Модель с сосредоточенными элементами

Представление сосредоточенной модели, состоящей из источника напряжения и резистора.

Модель с сосредоточенными элементами (также называемая моделью с сосредоточенными параметрами или моделью с сосредоточенными компонентами ) — это упрощенное представление физической системы или схемы, которое предполагает, что все компоненты сосредоточены в одной точке, а их поведение может быть описано идеализированными математическими моделями. Модель с сосредоточенными элементами упрощает описание поведения системы или схемы до топологии . Это полезно в электрических системах (включая электронику ), механических многотельных системах , теплопередаче , акустике и т. д. В этом отличие от систем или моделей с распределенными параметрами , в которых поведение распределено пространственно и не может рассматриваться как локализованное в дискретных объектах.

Упрощение сводит пространство состояний системы к конечной размерности , а уравнения в частных производных (ЧДУ) непрерывной (бесконечномерной) временной и пространственной модели физической системы к обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) с конечным числом параметры.

Электрические системы

Дисциплина сосредоточенного вещества

Дисциплина сосредоточенных веществ — это набор навязанных предположений в электротехнике , который обеспечивает основу для абстракции сосредоточенных цепей, используемой в сетевом анализе . Самостоятельно налагаемые ограничения:

1. Изменение магнитного потока во времени вне проводника равно нулю. $${\frac {\partial \phi _{B}}{\partial t}}=0$$
2. Изменение заряда во времени внутри проводящих элементов равно нулю. $${\frac {\partial q}{\partial t}}=0$$
3. Временные масштабы сигнала, представляющие интерес, намного превышают задержку распространения электромагнитных волн через сосредоточенный элемент.

Первые два предположения приводят к законам цепи Кирхгофа при применении к уравнениям Максвелла и применимы только тогда, когда схема находится в установившемся состоянии . Третье предположение лежит в основе модели сосредоточенных элементов, используемой в сетевом анализе . Менее строгие предположения приводят к модели с распределенными элементами , но при этом не требуют прямого применения полных уравнений Максвелла.

Модель с сосредоточенными элементами

Модель электронных схем с сосредоточенными элементами делает упрощающее предположение, что атрибуты схемы: сопротивление , емкость , индуктивность и коэффициент усиления — сконцентрированы в идеализированных электрических компонентах ; резисторы , конденсаторы , катушки индуктивности и т. д. соединены сетью идеально проводящих проводов.

Модель сосредоточенных элементов справедлива всякий раз, когда $L_{c}\ll \lambda$, где $L_{c}$ обозначает характерную длину цепи, а $\lambda$ схемы обозначает рабочую длину волны . В противном случае, когда длина цепи порядка длины волны, мы должны рассмотреть более общие модели, такие как модель с распределенными элементами (включая линии передачи ), динамическое поведение которой описывается уравнениями Максвелла . Другой способ оценить обоснованность модели сосредоточенных элементов — отметить, что эта модель игнорирует конечное время, необходимое сигналам для распространения по цепи. Всякий раз, когда это время распространения не имеет существенного значения для приложения, можно использовать модель сосредоточенных элементов. Это тот случай, когда время распространения намного меньше периода соответствующего сигнала. Однако с увеличением времени распространения будет возрастать ошибка между предполагаемой и фактической фазой сигнала, что, в свою очередь, приводит к ошибке в предполагаемой амплитуде сигнала. Точная точка, в которой модель сосредоточенных элементов больше не может использоваться, в определенной степени зависит от того, насколько точно сигнал должен быть известен в данном приложении.

Реальные компоненты демонстрируют неидеальные характеристики, которые на самом деле являются распределенными элементами, но часто представляются в первом приближении сосредоточенными элементами. Например, чтобы учесть утечку в конденсаторах , мы можем смоделировать неидеальный конденсатор как имеющий параллельно подключенный большой резистор с сосредоточенными параметрами , даже если утечка на самом деле распределена по всему диэлектрику. Точно так же проволочный резистор имеет значительную индуктивность , а также сопротивление, распределенное по его длине, но мы можем смоделировать его как сосредоточенную катушку индуктивности, включенную последовательно с идеальным резистором.

Тепловые системы

Модель сосредоточенной емкости , также называемая анализом системы с сосредоточенными параметрами , сводит тепловую систему к ряду дискретных «кусков» и предполагает, что разница температур внутри каждого комка незначительна. Это приближение полезно для упрощения сложных дифференциальных уравнений теплопроводности. Он был разработан как математический аналог электрической емкости , хотя включает также тепловые аналоги электрического сопротивления .

Модель сосредоточенной емкости является распространенным приближением переходной проводимости, которое можно использовать, когда теплопроводность внутри объекта намного быстрее, чем передача тепла через границу объекта. Затем метод аппроксимации соответствующим образом сводит один аспект системы переходной проводимости (пространственное изменение температуры внутри объекта) к более математически приемлемой форме (то есть предполагается, что температура внутри объекта полностью однородна в пространстве, хотя это пространственно значение однородной температуры меняется со временем). Растущую однородную температуру внутри объекта или части системы можно тогда рассматривать как емкостный резервуар, который поглощает тепло до тех пор, пока не достигнет устойчивого теплового состояния во времени (после чего температура внутри него не меняется).

Ранним обнаруженным примером системы с сосредоточенной емкостью, которая демонстрирует математически простое поведение благодаря таким физическим упрощениям, являются системы, соответствующие закону охлаждения Ньютона . Этот закон просто утверждает, что температура горячего (или холодного) объекта увеличивается до температуры его окружающей среды простым экспоненциальным образом. Объекты строго следуют этому закону только в том случае, если скорость теплопроводности внутри них намного превышает поток тепла в них или из них. В таких случаях имеет смысл говорить об одной «температуре объекта» в любой момент времени (поскольку внутри объекта нет пространственного изменения температуры), а также однородные температуры внутри объекта позволяют его общему избытку или недостатку тепловой энергии изменяться пропорционально к температуре его поверхности, тем самым устанавливая закон Ньютона о охлаждении, требующий, чтобы скорость снижения температуры была пропорциональна разнице между объектом и окружающей средой. Это, в свою очередь, приводит к простому экспоненциальному нагреву или охлаждению (подробности ниже).

Метод

Для определения количества комков используют число Био (Bi) – безразмерный параметр системы. Bi определяется как отношение сопротивления кондуктивной теплопередаче внутри объекта к сопротивлению конвективной теплопередаче через границу объекта с однородной ванной с различной температурой. Когда термическое сопротивление теплу, передаваемому в объект, больше, чем сопротивление теплу, полностью рассеянному внутри объекта, число Био меньше 1. В этом случае, особенно для чисел Био, которые еще меньше, приближение пространственно однородного температуру внутри объекта можно начать использовать , так как можно предположить, что тепло, переданное в объект, успевает равномерно распределиться вследствие меньшего сопротивления этому по сравнению с сопротивлением теплу, поступающему в объект.

Если число Био для твердого объекта меньше 0,1, то весь материал будет иметь почти одинаковую температуру, причем преобладающая разница температур будет приходиться на поверхность. Его можно считать «термически тонким». Число Био обычно должно быть меньше 0,1 для обеспечения точной аппроксимации и анализа теплопередачи. Математическое решение приближения системы с сосредоточенными параметрами дает закон охлаждения Ньютона .

Число Био больше 0,1 («термически толстое» вещество) указывает на то, что это предположение невозможно сделать, и теплопередачи для описания изменяющейся во времени и непространственно-однородной температуры потребуются более сложные уравнения для «переходной теплопроводности». поле внутри материального тела.

Подход с использованием одной емкости можно расширить, включив в него множество резистивных и емкостных элементов с Bi < 0,1 для каждого узла. Поскольку число Био рассчитывается на основе характерной длины системы, систему часто можно разбить на достаточное количество секций или блоков, так что число Био становится приемлемо небольшим.

Некоторые характерные длины тепловых систем:

• Пластина: толщина
• Плавник : толщина/2
• Длинный цилиндр : диаметр/4
• Сфера : диаметр/6

Для произвольных форм может оказаться полезным рассматривать характерную длину как объем/площадь поверхности.

Тепловые чисто резистивные цепи

Полезной концепцией, используемой в приложениях теплопередачи после достижения состояния стационарной теплопроводности, является представление теплопередачи с помощью так называемых тепловых цепей. Тепловая цепь — это представление сопротивления тепловому потоку в каждом элементе цепи, как если бы это был электрический резистор . Передаваемое тепло аналогично электрическому току , а тепловое сопротивление аналогично электрическому резистору. Затем значения термического сопротивления для различных режимов теплопередачи рассчитываются как знаменатели разработанных уравнений. Термические сопротивления различных способов теплопередачи используются при анализе комбинированных режимов теплопередачи. Отсутствие «емкостных» элементов в следующем чисто резистивном примере означает, что ни один участок цепи не поглощает энергию и не меняет распределение температуры. Это эквивалентно требованию, чтобы уже было установлено состояние стационарной теплопроводности (или переноса, как при излучении).

Уравнения, описывающие три режима теплопередачи и их термические сопротивления в установившихся условиях, как обсуждалось ранее, суммированы в таблице ниже:

Уравнения различных режимов теплопередачи и их тепловые сопротивления.

Режим передачи	Скорость теплопередачи	Термическое сопротивление
проводимость	${\dot {Q}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\left({\frac {L}{kA}}\right)}}$	${\frac {L}{kA}}$
Конвекция	${\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {envr}}}{\left({\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}\right)}}$	${\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}$
Радиация	${\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {surr}}}{\left({\frac {1}{h_{r}A_{\rm {surf}}}}\right)}}$	${\frac {1}{h_{r}A}}$, где $h_{r}=\epsilon \sigma (T_{\rm {surf}}^{2}+T_{\rm {surr}}^{2})(T_{\rm {surf}}+T_{\rm {surr}})$

В случаях, когда происходит передача тепла через разные среды (например, через композиционный материал ), эквивалентное сопротивление представляет собой сумму сопротивлений компонентов, входящих в состав композита. Вероятно, в случаях, когда существуют разные режимы теплопередачи, общее сопротивление представляет собой сумму сопротивлений разных режимов. Используя концепцию тепловой цепи, количество тепла, передаваемого через любую среду, представляет собой частное изменения температуры и общего теплового сопротивления среды.

В качестве примера рассмотрим композитную стену с площадью поперечного сечения $A$. Композит состоит из $L_{1}$ длинная цементная штукатурка с термическим коэффициентом $k_{1}$ и $L_{2}$ длинное стекловолокно с бумажной поверхностью, с термическим коэффициентом $k_{2}$. Левая поверхность стены находится на $T_{i}$ и подвергается воздействию воздуха с коэффициентом конвекции $h_{i}$. Правая поверхность стены находится на $T_{o}$ и подвергается воздействию воздуха с коэффициентом конвекции $h_{o}$.

Используя концепцию термического сопротивления, тепловой поток через композит выглядит следующим образом: $${\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}$$где $R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}$, $R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}$, $R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}$, и $R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}$

Закон охлаждения Ньютона

Основная статья: закон охлаждения Ньютона

Закон охлаждения Ньютона — это эмпирическая закономерность, приписываемая английскому физику сэру Исааку Ньютону (1642–1727). Этот закон, сформулированный в нематематической форме, выглядит следующим образом:

Скорость потери тепла телом пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой.

Или, используя символы: $${\text{Rate of cooling}}\sim \Delta T$$

Объект, температура которого отличается от температуры его окружения, в конечном итоге достигнет той же температуры, что и его окружение. Относительно горячий объект охлаждается по мере нагревания окружающей среды; холодный объект нагревается своим окружением. Рассматривая, насколько быстро (или медленно) что-то охлаждается, мы говорим о скорости его охлаждения – на сколько градусов изменяется температура в единицу времени.

Скорость охлаждения объекта зависит от того, насколько он горячее окружающей среды. Изменение температуры горячего яблочного пирога в минуту будет больше, если его положить в холодную морозильную камеру, чем если положить его на кухонный стол. Когда пирог остывает в морозильной камере, разница температур между ним и окружающей средой увеличивается. В холодный день теплый дом будет рассеивать тепло наружу с большей скоростью, если существует большая разница между внутренней и наружной температурами. Таким образом, поддержание внутри дома высокой температуры в холодный день обходится дороже, чем поддержание более низкой температуры. Если разница температур остается небольшой, скорость охлаждения будет соответственно низкой.

Как гласит закон охлаждения Ньютона, скорость охлаждения объекта – за счет проводимости , конвекции или излучения – примерно пропорциональна разнице температур Δ T . Замороженные продукты в теплом помещении нагреются быстрее, чем в холодном. Обратите внимание, что скорость охлаждения в холодный день может быть увеличена за счет дополнительного конвекционного эффекта ветра . Это называется холодом ветра . Например, охлаждение ветром -20 °C означает, что тепло теряется с той же скоростью, как если бы температура составляла -20 °C без ветра.

Применимые ситуации

Этот закон описывает множество ситуаций, в которых объект, обладающий большой теплоемкостью и большой проводимостью, внезапно погружается в однородную ванну, которая относительно плохо проводит тепло. Это пример тепловой схемы с одним резистивным и одним емкостным элементом. Чтобы закон был верным, температуры во всех точках внутри тела должны быть примерно одинаковыми в каждый момент времени, включая температуру на его поверхности. Таким образом, разница температур между телом и окружающей средой не зависит от того, какая часть тела выбрана, поскольку все части тела имеют фактически одинаковую температуру. В этих ситуациях материал тела не «изолирует» другие части тела от теплового потока, и вся значительная изоляция (или «тепловое сопротивление»), контролирующая скорость теплового потока в данной ситуации, находится в область контакта тела с окружающей средой. За этой границей значение температуры скачет прерывисто.

В таких ситуациях тепло может передаваться снаружи тела внутрь тела через изолирующую границу путем конвекции, проводимости или диффузии, при условии, что граница служит относительно плохим проводником по отношению к внутренней части объекта. Наличие физического изолятора не требуется, поскольку процесс передачи тепла через границу является «медленным» по сравнению с кондуктивной передачей тепла внутри тела (или внутри интересующей области — «комка»). описано выше).

В такой ситуации объект выступает в роли «емкостного» элемента схемы, а сопротивление теплового контакта на границе выступает в роли (единственного) терморезистора. В электрических цепях такая комбинация будет заряжаться или разряжаться в направлении входного напряжения в соответствии с простым экспоненциальным законом во времени. В тепловой схеме такая конфигурация приводит к такому же поведению температуры: экспоненциальному приближению температуры объекта к температуре ванны.

Математическое утверждение

Закон Ньютона математически выражается простым дифференциальным уравнением первого порядка: $${\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)$$где

• Q — тепловая энергия в джоулях.
• h - коэффициент теплопередачи между поверхностью и жидкостью.
• А — площадь поверхности передаваемого тепла.
• T — температура поверхности и внутренней части объекта (поскольку в этом приближении они одинаковы)
• T _env – температура окружающей среды
• Δ T ( t ) = T ( t ) − T _env — зависящий от времени температурный градиент между окружающей средой и объектом.

Представление о теплопередаче в этой форме иногда является не очень хорошим приближением, в зависимости от соотношения теплопроводностей в системе. Если различия невелики, точная формулировка теплопередачи в системе может потребовать анализа теплового потока на основе (переходного) уравнения теплопередачи в неоднородных или плохо проводящих средах.

Решение по теплоемкости объекта

Если все тело рассматривать как резервуар тепла с сосредоточенной емкостью, общее теплосодержание которого пропорционально простой общей теплоемкости. $C$, и $T$, температура тела или $Q=CT$. Ожидается, что система будет испытывать экспоненциальный спад со временем температуры тела.

Из определения теплоемкости $C$ возникает отношение $C=dQ/dT$. Дифференцирование этого уравнения по времени дает тождество (действительное до тех пор, пока температуры в объекте одинаковы в любой момент времени): $dQ/dt=C(dT/dt)$. Это выражение можно использовать для замены $dQ/dt$ в первом уравнении, с которого начинается этот раздел выше. Тогда, если $T(t)$ температура такого тела в момент времени $t$, и $T_{\text{env}}$ температура окружающей среды вокруг тела: $${\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)$$где $r=hA/C$ – положительная постоянная характеристика системы, которая должна быть в единицах $s^{-1}$, и поэтому иногда выражается через характеристическую постоянную времени $t_{0}$ предоставлено: $t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)$. Таким образом, в тепловых системах $t_{0}=C/hA$. (Общая теплоемкость $C$ системы может быть дополнительно представлена ​​ее удельной теплоемкостью по массе $c_{p}$ умноженный на его массу $m$, так что постоянная времени $t_{0}$ также дается $mc_{p}/hA$).

Решение этого дифференциального уравнения стандартными методами интегрирования и замены граничных условий дает: $$T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.$$

Если:

$\Delta T(t)\quad$ определяется как: $T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad$ где $\Delta T(0)\quad$ - начальная разница температур в момент времени 0,

тогда ньютоновское решение запишется как: $$\Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.$$

Это же решение почти сразу становится очевидным, если исходное дифференциальное уравнение записать в терминах $\Delta T(t)$, как единственную функцию, для которой необходимо решить. $${\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)$$

Приложения

Этот режим анализа был применен в судебной медицине для анализа времени смерти людей. Кроме того, его можно применить к системам HVAC (отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха, которое можно назвать «климат-контролем здания»), чтобы обеспечить более почти мгновенный эффект от изменения настройки уровня комфорта.

Механические системы

Упрощающими предположениями в этой области являются:

• все объекты являются твердыми телами ;
• все взаимодействия между твердыми телами происходят через кинематические пары ( шарниры ), пружины и демпферы .

Акустика

В этом контексте модель сосредоточенных компонентов расширяет распределенные концепции теории акустики, подлежащие аппроксимации. В акустической модели сосредоточенных компонентов некоторые физические компоненты с акустическими свойствами могут быть аппроксимированы как ведущие себя аналогично стандартным электронным компонентам или простым комбинациям компонентов.

• Полость с жесткими стенками, содержащая воздух (или аналогичную сжимаемую жидкость), можно аппроксимировать как конденсатор , емкость которого пропорциональна объему полости. Справедливость этого приближения основана на том, что интересующая самая короткая длина волны значительно (намного) больше, чем самый длинный размер полости.
• Рефлекторный порт можно представить как индуктор , значение которого пропорционально эффективной длине порта, деленной на площадь его поперечного сечения. Эффективная длина — это фактическая длина плюс поправка на конец . Это приближение основано на том, что интересующая самая короткая длина волны значительно больше, чем самый длинный размер порта.
• Определенные типы демпфирующего материала можно представить как резистор . Стоимость зависит от свойств и размеров материала. Приближение основано на достаточной длине волн и свойствах самого материала.
• низкочастотный , Привод динамика (обычно динамик или сабвуфер ) можно представить как последовательное соединение с нулевым сопротивлением источника напряжения резистора , конденсатора и катушки индуктивности . Значения зависят от технических характеристик устройства и интересующей длины волны.

Теплопередача для зданий

Упрощающее предположение в этой области состоит в том, что все механизмы теплопередачи линейны, а это означает, что излучение и конвекция линеаризуются для каждой задачи.

Можно найти несколько публикаций, описывающих, как создавать модели зданий с сосредоточенными элементами. В большинстве случаев здание рассматривается как единая тепловая зона и в этом случае превращение многослойных стен в сосредоточенные элементы может оказаться одной из самых сложных задач при создании модели. Метод доминирующего слоя — один из простых и достаточно точных методов. В этом методе один из слоев выбирается как доминирующий во всей конструкции, этот слой выбирается с учетом наиболее важных частот проблемы.

Модели зданий с сосредоточенными элементами также использовались для оценки эффективности внутренних энергетических систем путем проведения множества симуляций при различных будущих погодных сценариях.

Жидкостные системы

Жидкостные системы можно описать с помощью сердечно-сосудистых моделей с сосредоточенными элементами , используя напряжение для представления давления и ток для представления потока; идентичные уравнения из представления электрической цепи действительны после замены этих двух переменных. Такие приложения могут, например, изучать реакцию сердечно-сосудистой системы человека на имплантацию желудочкового вспомогательного устройства .

См. также

• Системный изоморфизм
• Уменьшение порядка модели

Внешние ссылки

• Передовые методы моделирования и симуляции магнитных компонентов
• IMTEK Mathematica Supplement (IMS) — дополнение IMTEK Mathematica Supplement (IMS) с открытым исходным кодом для сосредоточенного моделирования.