Теорема о разделении взаимных фондов

В теории портфеля теорема о разделении взаимных фондов , теорема о взаимных фондах или теорема о разделении — это теорема, утверждающая, что при определенных условиях оптимальный портфель любого инвестора может быть построен путем удержания каждого из определенных взаимных фондов в соответствующих соотношениях, где количество взаимных фондов средств меньше, чем количество отдельных активов в портфеле. Здесь взаимный фонд относится к любому указанному эталонному портфелю доступных активов. Есть два преимущества наличия теоремы о взаимном фонде. Во-первых, если соответствующие условия соблюдены, инвестору может быть проще (или с меньшими транзакционными издержками) приобрести меньшее количество взаимных фондов, чем покупать большее количество активов по отдельности. Во-вторых, с теоретической и эмпирической точки зрения, если можно предположить, что соответствующие условия действительно выполняются, то можно вывести и проверить последствия для функционирования рынков активов.

Разделение портфелей в среднедисперсионном анализе

Портфели можно анализировать в рамках модели средней дисперсии , при этом каждый инвестор владеет портфелем с наименьшей возможной дисперсией доходности , соответствующей выбранному инвестором уровню ожидаемой доходности (называемому портфелем с минимальной дисперсией ), если доходность активов совместно эллиптически определена. распределены , включая особый случай, когда они совместно нормально распределены . При анализе средней дисперсии можно показать что каждый портфель с минимальной дисперсией при определенном ожидаемом доходе (то есть каждый эффективный портфель) может быть сформирован как комбинация любых двух эффективных портфелей. Если оптимальный портфель инвестора имеет ожидаемую доходность, которая находится между ожидаемыми доходами двух эффективных эталонных портфелей, то портфель этого инвестора можно охарактеризовать как состоящий из положительных величин двух эталонных портфелей.

Нет безрискового актива

Чтобы увидеть разделение двух фондов в контексте, в котором нет безрисковых активов, используя матричную алгебру , пусть $\sigma ^{2}$ будет дисперсией доходности портфеля, пусть $\mu$ — уровень ожидаемой доходности портфеля, в зависимости от которого дисперсия доходности портфеля должна быть минимизирована, пусть $r$ — вектор ожидаемой доходности имеющихся активов, пусть $X$ – вектор сумм, подлежащих размещению в имеющихся активах, пусть $W$ — это сумма богатства, которая должна быть распределена в портфеле, и пусть $1$ быть вектором единиц. Тогда задачу минимизации дисперсии доходности портфеля при заданном уровне ожидаемой доходности портфеля можно сформулировать как

Свернуть $\sigma ^{2}$

при условии

$X^{T}r=\mu$

и

$X^{T}1=W$

где верхний индекс $^{T}$ обозначает транспонирование матрицы. Отклонение доходности портфеля в целевой функции можно записать как $\sigma ^{2}=X^{T}VX,$ где $V$ — положительно определенная ковариационная матрица доходности отдельных активов. Лагранжиан для этой задачи оптимизации с ограничениями (можно показать , что условия второго порядка выполняются) равен

$L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (W-X^{T}1),$

с множителями Лагранжа $\lambda$ и $\eta$. Это можно решить для оптимального вектора $X$ величин активов путем приравнивания нулю производных по отношению к $X$, $\lambda$, и $\eta$, предварительно решая условие первого порядка для $X$ с точки зрения $\lambda$ и $\eta$, подставляя в остальные условия первого порядка, решая $\lambda$ и $\eta$ с точки зрения параметров модели и подставляя обратно в предварительное решение для $X$. Результат

$X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]$

где

$\Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.$

Для простоты это можно записать более компактно как

$X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu$

где $\alpha$ и $\beta$ являются векторами параметров, основанными на базовых параметрах модели. Теперь рассмотрим два эталонных эффективных портфеля, построенных с эталонной ожидаемой доходностью. $\mu _{1}$ и $\mu _{2}$ и, таким образом, дано

$X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}$

и

$X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.$

Оптимальный портфель при произвольной $\mu _{3}$ тогда можно записать как средневзвешенное значение $X_{1}^{\mathrm {opt} }$ и $X_{2}^{\mathrm {opt} }$ следующее:

$X_{3}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.$

Это уравнение доказывает теорему разделения двух фондов для среднедисперсионного анализа. Геометрическую интерпретацию см. в пуле Марковица .

Один безрисковый актив

Если доступен безрисковый актив , снова применяется теорема о разделении двух фондов; но в этом случае один из «фондов» может быть выбран в качестве очень простого фонда, содержащего только безрисковые активы, а другой фонд может быть выбран в качестве фонда, который не содержит никаких запасов безрисковых активов. (Когда безрисковый актив называется «деньгами», эта форма теоремы называется теоремой денежного разделения .) Таким образом, эффективные по средней дисперсии портфели могут быть сформированы просто как комбинация активов безрисковых активов. и наличие определенного эффективного фонда, содержащего только рискованные активы. Однако приведенный выше вывод неприменим, поскольку для безрискового актива приведенная выше ковариационная матрица доходности всех активов $V$, будет иметь одну строку и один столбец нулей и, следовательно, не будет обратимым. Вместо этого задачу можно сформулировать как

Свернуть $\sigma ^{2}$

при условии

$(W-X^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,$

где $r_{f}$ - известная доходность безрискового актива, $X$ теперь это вектор количества, которое будет храниться в рискованных активах, и $r$ – вектор ожидаемой доходности рискованных активов. Левая часть последнего уравнения представляет собой ожидаемую доходность портфеля, поскольку $(W-X^{T}1)$ — это количество, хранящееся в безрисковом активе, что включает в себя ограничение на добавление активов, которое в предыдущей задаче требовало включения отдельного лагранжевого ограничения. Целевую функцию можно записать как $\sigma ^{2}=X^{T}VX$, где сейчас $V$ представляет собой ковариационную матрицу только рискованных активов. Можно показать, что эта задача оптимизации дает оптимальный вектор владения рисковыми активами.

$X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).$

Конечно, это равно нулю вектор, если $\mu =Wr_{f}$, доходность безрискового портфеля, и в этом случае все богатство хранится в безрисковом активе. Можно показать, что портфель с нулевым количеством безрисковых активов возникает при $\mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}$ и дается

$X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).$

Также можно показать (аналогично демонстрации в приведенном выше случае с двумя взаимными фондами), что вектор рискованных активов каждого портфеля (т. е. $X^{\mathrm {opt} }$ для каждого значения $\mu$) может быть сформирован как взвешенная комбинация последнего вектора и нулевого вектора. Для геометрической интерпретации см. эффективную границу без безрисковых активов .

Разделение портфеля без анализа среднего отклонения

Если у инвесторов есть гиперболическое абсолютное неприятие риска (HARA) (включая степенную функцию полезности , логарифмическую функцию и экспоненциальную функцию полезности ), теоремы разделения могут быть получены без использования среднедисперсионного анализа. Например, Дэвид Касс и Джозеф Стиглиц. показал в 1970 году, что денежное разделение двух фондов применяется, если все инвесторы имеют полезность HARA с одинаковым показателем степени друг друга.

Совсем недавно в модели динамической оптимизации портфеля Чанакоглу и Озекичи: уровень первоначального богатства инвестора (отличительная черта инвесторов) не влияет на оптимальный состав рискованной части портфеля. Аналогичный результат дает Шмеддерс.