Обобщенная линейная смешанная модель

В статистике обобщенная линейная смешанная модель ( GLMM ) является расширением обобщенной линейной модели (GLM), в которой линейный предиктор содержит случайные эффекты в дополнение к обычным фиксированным эффектам . Они также наследуют от обобщенных линейных моделей идею расширения линейных смешанных моделей на ненормальные данные.

Обобщенные линейные смешанные модели предоставляют широкий спектр моделей для анализа сгруппированных данных, поскольку различия между группами можно моделировать как случайный эффект. Эти модели полезны при анализе многих видов данных, включая продольные данные .

Модель

Обобщенные линейные смешанные модели обычно определяются так, что в зависимости от случайных эффектов $u$, зависимая переменная $y$ распределяется по экспоненциальному семейству с его ожиданиемсвязанный с линейным предсказателем ${\textstyle X\beta +Zu}$ через функцию ссылки ${\textstyle g}$:

$g(E[y\vert u])=X\beta +Zu$.

Здесь ${\textstyle X}$ и ${\textstyle \beta }$ – матрица расчета фиксированных эффектов и фиксированные эффекты соответственно; ${\textstyle Z}$ и ${\textstyle u}$ – это матрица расчета случайных эффектов и случайные эффекты соответственно. Чтобы понять это очень краткое определение, вам сначала необходимо понять определения обобщенной линейной модели и смешанной модели .

Обобщенные линейные смешанные модели представляют собой частный случай иерархических обобщенных линейных моделей, в которых случайные эффекты распределены нормально.

Полная вероятность

$p(y)=\int p(y\vert u)\,p(u)\,du$

не имеет общей замкнутой формы, и интегрирование по случайным эффектам обычно требует чрезвычайно больших вычислительных ресурсов. В дополнение к численной аппроксимации этого интеграла (например, с помощью квадратуры Гаусса – Эрмита ), были предложены методы, основанные на аппроксимации Лапласа. Например, метод штрафного квазиправдоподобия, который по существу включает в себя неоднократное подгонку (т.е. двойную итерацию) взвешенной нормальной смешанной модели с рабочей вариацией, реализуется различными коммерческими статистическими программами и программами с открытым исходным кодом.

Примерка модели

Подбор обобщенных линейных смешанных моделей с помощью максимального правдоподобия (например, с помощью информационного критерия Акаике (AIC) ) включает в себя интегрирование случайных эффектов. В общем случае эти интегралы не могут быть выражены в аналитической форме . Были разработаны различные приближенные методы, но ни один из них не обладает хорошими свойствами для всех возможных моделей и наборов данных (например, негруппированные двоичные данные особенно проблематичны ). По этой причине методы, включающие числовые квадратуры или цепи Маркова Монте-Карло, стали использоваться все чаще, поскольку увеличение вычислительной мощности и развитие методов сделали их более практичными.

Информационный критерий Акаике является распространенным критерием выбора модели . оценки информационного критерия Акаике для обобщенных линейных смешанных моделей, основанных на некоторых распределениях экспоненциального семейства . Недавно были получены

Программное обеспечение

• Несколько добавленных пакетов в R предоставляют функциональность для обобщенных линейных смешанных моделей. включая lme4 и glmm.
• Обобщенные линейные смешанные модели можно подобрать с помощью SAS и SPSS.
• MATLAB также предоставляет fitglme функция, подходящая для моделей обобщенной линейной смешанной модели.
• Питон ​ Statsmodels пакет поддерживает биномиальную и пуассоновскую реализации.
• Пакет «Юлия» MixedModels.jl предоставляет функцию под названием GeneralizedLinearMixedModel который соответствует обобщенной линейной смешанной модели предоставленным данным.
• DHARMa: остаточная диагностика для иерархических (многоуровневых/смешанных) регрессионных моделей (utk.edu)

См. также

• Обобщенное оценочное уравнение
• Иерархическая обобщенная линейная модель