$

Таким образом, решения для z ₁₁ , z ₂₂ и z ₁₂ являются $$z_{11}={\frac {1.915p^{2}+1}{1.18p}}=1.6229p+{\frac {1}{1.18p}}$$

т.е. z ₁₁ представляет собой катушку индуктивности 1,6229Гн, включенную последовательно с конденсатором 1,18Ф.

$$z_{22}={\frac {1.327p^{2}+1}{1.18p}}=1.1246p+{\frac {1}{1.18}}$$

т.е. z ₂₂ - это дроссель 1,1246Гн последовательно с конденсатором 1,18Ф

$${\begin{aligned}z_{12}&={\frac {\sqrt {(1.915p^{2}+1)(1.327p^{2}+1)-(2.1351p^{3}+2.4969p)}}{1.18p}}\\&={\frac {\sqrt {0.0218p^{4}+0.2957p^{2}+1}}{1.18p}}\quad ={\frac {0.1479p^{2}+1}{1.18p}}\quad =0.1253p+{\frac {1}{1.18p}}\end{aligned}}$$

Извлекая последовательную индуктивность 0,4983 p = (1,6229 p – 1,1246 p ) из z ₁₁ , оставшаяся сеть становится симметричной с

$${\begin{aligned}z_{11}^{\text{(new)}}=z_{22}=1.1246p+{\frac {1}{1.18p}}\\z_{12}=0.1253p+{\frac {1}{1.18p}}\end{aligned}}$$

Компоненты симметричной решетки можно вычислить по формулам Z _a = z ₁₁ - z ₁₂ и Z _b = z ₁₁ + z ₁₂ .

Так $$Z_{a}=1.1246p+{\frac {1}{1.18p}}-0.1253p-{\frac {1}{1.18p}}=0.9993p,$$ т.е. индуктор 0,9993Гн.

и $$Z_{b}=1.1246p+{\frac {1}{1.18p}}+0.1253p+{\frac {1}{1.18p}}=1.2499p+{\frac {2}{1.18p}},$$ т.е. катушка индуктивности 1,2499Гн последовательно с конденсатором 0,59Ф.

Схема показана на левом рисунке ниже. Его можно легко преобразовать в несбалансированную форму, показанную на рисунке справа. Это фильтр нижних частот с пульсациями в полосе пропускания 1,25 дБ, с -3 дБ на частоте 0,169 Гц, нулевым значением в полосе задерживания на частоте 0,414 Гц и затуханием в полосе задерживания за пределами нулевой частоты ниже -40 дБ.

Синтез решетчатых сетей постоянного сопротивления.

Если импедансы Z _a и Z _b двойственны и нормированы, так что

$$Z_{a}Z_{b}=1$$

тогда импеданс изображения Z _I становится чистым сопротивлением. Симметричная решетка, удовлетворяющая этому условию, представляет собой «решетку постоянного сопротивления».

Такая решетка, оконцованная на 1 Ом, показана ниже.

Завершенная решетка Constant-R

Есть функция передачи

$${\frac {E_{2}}{E_{1}}}={\frac {E_{2}}{I_{1}}}=T={\frac {1-Z_{a}}{1+Z_{a}}}$$

где Т - передаточное сопротивление при нагрузке 1 Ом в отличие от передаточного сопротивления холостого хода z ₂₁ . Перестановка этого дает

$$Z_{a}={\frac {1-T}{1+T}}$$

Таким образом, решетка постоянного сопротивления предлагает возможный подход к синтезу передаточных функций.

Это тот случай, когда решетка постоянного сопротивления является не менее общей, чем любая другая решетка, а это означает, что любой реализуемый передаточный импеданс может быть реализован в форме решетки постоянного сопротивления. Такие сети очень удобны, поскольку нет несоответствия между секциями или с резистивными окончаниями. Следовательно, общие вносимые потери каскада секций постоянного сопротивления представляют собой просто сумму отдельных секций. И наоборот, заданный сложный передаточный импеданс может быть разложен на мультипликативные коэффициенты, отдельные реализации решетки которых при каскадном соединении представляют собой синтез этого передаточного импеданса. Итак, хотя можно синтезировать одну решетку со сложными импедансами Z _a и Z _b , практически проще построить и настроить каскад из более простых схем.

Всепроходные сети постоянного сопротивления

Всепроходные сети имеют постоянный коэффициент усиления в зависимости от частоты, но у них есть фазовая характеристика, которая изменяется некоторым выбранным образом. Например, в случае решетчатых сетей задержки фазовая характеристика линейна в зависимости от частоты в заданном диапазоне частот, тогда как в случае решетчатых фазовых эквалайзеров фазовая характеристика сети отклоняется, чтобы компенсировать нелинейную фазу. реакция фильтрующей сети.

Сети первого и второго порядка являются наиболее важными, поскольку, по мнению Боде Как уже отмечалось, при необходимости их можно соединить каскадом, чтобы получить тот же результат, что и сложная решетка высокого порядка.

Пример 5

Всепроходной ответ первого порядка равен

$$T_{5}={\frac {c-p}{c+p}}$$

Он имеет ноль, расположенный в +c, и полюс в – c в плоскости комплексной частоты. Он имеет отклик, при котором фаза меняется в зависимости от частоты, но величина Т ₅ равна единице на всех частотах.

Использование выражения для Z _a как функции от T , полученного ранее, дает

$$Z_{a}={\frac {1-T_{5}}{1+T_{5}}}={\frac {p}{c}}$$

Итак, Z _a — это индуктивность со значением 1/ c и, следовательно, Z _b — конденсатор со значением 1/ c . Сеть, нормированная на 1 Ом, показана на левом рисунке ниже.

Пример 6

Всепроходной отклик второго порядка равен

$$T_{6}={\frac {p^{2}-ap+b}{p^{2}+ap+b}}$$

Здесь есть два нуля, расположенные в $x\pm y$ и два полюса на $-x\pm y$ где a = 2 x и b = x ² + и ² . Для такого отклика фаза меняется в зависимости от частоты, но величина Т ₆ равна единице на всех частотах.

Для этой характеристики Z _a находится из

$$Z_{a}={\frac {1-T_{6}}{1+T_{6}}}={\frac {ap}{p^{2}+b}}$$

Таким образом, Z _a представляет собой параллельную комбинацию емкости 1/a и индуктивности со значением a / b . Аналогично Z _b представляет собой катушку индуктивности 1/ a, включенную последовательно с конденсатором номиналом a / b , а сеть показана справа внизу.

Решетчатые сети можно преобразовать в несбалансированные схемы, используя свойства решеток с общими элементами как в Z _a, так и в Z _b , показанные ранее, и теорему Бартлетта о бисекции.

Всепроходной первый заказ

В случае сети второго порядка, когда a 2 > b (т.е. L 1 > L 2 или C 2 > C 1 или y > √ 3 x ), необходимо использовать схему, содержащую взаимно связанные катушки второго порядка. всепроходная сеть.

Для получения ответа высокого порядка можно использовать каскад сетей второго порядка, возможно, с одной сетью первого порядка. Например, в статье « Сеть задержки на решетке» указаны местоположения полюса-ноля для многих всепроходных передаточных функций, которые приближаются к линейной фазовой характеристике. В этой статье также есть несколько примеров.

Синтез амплитудных эквалайзеров

Типичный путь передачи имеет увеличивающиеся потери с увеличением частоты, и это можно исправить путем каскадирования системы с уравнительной цепью, отклик которой увеличивается с частотой. В связи с этим одна конфигурация схемы, которая обычно используется для обеспечения необходимой коррекции, показана на рисунке с надписью «Решетка — базовая схема эквалайзера», приведенном ранее (в разделе «Несимметричные эквиваленты»). Как указано там, вносимые потери нормализованной схемы определяются выражением $T={\frac {1}{1+Z_{1}(p)}}$, поэтому Z ₁ можно найти из $Z_{1}(p)={\frac {1}{T(p)}}-1$

Если допускается некоторая остаточная пульсация отклика, то для Z ₁ и Z ₂ может быть достаточно простой корректирующей сети , но эта пульсация может быть уменьшена настолько, насколько это необходимо, путем применения более сложных корректирующих сетей. Выбору местоположения полюсов и нулей для Z ₁ и Z ₂ может помочь асимптотический метод прямых линий.

Пример 7

Передаточная функция, имеющая возрастающую характеристику в ограниченном диапазоне частот, равна

$$T_{7}(p)={\frac {3.3333+10.3333p+p^{2}}{30.003+31.003p+p^{2}}}={\frac {(0.3333+p)(10+p)}{(1+p)(30.003+p)}}$$

Обратите внимание, что отклик приближается к единице на высоких частотах. Его можно реализовать в виде мостовой Т-образной схемы или решетки, в которой Z ₁ представляет собой RC-сеть.

Z ₁ можно найти из $Z_{1}(p)={\frac {1}{T(p)}}-1$. Так $Z_{1}(p)={\frac {26.6697+20.6697p}{3.3333+10.3333p+p^{2}}}$

Адмиттанс Y ₁ , где Y ₁ = 1/ Z _1, может быть выражен как цепная дробь, содержащая четыре члена, таким образом

$$Y_{1}(p)={\frac {p^{2}+10.333p+3.3333}{20.6697p+26.6697}}=0.04838+{\cfrac {1}{2.2857+{\cfrac {1}{0.4747p+{\cfrac {1}{5.7153}}}}}}$$

Таким образом, Z ₁ можно реализовать как RC-лестничную сеть по методу Кауэра: и показан ниже как часть мостовой Т-схемы. Z ₂ является двойником Z ₁ , как и схема RL, как показано. Эквивалентная решетчатая схема показана справа.

Фильтры нижних частот с постоянным сопротивлением

Фильтры нижних частот высокого порядка можно получить путем каскадного соединения соответствующего количества более простых секций нижних частот с постоянным сопротивлением.

Первая из этих секций нижних частот, имеющая всего один полюс, имеет отклик

$$T_{1}={\frac {k_{1}}{p+a}}\qquad so\qquad Z_{a1}={\frac {1-T_{1}}{1+T_{1}}}={\frac {p+(a-k_{1})}{p+(a+k_{1})}}$$

Предоставил $k_{1}\leq a$ это реализуемый импеданс, где Z _a1 представляет собой комбинацию двух резисторов и катушки индуктивности, как показано на левой схеме ниже, а Z _b1 является двойственным к Z _a1 . Это легко трансформируется в несбалансированную форму, как показано справа.

Вторая из секций фильтра, двухполюсная, имеет отклик

$$T_{2}=k_{2}{\frac {(p+a)}{(p^{2}+b_{1}p+b_{0})}}$$

Таким образом, сопротивление решетки Z _a2 определяется выражением:

$$Z_{a2}={\frac {p^{2}+(b_{1}-k_{2})p+(b_{0}-a.k_{2})}{p^{2}+(b_{1}+k_{2})p+(b_{0}+a.k_{2})}}$$

Чтобы сеть стала реализуемой, должны быть соблюдены определенные условия. которые $$a\geq 0;\qquad k_{2}\leq b_{1};\qquad k_{2}\leq {\frac {b_{0}}{a}}.$$ Также $$b_{1}-k_{2}\iff k_{2}\leq b_{1}-a.$$

Условия устанавливают ограничения на значение постоянного множителя k ₂ в выражении для T ₂ .

Схема для элементов решетки Z _a2 показана слева внизу, а для двойственных элементов Z _b показана справа.

Импеданс Z _а

Импеданс Зб

Значения компонентов для Z _a составляют: $${\begin{aligned}R_{1}&={\frac {b_{1}-k_{2}-a}{2k_{2}}}&L&={\frac {1}{2k_{2}}}\\C&={\frac {2k_{2}}{b_{0}-ab_{1}+a^{2}}}{2ak_{2}}&R_{2}&={\frac {b_{0}-ab_{1}+a^{2}}{2ak-2}}\end{aligned}}$$

а импедансы Z _b2 составляют: $${\begin{aligned}R_{3}&={\frac {1}{R_{1}}}\\R_{4}&={\frac {1}{R_{2}}}\\C_{2}&=L_{1}\quad {\text{and}}\quad L_{2}+C_{1}\end{aligned}}$$

Несбалансированная версия этой решетки показана ниже:

Путем каскадирования ряда схем первого и второго порядка только что разработанного типа можно получить сети нижних частот более высокого порядка следующего типа:

$$T_{n}(p)={\frac {k}{p^{n}+b_{n-1}p^{n-1}+\cdots +b_{2}p^{2}+b_{1}p+b_{0}}}$$

Полученные таким образом решетчатые сетки можно преобразовать к несбалансированному виду, если значение k достаточно мало.

Пример 8

Максимально плоский нормированный фильтр нижних частот третьего порядка имеет передаточную функцию

$$T_{8}={\frac {k}{p^{3}+2p^{2}+2p+1}}$$

Это можно расширить как

$$T_{8}={\frac {k_{1}}{p+a}}\cdot {\frac {k_{2}(p+a)}{p^{2}+p+1}}\cdot {\frac {1}{p+1}}$$

Так что каскад из трех решеток даст требуемый результат.

Если требуется несбалансированная схема, нам придется принять некоторые общие потери. Выбрав k ₁ = k ₂ = a = 0,5, получим показанную ниже сеть. Эта схема имеет общие потери в четыре раза, тогда как обычная лестничная сеть LC не имеет потерь (но не является сетью постоянного сопротивления).

Методы компьютерного проектирования

Развитие мейнфреймов, а затем и персональных компьютеров в последней четверти двадцатого века позволило быстро развить методы числовой обработки. Первоначально компьютеры использовались как средство сетевого анализа. затем к методам оптимизации, таким как минимаксный метод, при проектировании фазовых эквалайзеров и фильтры ), прежде чем напрямую применяться к синтезу сети. Обзоры разработок программного обеспечения в области синтеза были даны в Taylor & Huang. и Куо.

Лишь немногие из ранних программ синтеза имели дело с решетчатыми сетями, но S-Filsyn (мощная программа синтеза и анализа) ) обеспечивает некоторый охват решетчатых и мостовых Т-схем.

Ранняя история

Симметричная решетка и лестничные сети ( фильтр с константой k и фильтр, производный от m ) были предметом большого интереса в начале двадцатого века. В то время быстро развивающаяся телефонная промышленность оказала значительное влияние на развитие теории фильтров, стремясь при этом увеличить пропускную способность телефонных линий передачи сигналов. Джордж Эшли Кэмпбелл , внес ключевой вклад в разработку этой новой теории фильтров , как и Отто Юлиус Цобель . Они и многие коллеги работали в лабораториях Western Electric и American Telephone and Telegraph Co., и об их работе сообщалось в первых выпусках Технического журнала Bell System .

Кэмпбелл обсуждал решетчатые фильтры в своей статье 1922 года: в то время как среди других первых исследователей, интересующихся решеткой, был Джонсон и Бартлетт. Статья Зобеля о теории и конструкции фильтров, опубликованный примерно в это же время, решетки упоминаются лишь вкратце, уделяя основное внимание лестничным сетям. Лишь позже, когда Зобель рассмотрел моделирование и выравнивание телефонных линий передачи, он уделил конфигурации решетки больше внимания. (Телефонные линии передачи того времени имели конфигурацию симметричной пары с номинальным характеристическим сопротивлением 600 Ом, поэтому решетчатый эквалайзер с его сбалансированной конструкцией особенно подходил для использования с ними). Более поздние рабочие, особенно Хендрик Вейд Боде , придали большее значение решетчатым сетям в конструкциях фильтров.

В те первые дни теория фильтров была основана на концепции импеданса изображения или теории фильтров изображения , которая представляла собой подход к проектированию, разработанный на основе хорошо зарекомендовавших себя исследований линий передачи. Фильтр считался версией участка линии электропередачи с сосредоточенными компонентами и был одним из многих в каскаде подобных участков. Как упоминалось выше, слабость подхода с фильтром изображения заключалась в том, что частотная характеристика сети часто не была такой, как прогнозировалось, когда сеть была подключена резистивно, а не согласно требуемым импедансам изображения. По сути, это была проблема несоответствия, и Зобель решил ее путем сопоставления конечных секций. (см.: фильтр, производный от m , фильтр типа mm' , общий фильтр изображения mn-типа , с более поздней работой Пейна и Боде.)

Хотя решетчатые фильтры иногда страдают от той же проблемы, ряд сетей с постоянным сопротивлением могут полностью ее избежать.

В 1930-е годы, когда методы сетевого анализа и синтеза стали более развитыми, разработка лестничных фильтров с использованием методов изображений стала менее популярной. Несмотря на это, эти концепции все еще нашли применение в некоторых современных проектах. С другой стороны, решетчатые сети и их схемные эквиваленты продолжают использоваться во многих приложениях.

См. также

• Решетчатый фазовый эквалайзер
• Всепропускающий фильтр
• Двухпортовая сеть
• Составной фильтр изображения
• Решетчатая сеть задержки
• Лестничная сеть