Двумерный дизайн окна

Окно — это процесс, при котором максимальная энергия последовательности с ограниченным индексом сосредоточена в конечном частотном интервале. Это можно расширить до N -мерности, где окно N -D имеет ограниченную поддержку и максимальную концентрацию энергии в разделимой или неразделимой полосе пропускания N -D. Проектирование N -мерного окна, особенно двумерного окна, находит применение в различных областях, таких как спектральная оценка многомерных сигналов , проектирование циркулярно-симметричных и квадрантально-симметричных нерекурсивных 2D-фильтров . разработка оптимальных функций свертки , улучшение изображения с целью уменьшения влияния артефактов обработки, зависящих от данных, оптическая аподизация и антенной решетки . конструкция

Двумерное окно

Из-за различных применений многомерной обработки сигналов различные методологии проектирования двумерных окон имеют решающее значение для облегчения этих приложений, упомянутых выше, соответственно.

Рассмотрим двумерную оконную функцию (или оконный массив ). $w(n_{1},n_{2})$ с преобразованием Фурье, обозначаемым $W(w_{1},w_{2})$. Позволять $i(n_{1},n_{2})$ и $I(w_{1},w_{2})$ обозначают импульсную и частотную характеристику идеального фильтра и $h(n_{1},n_{2})$ и $H(w_{1},w_{2})$ обозначают импульсную и частотную характеристику фильтра, аппроксимирующего идеальный фильтр, то мы можем аппроксимировать $I(w_{1},w_{2})$ к $h(n_{1},n_{2})$. С $i(n_{1},n_{2})$ имеет бесконечную протяженность, его можно аппроксимировать как конечную импульсную характеристику путем умножения на оконную функцию, как показано ниже.

$h(n_{1},n_{2})=i(n_{1},n_{2})w(n_{1},n_{2})$

и в области Фурье

$H(w_{1},w_{2})={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}[I(w_{1},w_{2})**W(w_{1},w_{2})]$ 

Проблема состоит в том, чтобы выбрать оконную функцию подходящей формы так, чтобы $H(w_{1},w_{2})$ близко к $I(w_{1},w_{2})$ и в любой области вокруг разрыва $I(w_{1},w_{2})$, $H(w_{1},w_{2})$ не должно содержать чрезмерную рябь из-за окон.

2-D оконная функция из 1-D функции

Существует четыре подхода к созданию двумерных окон с использованием одномерного окна в качестве прототипа.

Подход I

Один из методов получения 2-D окна состоит из внешнего произведения двух 1-D окон, т.е. $w(n_{1},n_{2})=w_{1}(n_{1})w_{2}(n_{2}).$ В этом подходе используется свойство разделимости. Сформированное окно имеет квадратную опорную область и разделимо по двум переменным. Чтобы понять этот подход, рассмотрим одномерное окно Кайзера, оконная функция которого определяется выражением

$w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\text{otherwise}}\\\end{matrix}}\right.$

тогда соответствующая двумерная функция имеет вид

$w(n_{1},n_{2})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{a}}\right)^{2}}}\right)I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-({\frac {n_{2}}{a}})^{2}}}\right)}{I_{0}^{2}(\alpha )}},&|n_{1}|\leqslant a,|n_{2}|\leqslant a\\0&{\text{otherwise}}\\\end{matrix}}\right.$

где:

• $r={\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}$
• N — длина одномерной последовательности,
• I ₀ нулевого порядка , — модифицированная функция Бесселя первого рода
• α — произвольное неотрицательное действительное число, определяющее форму окна. В частотной области он определяет компромисс между шириной основного лепестка и уровнем боковых лепестков, что является центральным решением при проектировании окна.

Преобразование Фурье $w(n_{1},n_{2})$ является внешним продуктом преобразований Фурье $w_{1}(n_{1}){\text{ and }}w_{2}(n_{2})$. Следовательно $W(w_{1},w_{2})=W_{1}(w_{1})W_{2}(w_{2})$.

Подход II

Другой метод расширения одномерного оконного проекта до двухмерного — это выборка вращающейся по кругу одномерной непрерывной оконной функции. Говорят, что функция обладает круговой симметрией , если ее можно записать как функцию ее радиуса независимо от $\theta$ то есть $f(r,\theta )=f(r).$

Если w ( n ) обозначает хорошее одномерное даже симметричное окно, то соответствующая двумерная оконная функция является

$w(n_{1},n_{2})=w\left({\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right){\text{ for }}\left|{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right|\leqslant a$

(где $a$ является константой) и

$w(n_{1},n_{2})=0{\text{ for }}\left|{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right|>a$

Преобразование преобразования Фурье оконной функции в прямоугольных координатах в полярные координаты приводит к выражению преобразования Фурье-Бесселя , которое называется преобразованием Ханкеля . Следовательно, преобразование Ханкеля используется для вычисления преобразования Фурье двумерных оконных функций.

Если этот подход используется для нахождения двумерного окна из одномерной оконной функции, то их преобразования Фурье имеют соотношение

${\frac {1}{2\pi }}H(w_{1},w_{2})**W(w_{1},w_{2})=H(w)*W(w)$

где:

$H(w)=\left\{{\begin{matrix}1,&w\geq 0\\0,&w<0\\\end{matrix}}\right.$ это одномерная ступенчатая функция

и

$H(w_{1},w_{2})=\left\{{\begin{matrix}1,&w_{1}\geq 0{\text{ and all }}w_{2}\\0,&w_{1}<0{\text{ and all }}w_{2}\end{matrix}}\right.$ представляет собой двумерную ступенчатую функцию.
Чтобы вычислить процентную долю основного лепестка, составляющую боковые лепестки, вычисляется объем под боковыми лепестками, в отличие от 1-D, где используется площадь под боковыми лепестками.
Чтобы понять этот подход, рассмотрим одномерное окно Кайзера , тогда соответствующую двумерную функцию можно вывести как

$w(n_{1},n_{2})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-{\frac {\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}{a^{2}}}}}\right)}{I_{0}(\alpha )}},&|r|\leqslant a\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.$

Это наиболее широко используемый подход к проектированию двухмерных окон.

Разработка двумерного фильтра путем оконной обработки с использованием формул окон, полученных из двух вышеупомянутых подходов, приведет к тому же порядку фильтра. Это приводит к преимуществу второго подхода, поскольку его круглая область поддержки имеет меньше ненулевых выборок, чем квадратная область поддержки, полученная с помощью первого подхода, что, в свою очередь, приводит к экономии вычислений из-за уменьшения количества коэффициентов 2-D фильтр. Но недостатком этого подхода является то, что частотные характеристики 1D-окна плохо сохраняются в 2D-случаях при таком методе вращения. Также было обнаружено, что ширина основного лепестка и уровень боковых лепестков двумерных окон не так хорошо ведут себя и предсказуемы, как их одномерные прототипы. При проектировании 2D-окна при вращении необходимо учитывать две особенности. Во-первых, одномерное окно определяется только для целочисленных значений. $n$ но ${\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}$ значение вообще не является целым числом. Чтобы преодолеть эту проблему, можно использовать метод интерполяции для определения значений $w(n_{1},n_{2})$ для любого произвольного $w\left({\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}}}\right).$ Во-вторых, двумерное БПФ должно быть применимо к двумерному окну.

Подход III

Другой подход заключается в получении двумерных окон путем поворота частотной характеристики одномерного окна в пространстве Фурье с последующим обратным преобразованием Фурье. В подходе II сигнал в пространственной области вращается, тогда как в этом подходе одномерное окно вращается в другой области (например, частотном сигнале).

Таким образом, преобразование Фурье двумерной оконной функции определяется выражением

$W_{2}(w_{1},w_{2})=W_{1}\left({\sqrt {(w_{1}^{2}+w_{2}^{2})}}\right).$

Функция 2-D окна $w_{2}(n_{1},n_{2})$ может быть получено путем вычисления обратного преобразования Фурье $W_{2}(w_{1},w_{2})$.

Другой способ продемонстрировать вращение с сохранением типа — это когда отношение $W_{1}(w_{1})=W_{2}(w_{1},w_{2})\ at\ w_{2}=0$ удовлетворен. Это означает, что срез частотной характеристики 2D-окна равен срезу 1D-окна, где ориентация $(w_{1},w_{2})$ является произвольным. В пространственной области это соотношение определяется выражением $w_{1}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }\!w_{2}(n_{1},n_{2})\,dn_{2}$. Это означает, что часть частотной характеристики $W_{2}(w_{1},w_{2})$ то же самое, что преобразование Фурье однонаправленного интегрирования двумерного окна. $w_{2}(n_{1},n_{2})$.

Преимущество этого подхода заключается в том, что индивидуальные особенности отклика 1-D окна $W_{1}(w_{1})$ хорошо сохраняются в полученном отклике двумерного окна $W_{2}(w_{1},w_{2})$. Кроме того, в дискретной системе значительно улучшается круговая симметрия. Недостаток заключается в том, что он неэффективен в вычислительном отношении из-за необходимости двумерного обратного преобразования Фурье и, следовательно, менее полезен на практике.

Подход IV

Был предложен новый метод проектирования двумерного окна путем применения преобразования Макклеллана к одномерному окну. Каждый коэффициент результирующего 2-D окна представляет собой линейную комбинацию коэффициентов соответствующего 1-D окна с целочисленным взвешиванием или взвешиванием степени 2.

Рассмотрим случай четной длины, тогда частотная характеристика одномерного окна длины N может быть записана как

$W_{1}(w)=\sum _{n=1}^{N/2}w(n)\cos[(n-0.5)w].$

Рассмотрим преобразование Макклеллана:

$\cos(w)=0.5\cos(w_{1})+0.5\cos(w_{2})+0.5\cos(w_{1})\cos(w_{2})-0.5$

что эквивалентно

$\cos(0.5w)=\cos(0.5w_{1})\cos(0.5w_{2}){\text{ for }}0\leq \ w\leq \pi ,0\leq \ w_{1}\leq \pi ,0\leq \ w_{2}\leq \pi .$

Подставив вышеизложенное, мы получим частотную характеристику соответствующего 2-D окна.

$W_{2}(w_{1},w_{2})=\sum _{n_{1}=1}^{N/2}\sum _{n_{2}=1}^{N/2}w_{2}(n_{1},n_{2})\cos[(n_{1}-0.5)w_{1}]\cos[(n_{2}-0.5)w_{2}].$

Из приведенного выше уравнения можно получить коэффициенты двумерного окна.

Чтобы проиллюстрировать этот подход, рассмотрим окно Ценг. Окно 1-D Ценг $2N$ веса можно записать как

$W(w)=\exp(-jw/2)\sum _{n=1}^{N}2w_{n}\cos \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)w\right).$

При реализации этого подхода частотная характеристика двумерного окна Ценга, преобразованного Макклелланом, определяется выражением

$W(w_{1},w_{2})=\exp(-j(w_{1}+w_{2})/2)\sum _{n_{1}=1}^{N}\sum _{n_{2}=1}^{N}4w(n_{1},n_{2})\cos \left(\left(n_{1}-{\frac {1}{2}}\right)w_{1}\right)\cos \left(\left(n_{2}-{\frac {1}{2}}\right)w_{2}\right)$

где $w(n_{1},n_{2})$ являются двумерными коэффициентами окна Цэна.

Это окно находит применение при проектировании антенных решеток для обнаружения AM-сигналов.

К преимуществам относятся простая и эффективная конструкция, почти кругово-симметричная частотная характеристика двумерного окна, сохранение характеристик прототипа одномерного окна. Однако, когда этот подход использовался для разработки FIR-фильтра, было замечено, что разработанные 2D-фильтры были не так хороши, как первоначально предложенные Макклелланом.

2-D оконные функции

Используя описанные выше подходы, функции 2D-окна для некоторых из 1D-окна будут такими, как показано ниже. Когда преобразование Ханкеля используется для нахождения частотной характеристики оконной функции, ее трудно представить в замкнутой форме. За исключением прямоугольного окна и окна Бартлетта , остальные оконные функции представлены в исходной целочисленной форме. Двумерная оконная функция представляется как $w(r)$ с регионом поддержки, предоставленным $|r|<a$ где окно установлено в единицу в начале координат и $w(r)=0$ для $|r|>a.$ Используя преобразование Ханкеля , частотная характеристика оконной функции определяется выражением

$W(f)=\int _{0}^{\infty }\!rw(r)J_{0}(fr)\,dr.$ 

где $J_{0}$ – тождество функции Бесселя .

Прямоугольное окно

Рисунок 1: Двухмерный график поверхности окна с круговой симметрией

Рисунок 2. Двухмерный контур контура окна с круговой симметрией.

Двумерная версия круглосимметричного прямоугольного окна показана ниже.

$w(r)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&|r|\leqslant a\\0,&|r|>a\\\end{array}}\right.$

Окно цилиндрическое с высотой единицей и основанием 2а. Вертикальное сечение этого окна представляет собой одномерное прямоугольное окно.
Частотная характеристика окна после замены оконной функции, определенной выше, с использованием преобразования Ханкеля , показана ниже.

$W(f)=\int _{0}^{\infty }\!rJ_{0}(fr)\,dr$

Окно Бартлетта

Двумерное математическое представление окна Бартлетта показано ниже.

$w(r)=\left\{{\begin{array}{cl}1-{\frac {|r|}{a}},&|r|\leqslant a\\0,&|r|>a\end{array}}\right.$

Окно имеет форму конуса, высота которого равна 1, а основанием является круг радиусом 2а. Вертикальное сечение этого окна представляет собой одномерное треугольное окно.
Преобразование Фурье окна с использованием преобразования Ханкеля показано ниже.

$W(f)=\int _{0}^{\infty }\!r\left(1-{\frac {|r|}{a}}\right)J_{0}(fr)\,dr$

Окно Кайзера

Двухмерное окно Кайзера представлено

$w(r)=\left\{{\begin{array}{cl}{\frac {I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-({\frac {r}{a}})^{2}}}\right)}{I_{0}(\alpha )}},&|r|\leqslant a\\[4pt]0,&{\text{otherwise}}\end{array}}\right.$

Поперечное сечение двухмерного окна дает ответ функции одномерного окна Кайзера.
Преобразование Фурье окна с использованием преобразования Ханкеля показано ниже.

$W(f)=\int _{0}^{\infty }\!r\left({\tfrac {I_{0}\left(\alpha {\sqrt {1-(({\frac {r}{a}})^{2}}}\right)}{I_{0}(\alpha )}}\right)J_{0}(fr)\,dr$