Оптимальный возраст ротации

В лесном хозяйстве оптимальный возраст ротации — это период роста, необходимый для получения максимальной пользы от древостоя. Расчет этого периода индивидуален для каждого стенда и зависит от экономических целей и целей устойчивого развития комбайна.

Экономически оптимальный возраст ротации

В анализе лесохозяйственного севооборота экономически оптимальный севооборот можно определить как «тот возраст севооборота, когда заготовка пней будет приносить максимальный доход или экономический урожай». При анализе экономически оптимального севооборота решение об оптимальном возрасте севооборота принимается путем расчета максимальной чистой текущей стоимости. Это можно показать следующим образом:

Доход (R) = Объем × Цена
Стоимость (C) = стоимость сбора урожая + обработка.
Следовательно, Прибыль = Выручка − Затраты.

Поскольку выгода формируется в течение нескольких лет, необходимо рассчитать тот конкретный возраст сбора урожая , который принесет максимальный доход. Возраст максимального дохода рассчитывается путем дисконтирования будущих ожидаемых выгод, что дает текущую стоимость доходов и затрат. На основе этой суммы рассчитывается чистая приведенная стоимость (NPV) прибыли.Это можно сделать следующим образом:

NPV = PVR – ПВХ

Где PVR — текущая стоимость выручки, а PVC — текущая стоимость затрат. Ротация будет осуществляться там, где NPV максимальна.

Как показано на рисунке, экономически оптимальный возраст ротации определяется в точке R, которая дает максимальную чистую приведенную стоимость ожидаемой выгоды/прибыли. Ротация в любом возрасте до или после R приведет к падению ожидаемой выгоды/прибыли.

Биологически оптимальный возраст ротации

Биологи используют концепцию максимального устойчивого урожая (MSY) или среднегодового прироста (MAI) для определения оптимального возраста заготовки древесины. МУВ можно определить как «наибольший урожай, который может быть собран, при котором ресурс (лесоматериалы) не истощаются безвозвратно и который оставляет ресурс в хорошей форме для будущего использования». MAI можно определить как «среднегодовой прирост объема отдельных деревьев или насаждений к указанному моменту времени». MAI меняется на разных стадиях роста дерева; он самый высокий в средние годы, а затем снижается с возрастом. Точка пика MAI обычно используется для определения биологической зрелости дерева и «его половой готовности к сбору урожая» - доктор Коул Грефф, 1984.

По мере увеличения возраста леса объем сначала начинает расти более медленными темпами, через определенный промежуток времени объем начинает быстро расти и достигает максимума. За пределами которого рост объема начинает снижаться. Это напрямую связано с MAI, поскольку мы обнаруживаем, что MAI увеличивается медленными темпами, затем увеличивается более быстрыми темпами, достигает максимума (точка M) в средние годы (A) и достигает пика, когда нет увеличения объема. ; за точкой M или после того, как дерево достигнет возраста A, MAI начинает уменьшаться.

Следовательно, оптимальным биологическим возрастом вращения считается точка, в которой наклон MAI равен нулю, что также эквивалентно пересечению MAI и периодического годового прироста (PAI). Это показано точкой «M» на рисунке справа, где генерируемый объем равен V. После возраста A MAI начинает снижаться.

Недревесное лесопользование и влияние на оборот

До сих пор в нашем анализе мы рассчитали только оптимальный возраст ротации с точки зрения производства древесины, но поскольку мы учитываем различные другие недревесные лесные продукты (НДПЛ), полученные из леса, оптимальный возраст ротации значительно меняется. В случае НДПЛ, которые зависят от коренной древесины/деревьев, оптимальный возраст ротации смещается вверх, т.е. возраст ротации увеличивается. Это можно проиллюстрировать с помощью следующей диаграммы.

Здесь мы видим, что первоначальный возраст ротации оценивается как R1, но поскольку мы учитываем стоимость НДПЛ, которая зависит от древесины на корню, ожидаемая выгода в будущем увеличивается, и это приводит к увеличению NPV с P1 до P2. Это увеличение NPV приводит к увеличению возраста ротации, поскольку становится более выгодным сохранять деревья/бревна дольше и заготавливать их на R2, по сравнению с заготовкой их в заранее определенном возрасте R1.

Факторы, вызывающие изменение возраста сбора урожая

На возраст сбора урожая влияет множество факторов. Некоторыми из основных факторов, влияющих на срок севооборота, являются цена сбора урожая и обработки, ставка дисконтирования, будущая цена, стоимость посадки, варианты реинвестирования, количество севооборотов, использование НДПЛ, нерыночные экологические услуги и неэкологические рекреационные услуги. ^[1]

Математическая модель

Предположим, что скорость роста древостоя удовлетворяет уравнению: ${dV \over {dt}}={a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right),\quad V(0)=V_{0}$ где $V(t)$ представляет собой объем товарной древесины. Эта модификация логистического уравнения дает решение: $V(t)={K \over {1+{K-V_{0} \over {V_{0}}}(1+bt)^{-a/b}}}$ Теперь предположим, что нас интересует решение задачи оптимального управления : ${\begin{aligned}&&\max _{h(t)}\;\int _{0}^{T}e^{-\delta t}h(t)\;dt\\{\text{subject to}}&&{dV \over {dt}}={a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\\&&h\in [0,\infty ],\;V(t)\geq 0\end{aligned}}$ где $h(t)$ это количество заготовленной древесины. Предположим, что в последний раз $T$ фиксировано. Это приводит к гамильтониану : ${\mathcal {H}}=h+\lambda \left[{a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\right]\implies {\partial {\mathcal {H}} \over {\partial h}}=1-\lambda$ Поэтому $\lambda ^{*}=1$ . Как и в большинстве задач линейного управления, мы столкнулись с особой дугой управления . Сопряженное уравнение: ${\begin{aligned}{\dot {\lambda }}-\delta \lambda &=-{\partial {\mathcal {H}} \over {\partial V}}\\&=-\lambda {a \over {1+bt}}\left(1-{2V \over {K}}\right)\end{aligned}}$ Решение единственного решения $V^{*}$ , мы находим, что: $V^{*}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+bt)\right]$ Используя основное дифференциальное уравнение в постановке задачи, мы можем найти сингулярное управление $h^{*}$ быть: ${\begin{aligned}h^{*}&={a \over {1+bt}}V^{*}\left(1-{V^{*} \over {K}}\right)-{\dot {V}}^{*}\\&={K \over {4}}\left[{a \over {1+bt}}-{\delta ^{2} \over {a}}(1+bt)\right]\end{aligned}}$ Согласно принципу максимума , оптимальная норма уборки должна составлять: $h(t)={\begin{cases}0,\quad &t\in (0,\tau )\\h^{*},\quad &t\in (\tau ,T)\\\infty ,\quad &t=T\end{cases}}$ Найти $\tau$ , нам нужно найти время, когда $V=V^{*}$ : ${K \over {1+{K-V_{0} \over {V_{0}}}(1+b\tau )^{-a/b}}}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+b\tau )\right]$ Например, если $\delta =0$ тогда время переключения определяется выражением: $\tau ={1 \over {b}}\left[\left({K-V_{0} \over {V_{0}}}\right)^{b/a}-1\right]$