Функция Струве

В математике Hα функции Струве $(являются x),$ решениями $y (x)$ неоднородного дифференциального уравнения Бесселя :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}

введен Германом Струве ( 1882 ). Комплексное число α представляет собой порядок функции Струве и часто является целым числом.

И далее определил его версию второго рода $\mathbf {K} _{\alpha }(x)$ как $\mathbf {K} _{\alpha }(x)=\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)$ .

Модифицированные функции Струве $L α (x)$ равны $- т.е. - иап / 2 H α (ix)$ , являются решениями $y (x)$ неоднородного дифференциального уравнения Бесселя :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}

И далее определил его версию второго рода $\mathbf {M} _{\alpha }(x)$ как $\mathbf {M} _{\alpha }(x)=\mathbf {L} _{\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)$ .

Определения

Поскольку это неоднородное уравнение, решения можно построить из одного частного решения путем сложения решений однородной задачи. В этом случае однородными решениями являются функции Бесселя , а частное решение может быть выбрано в качестве соответствующей функции Струве.

Расширение серии мощности

Функции Струве, обозначаемые как $H α (z),$ имеют степенного ряда вид

\mathbf {H} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1},

где $Γ(z)$ — гамма-функция .

Модифицированные функции Струве, обозначенные $L α (z)$ , имеют следующую форму степенного ряда

\mathbf {L} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1}.

Интегральная форма

Другое определение функции Струве для значений $α$ , удовлетворяющих $Re( α ) > − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1 / 2 ⁠$ , можно выразить через интегральное представление Пуассона:

$\mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sin xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

$\mathbf {K} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }(1+t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh \tau }\cosh ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

$\mathbf {L} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\sinh xt~dt={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau ={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sinh(x\sin \tau )\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

$\mathbf {M} _{\alpha }(x)=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}(1-t^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}e^{-xt}~dt=-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\cos \tau }\sin ^{2\alpha }\tau ~d\tau =-{\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-x\sin \tau }\cos ^{2\alpha }\tau ~d\tau$

Асимптотические формы

Для малых $x$ разложение в степенной ряд приведено выше .

Для больших $x$ получаем:

\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha -1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {x}{2}}\right)^{\alpha -3}\right),

где $Y α (x)$ – функция Неймана .

Характеристики

Функции Струве удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

{\begin{aligned}\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}},\\\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}\left(\mathbf {H} _{\alpha }(x)\right)-{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}.\end{aligned}}

Связь с другими функциями

Функции Струве целого порядка можно выразить через функции Вебера $En n$ и наоборот: если $—$ целое неотрицательное число, то

{\begin{aligned}\mathbf {E} _{n}(z)&={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {z}{2}}\right)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n-k+{\frac {1}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{n}(z),\\\mathbf {E} _{-n}(z)&={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n-3}{2}}\right\rceil }{\frac {\Gamma (n-k-{\frac {1}{2}})\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n+2k+1}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{-n}(z).\end{aligned}}

Функции Струве порядка $n + ⁠ 1 / 2 ⁠$ где $n$ — целое число, можно выразить через элементарные функции. В частности, если $n$ — неотрицательное целое число, то

\mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}}}(z)=(-1)^{n}J_{n+{\frac {1}{2}}}(z),

где правая часть — сферическая функция Бесселя .

Функции Струве (любого порядка) выражаются через обобщенную гипергеометрическую функцию $1 F 2$ :

\mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}}\right)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\tfrac {3}{2}},\alpha +{\tfrac {3}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right).

Приложения

Было показано, что функции Струве и Вебера могут применяться для формирования луча. ^[1]и при описании влияния удерживающей границы раздела на броуновское движение коллоидных частиц при низких числах Рейнольдса. ^[2]

Ссылки

^ К. Бьюкенен, К. Флорес, С. Уиланд, Дж. Дженсен, Д. Грейсон и Г. Хафф, «Формирование луча для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с круговой конусностью», Конференция IEEE Radar Conference (RadarConf), 2017 г., стр. 0112-0117, doi: 10.1109/RADAR.2017.7944181
^ BU Felderhof, «Влияние стены на автокорреляционную функцию скорости и долговременный хвост броуновского движения». Журнал физической химии B 109.45, 2005 г., стр. 21406-21412.

Р.М. Аартс и Огастес Джем Янссен (2003). «Аппроксимация функции Струве H ₁ , возникающей при расчетах импеданса». Дж. Акуст. Соц. Являюсь . 113 (5): 2635–2637. Бибкод : 2003ASAJ..113.2635A . дои : 10.1121/1.1564019 . ПМИД 12765381 .
Р.М. Аартс и Огастес Джем Янссен (2016). «Эффективная аппроксимация функций Струве H _n, возникающих при расчете величин звукового излучения» . Дж. Акуст. Соц. Являюсь . 140 (6): 4154–4160. Бибкод : 2016ASAJ..140.4154A . дои : 10.1121/1.4968792 . ПМИД 28040027 .
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 12» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 496. ИСБН 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Функция Струве» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Пэрис, РБ (2010), «Функция Струве» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
Струве, Х. (1882). «Вклад в теорию дифракции на телескопах» . Анналы физики и химии . 17 (13): 1008–1016. Бибкод : 1882АнП...253.1008С . дои : 10.1002/andp.18822531319 .

Внешние ссылки

Функции Струве на сайте функций Wolfram .

[1] К. Бьюкенен, К. Флорес, С. Уиланд, Дж. Дженсен, Д. Грейсон и Г. Хафф, «Формирование луча для радиолокационных приложений с использованием случайных решеток с круговой конусностью», Конференция IEEE Radar Conference (RadarConf), 2017 г., стр. 0112-0117, doi: 10.1109/RADAR.2017.7944181

[2] BU Felderhof, «Влияние стены на автокорреляционную функцию скорости и долговременный хвост броуновского движения». Журнал физической химии B 109.45, 2005 г., стр. 21406-21412.

[1]

[2]