Конечные выводы фильтра изображения

Фильтры, разработанные с использованием методологии импеданса изображения , страдают специфическим недостатком теории. Прогнозируемые характеристики фильтра рассчитываются в предположении, что фильтр оканчивается собственными импедансами изображения на каждом конце. Обычно это не так; фильтр будет оснащен фиксированными сопротивлениями. Это приводит к отклонению отклика фильтра от теоретического. В этой статье объясняется, как можно принять во внимание влияние концевых окончаний фильтра изображений.

Как правило, эффект оконечных нагрузок заключается в том, что они вызывают округление частотной характеристики при границе среза. Метод изображения предсказывает резкий скачок наклона характеристики при отсечке, что на практике не реализуется, хотя хорошо спроектированный фильтр изображения может приблизиться к этому. Еще одним предсказанием метода изображения является нулевая потеря в полосе пропускания (при условии идеальных компонентов без потерь). Опять же, на практике этого достичь невозможно, поскольку отражения от конечных выводов всегда вызывают некоторые потери.

Части этой статьи или раздела основаны на знаниях читателя о комплексного импеданса представлении конденсаторов и катушек индуктивности , а также на знании в частотной области представления сигналов .

Символы, используемые в этой статье

Импедансы

• $Z_{I1}\,\!$ на импеданс изображения конце 1
• $Z_{I2}\,\!$ импеданс изображения на конце 2
• $Z_{I}\,\!$ импеданс изображения, когда оба конца идентичны
• $R_{1}\,\!$ согласующее сопротивление на конце 1
• $R_{2}\,\!$ согласующее сопротивление на конце 2
• $R\,\!$ оконечное сопротивление, когда оба конца идентичны

Коэффициенты

• $r_{I1}\,\!$ коэффициент отражения на конце 1
• $r_{I2}\,\!$ коэффициент отражения на конце 2
• $r_{I}\,\!$ коэффициент отражения, когда оба конца одинаковы
• $\tau _{I1}\,\!$ коэффициент передачи на конце 1
• $\tau _{I2}\,\!$ коэффициент передачи на конце 2
• $\gamma \,\!$ комплексный коэффициент распространения фильтра
• $\alpha \,\!$ коэффициент ослабления фильтра
• $\beta \,\!$ фазовый коэффициент фильтра

Обратите внимание, что все эти коэффициенты определяются относительно импеданса изображения, а не фактического входного сопротивления фильтра.

Общий случай

Произвольный фильтр изображения с резистивными концевыми выводами. Поскольку нагрузки не являются импедансом изображения, входное и выходное сопротивление не равно Z _I1 и Z _I2 , а входное напряжение на самом деле не является V _i .

Передаточная функция любого фильтра, подключенного, как показано на схеме выше, определяется выражением

$A(i\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}e^{-\gamma }\left[{\frac {\tau _{I1}\tau _{I2}}{1-e^{-2\gamma }r_{I1}r_{I2}}}\right]$

где

$r_{I1}={\frac {R_{1}-Z_{I1}}{R_{1}+Z_{I1}}}$

$r_{I2}={\frac {R_{2}-Z_{I2}}{R_{2}+Z_{I2}}}$

$\tau _{I1}={\frac {2Z_{I1}}{R_{1}+Z_{I1}}}$

$\tau _{I2}={\frac {2R_{2}}{R_{2}+Z_{I2}}}$

Обратите внимание, что V _i — это номинальное напряжение, которое вырабатывалось бы генератором, если бы он был согласован с его характеристическим сопротивлением (т. е. R ₁ ), а не фактическое напряжение, появляющееся на входных клеммах фильтра.

Далее можно отметить, что первая часть выражения,

${\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}e^{-\gamma }$,

совпадает с выражением для передаточной функции без учета концевых окончаний. Таким образом, вторая часть выражения — это часть отклика, вызванная несовпадением импедансов;

$\left[{\frac {\tau _{I1}\tau _{I2}}{1-e^{-2\gamma }r_{I1}r_{I2}}}\right].$

Симметричный случай

Если фильтр имеет симметричные импедансы и окончания изображения, выражение может быть значительно уменьшено. Обратите внимание, что не требуется, чтобы фильтр был симметричным внутри, а только чтобы конечные секции имели одинаковый импеданс изображения, обращенный к идентичным оконечным импедансам.

$A(i\omega )=e^{-\gamma }\left[{\frac {4Z_{I}R}{(R+Z_{I})^{2}-e^{-2\gamma }(R-Z_{I})^{2}}}\right]$

Дальнейшее упрощение может быть сделано, если в фильтре нет резистивных потерь (или предполагается, что они пренебрежимо малы). этом случае импеданс изображения является чисто действительным ( RI _В ) в полосе пропускания и чисто мнимым ( iXI ₎ в полосе задерживания. Величина передаточной функции определяется выражением

$\left|A\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\xi ^{2}}}}$

где полоса пропускания,

$\xi ={\frac {1}{2}}\left({\frac {R_{I}}{R}}-{\frac {R}{R_{I}}}\right)\sin \beta$

и для полосы задерживания,

$\xi ={\frac {1}{2}}\left({\frac {X_{I}}{R}}-{\frac {R}{X_{I}}}\right)\sinh \beta .$

Антиметрический корпус

Аналогичное упрощение можно сделать для антиметрических фильтров без потерь. В этом случае замена

$Z_{I1}Z_{I2}=R_{1}R_{2}=R_{o}^{2}$

превращается в общее уравнение. Для полосы пропускания

$\xi ={\frac {1}{2}}\left({\frac {R_{I1}}{R}}-{\frac {R}{R_{I1}}}\right)\cos \beta .$

и для полосы задерживания,

$\xi ={\frac {1}{2}}\left({\frac {X_{I1}}{R}}-{\frac {R}{X_{I1}}}\right)\sinh \beta .$

Антиметрический в этом контексте означает, что импедансы и нагрузки изображения фильтра на каждом конце двойственны друг другу. Это будет в том случае, если фильтр имеет на каждом конце последовательную и шунтирующую секции одного и того же типа соответственно. Симметричные фильтры имеют четное количество полусекций, а антиметрические — нечетное количество полусекций. В подавляющем большинстве случаев конструкция фильтра будет либо симметричной, либо антиметрической, и будет применяться одно из этих сокращенных выражений.

Некоторые примеры графиков ответа

Теоретический отклик правильно подключенного нижних частот прототипа Т-фильтра	Т-фильтра нижних частот Отклик прототипа с учетом влияния резистивных концевых согласований
Отклик того же Т-фильтра с удаленным теоретическим откликом. То есть составляющая ответа обусловлена ​​только воздействием концевых окончаний.

См. также

• Импеданс изображения
• Составной фильтр изображения
• Двойной импеданс
• Фильтр прототипов
• Категория: Фильтры импеданса изображения

Ссылки

• Маттеи, Янг, Джонс. Микроволновые фильтры, схемы согласования импедансов и структуры связи , стр. 68–72, McGraw-Hill, 1964.