Уравнения Клохесси – Уилтшира

Уравнения Клохесси-Уилтшира описывают упрощенную модель орбитального относительного движения, в которой цель находится на круговой орбите, а космический корабль-преследователь - на эллиптической или круговой орбите. Эта модель дает аппроксимацию первого порядка движения преследователя в системе координат, ориентированной на цель. Он используется для планирования встречи преследователя с целью. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

История

Первые результаты относительного орбитального движения были опубликованы Джорджем Уильямом Хиллом в 1878 году. ^{[ 3 ]} В статье Хилла обсуждалось орбитальное движение Луны относительно Земли .

В 1960 году У. Х. Клохесси и Р. С. Уилтшир опубликовали уравнения Клохесси – Уилтшира для описания относительного орбитального движения обычного спутника с целью разработки систем управления для достижения орбитального сближения. ^{[ 1 ]}

Определение системы

Предположим, что тело-мишень движется по круговой орбите, а тело-преследователь движется по эллиптической орбите. Позволять $x,y,z$ быть относительным положением преследователя относительно цели с $x$ радиально наружу от целевого тела, $y$ находится вдоль траектории орбиты тела-мишени, а $z$ вдоль вектора орбитального углового момента тела-мишени (т.е. $x,y,z$ образуют правую триаду). Тогда уравнения Клохесси – Уилтшира имеют вид ${\begin{aligned}{\ddot {x}}&=3n^{2}x+2n{\dot {y}}\\{\ddot {y}}&=-2n{\dot {x}}\\{\ddot {z}}&=-n^{2}z\end{aligned}}$ где ${\textstyle n={\sqrt {\mu /a^{3}}}}$ - орбитальная скорость (в радианах в секунду) тела-мишени, $a$ - радиус круговой орбиты целевого тела, $\mu$ — стандартный гравитационный параметр ,

Если мы определим вектор состояния как $\mathbf {x} =(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})$ , уравнения Клохесси – Уилтшира можно записать как линейную нестационарную (LTI) систему: ^{[ 4 ]} ${\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x}$ где матрица состояния $A$ является $A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\3n^{2}&0&0&0&2n&0\\0&0&0&-2n&0&0\\0&0&-n^{2}&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Для спутника на низкой околоземной орбите $\mu =3.986\times 10^{14}\;\mathrm {m^{3}/s^{2}}$ и $a=6,793,137\;\mathrm {m}$ , подразумевая $n=0.00113\;\mathrm {s^{-1}}$ , что соответствует орбитальному периоду около 93 минут.

Если спутник-преследователь имеет массу $m$ и двигатели, которые применяют силу $F=(F_{x},F_{y},F_{z}),$ тогда относительная динамика задается системой управления ЛТИ ^{[ 4 ]} ${\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u}$ где $\mathbf {u} =F/m$ - приложенная сила на единицу массы и ${\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Решение

Мы можем получить решения этих связанных дифференциальных уравнений в замкнутой форме в матричной форме, что позволяет нам найти положение и скорость преследователя в любой момент времени, учитывая начальное положение и скорость. ^{[ 5 ]} ${\begin{aligned}\delta {\vec {r}}(t)&=[\Phi _{rr}(t)]\delta {\vec {r_{0}}}+[\Phi _{rv}(t)]\delta {\vec {v_{0}}}\\\delta {\vec {v}}(t)&=[\Phi _{vr}(t)]\delta {\vec {r_{0}}}+[\Phi _{vv}(t)]\delta {\vec {v_{0}}}\end{aligned}}$ где: ${\begin{aligned}\Phi _{rr}(t)&={\begin{bmatrix}4-3\cos {nt}&0&0\\6(\sin {nt}-nt)&1&0\\0&0&\cos {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{rv}(t)&={\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}\sin {nt}&{\frac {2}{n}}(1-\cos {nt})&0\\{\frac {2}{n}}(\cos {nt}-1)&{\frac {1}{n}}(4\sin {nt}-3nt)&0\\0&0&{\frac {1}{n}}\sin {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{vr}(t)&={\begin{bmatrix}3n\sin {nt}&0&0\\6n(\cos {nt}-1)&0&0\\0&0&-n\sin {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{vv}(t)&={\begin{bmatrix}\cos {nt}&2\sin {nt}&0\\-2\sin {nt}&4\cos {nt}-3&0\\0&0&\cos {nt}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ Обратите внимание, что $\Phi _{vr}(t)={\dot {\Phi }}_{rr}(t)$ и $\Phi _{vv}(t)={\dot {\Phi }}_{rv}(t)$ . Поскольку эти матрицы легко обратимы , мы также можем найти начальные условия, учитывая только конечные условия и свойства орбиты целевого транспортного средства.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Клохесси, Вашингтон; Уилтшир, РС (1960). «Терминальная система наведения для сближения спутников» . Журнал аэрокосмических наук . 27 (9): 653–658. дои : 10.2514/8.8704 .
^ «Уравнения Клохесси-Уилтшира» (PDF) . Техасский университет в Остине . Проверено 12 сентября 2013 г.
^ Хилл, GW (1878). «Исследования по теории Луны». Американский журнал математики . 1 (1). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 5–26. дои : 10.2307/2369430 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2369430 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Старек Дж. А., Шмерлинг Э., Махер Г. Д., Барби Б. В., Павоне М. (февраль 2017 г.). «Быстрое, безопасное и эффективное планирование движения космического корабля в условиях динамики Клохесси – Уилтшира – Хилла». Журнал руководства, контроля и динамики . 40 (2). Американский институт аэронавтики и астронавтики: 418–438. arXiv : 1601.00042 . Бибкод : 2017JGCD...40..418S . дои : 10.2514/1.G001913 . ISSN 0731-5090 . S2CID 4956601 .
^ Кертис, Ховард Д. (2014). Орбитальная механика для студентов-инженеров (3-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Elsevier . стр. 383–387. ISBN 9780080977478 .

Дальнейшее чтение

Пруссинг, Джон Э. и Конвей, Брюс А. (2012). Орбитальная механика (2-е издание), Oxford University Press, Нью-Йорк, стр. 179–196. ISBN 9780199837700

Внешние ссылки

[Clohessy-Wiltshire-1] Перейти обратно: ^а ^б Клохесси, Вашингтон; Уилтшир, РС (1960). «Терминальная система наведения для сближения спутников» . Журнал аэрокосмических наук . 27 (9): 653–658. дои : 10.2514/8.8704 .

[2] «Уравнения Клохесси-Уилтшира» (PDF) . Техасский университет в Остине . Проверено 12 сентября 2013 г.

[3] Хилл, GW (1878). «Исследования по теории Луны». Американский журнал математики . 1 (1). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 5–26. дои : 10.2307/2369430 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2369430 .

[Starek_2017-4] Перейти обратно: ^а ^б Старек Дж. А., Шмерлинг Э., Махер Г. Д., Барби Б. В., Павоне М. (февраль 2017 г.). «Быстрое, безопасное и эффективное планирование движения космического корабля в условиях динамики Клохесси – Уилтшира – Хилла». Журнал руководства, контроля и динамики . 40 (2). Американский институт аэронавтики и астронавтики: 418–438. arXiv : 1601.00042 . Бибкод : 2017JGCD...40..418S . дои : 10.2514/1.G001913 . ISSN 0731-5090 . S2CID 4956601 .

[5] Кертис, Ховард Д. (2014). Орбитальная механика для студентов-инженеров (3-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Elsevier . стр. 383–387. ISBN 9780080977478 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]