Спиновая жесткость

Спиновая жесткость или спиновая жесткость - это константа, которая представляет собой изменение энергии основного состояния спиновой системы в результате медленного поворота спинов в плоскости. Важность этой константы заключается в ее использовании в качестве индикатора квантовых фазовых переходов — особенно в моделях с переходами металл-изолятор, таких как изоляторы Мотта . Это также связано с другими топологическими инвариантами, такими как фаза Берри и числа Черна , как в эффекте квантового Холла .

Математически

Математически это можно определить следующим уравнением:

\rho _{s}={\cfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}{\cfrac {E_{0}(\theta )}{N}}|_{\theta =0}

где $E_{0}$ – энергия основного состояния, $\theta$ – угол закручивания, N – количество узлов решетки.

Спиновая жесткость модели Гейзенберга

Начнём с простого спин-гамильтониана Гейзенберга:

H_{\mathrm {Heisenberg} }=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})\right]

Теперь введем поворот системы в точке i на угол θi _вокруг оси z:

S_{i}^{+}\longrightarrow S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}

S_{i}^{-}\longrightarrow S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}

Подключаем их обратно к гамильтониану Гейзенберга:

H(\theta _{ij})=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}S_{j}^{-}e^{-i\theta _{j}}+S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}S_{j}^{+}e^{i\theta _{j}})\right]

теперь пусть θ _ij = θ _i - θ _j и разложим вокруг θ _ij = 0 с помощью разложения Маклорена, сохраняя только члены до второго порядка по θ _ij

H\approx H_{\mathrm {Heisenberg} }-J\sum _{<ij>}\left[\theta _{ij}J_{ij}^{(s)}-{\cfrac {1}{2}}\theta _{ij}^{2}T_{ij}^{(s)}\right]

где первый член не зависит от θ, а второй член является возмущением при малых θ.

J_{ij}^{s}={\cfrac {i}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}-S_{i}^{-}S_{j}^{+})

- z-компонента оператора спинового тока

T_{ij}={\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})

это «кинетическая энергия вращения»

Рассмотрим теперь случай одинаковых скручиваний, θ _x , которые существуют только вдоль связей ближайших соседей вдоль оси x. Тогда, поскольку спиновая жесткость связана с разницей в энергии основного состояния соотношением

E(\theta )-E(0)=N\rho _{s}\theta _{x}^{2}

тогда при малых θx _с помощью теории возмущений второго порядка получаем:

\rho _{s}={\cfrac {1}{N}}\left[{\cfrac {1}{2}}\langle T_{x}\rangle +\sum _{\nu \neq 0}{\cfrac {|\langle 0|j_{x}^{(s)}|\nu \rangle |^{2}}{E_{\nu }-E_{0}}}\right]

См. также

Спиновая волна

Ссылки

С.Е. Крюгер; Р. Дарради; Дж. Рихтер; DJJ Фарнелл (2006). «Прямой расчет спиновой жесткости антиферромагнетика Гейзенберга со спином (1/2) на квадратных, треугольных и кубических решетках методом связанных кластеров». Физический обзор B . 73 (9): 094404. arXiv : cond-mat/0601691 . Бибкод : 2006PhRvB..73i4404K . дои : 10.1103/PhysRevB.73.094404 .
Дж. Бонча; Дж. П. Родригес; Дж. Феррер; КС Беделл (1994). «Прямой расчет спиновой жесткости для моделей Гейзенберга со спином 1/2». Физический обзор B . 50 (5): 3415–3418. arXiv : cond-mat/9405069 . Бибкод : 1994PhRvB..50.3415B . дои : 10.1103/PhysRevB.50.3415 . ПМИД 9976600 . S2CID 32495059 .
Т. Эйнарссон; Х. Дж. Шульц (1994). «Прямой расчет спиновой жесткости в антиферромагнетике Гейзенберга J ₁ −J ₂ ». Физический обзор B . 51 (9): 6151–6154. arXiv : cond-mat/9410090v1 . Бибкод : 1995PhRvB..51.6151E . дои : 10.1103/PhysRevB.51.6151 . ПМИД 9979543 . S2CID 22218061 .
Б.С. Шастрый; Б. Сазерленд (1990). «Закрученные граничные условия и эффективная масса в кольцах Гейзенберга – Изинга и Хаббарда». Письма о физических отзывах . 65 (2): 243–246. Бибкод : 1990PhRvL..65..243S . doi : 10.1103/PhysRevLett.65.243 . ПМИД 10042589 .
РРП Сингх; Д.А. Хьюз (1989). «Микроскопический расчет константы спиновой жесткости для антиферромагнетика Гейзенберга с квадратной решеткой спина (1/2)». Физический обзор B . 40 (10): 7247–7251. Бибкод : 1989PhRvB..40.7247S . дои : 10.1103/PhysRevB.40.7247 . ПМИД 9991112 .
Р.Г. Мелько, А.В. Сандвик и DJ Скалапино (2004). «Двумерная квантовая модель XY с кольцевым обменом и внешним полем». Физический обзор B . 69 (10): 100408–100412. arXiv : cond-mat/0311080 . Бибкод : 2004PhRvB..69j0408M . дои : 10.1103/PhysRevB.69.100408 . S2CID 119491422 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )