Функция гнева

График функции Гнева J v(z) с n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике функция Ангера , введенная Ч. Т. Ангером ( 1855 ), представляет собой функцию, определяемую как

$\mathbf {J} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta$

с комплексным параметром $\nu$ и комплексная переменная ${\textit {z}}$. Она тесно связана с функциями Бесселя .

Функция Вебера (также известная как Ломмеля функция -Вебера ), введенная Х.Ф. Вебером ( 1879 ), является тесно связанной функцией, определяемой формулой

$\mathbf {E} _{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\sin \theta )\,d\theta$

и тесно связана с функциями Бесселя второго рода.

Связь между функциями Вебера и гнева

Функции Гнева и Вебера связаны соотношением

График функции Вебера E v(z) с n=2 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

${\begin{aligned}\sin(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)-\mathbf {E} _{-\nu }(z),\\-\sin(\pi \nu )\mathbf {E} _{\nu }(z)&=\cos(\pi \nu )\mathbf {J} _{\nu }(z)-\mathbf {J} _{-\nu }(z),\end{aligned}}$

поэтому, в частности, если ν не является целым числом, они могут быть выражены как линейные комбинации друг друга. Если ν — целое число, то функции Ангера J _ν такие же, как функции Бесселя J _ν , а функции Вебера могут быть выражены как конечные линейные комбинации функций Струве .

Расширение серии мощности

Функция «Гнев» имеет в степенной ряд. разложение

$\mathbf {J} _{\nu }(z)=\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}+\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.$

Хотя функция Вебера имеет разложение в степенной ряд

$\mathbf {E} _{\nu }(z)=\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}-\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.$

Дифференциальные уравнения

Функции Ангера и Вебера являются решениями неоднородных форм уравнения Бесселя

$z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=0.$

Точнее, функции Ангера удовлетворяют уравнению

$z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y={\frac {(z-\nu )\sin(\pi \nu )}{\pi }},$

а функции Вебера удовлетворяют уравнению

$z^{2}y^{\prime \prime }+zy^{\prime }+(z^{2}-\nu ^{2})y=-{\frac {z+\nu +(z-\nu )\cos(\pi \nu )}{\pi }}.$

Рекуррентные отношения

Функция Ангера удовлетворяет этой неоднородной форме рекуррентного соотношения

$z\mathbf {J} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {J} _{\nu }(z)-{\frac {2\sin \pi \nu }{\pi }}.$

Хотя функция Вебера удовлетворяет этой неоднородной форме рекуррентного соотношения

$z\mathbf {E} _{\nu -1}(z)+z\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2\nu \mathbf {E} _{\nu }(z)-{\frac {2(1-\cos \pi \nu )}{\pi }}.$

Дифференциальные уравнения с запаздыванием

Функции Ангера и Вебера удовлетворяют этим однородным формам дифференциальных уравнений с запаздыванием.

$\mathbf {J} _{\nu -1}(z)-\mathbf {J} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z),$

$\mathbf {E} _{\nu -1}(z)-\mathbf {E} _{\nu +1}(z)=2{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z).$

Функции Ангера и Вебера также удовлетворяют этим неоднородным формам дифференциальных уравнений с запаздыванием.

$z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {J} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {J} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {J} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {\sin \pi \nu }{\pi }},$

$z{\dfrac {\partial }{\partial z}}\mathbf {E} _{\nu }(z)\pm \nu \mathbf {E} _{\nu }(z)=\pm z\mathbf {E} _{\nu \mp 1}(z)\pm {\frac {1-\cos \pi \nu }{\pi }}.$

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 12» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 498. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Anger, Последний Шр. Натурф. д. Гес и. Данциг, 5 (1855), стр. 1–29.
• Прудников, А.П. (2001) [1994], «Функция Вебера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Г. Н. Уотсон , «Трактат по теории функций Бесселя», 1–2, Cambridge Univ. Пресс (1952)
• HF Weber, Zurich Quarterly, 24 (1879), стр. 33–76.