Теорема Глейшера

В чисел теории теорема Глейшера является тождеством, полезным для изучения целочисленных разбиений . Доказано в 1883 г. утверждает Джеймс Уитбред Ли Глейшер , что количество разделов целого числа $n$ на части, не делящиеся на $d$ равно количеству разделов, в которых ни одна часть не повторяется $d$ или более раз. Это обобщает результат, установленный в 1748 году Леонардом Эйлером для случая $d=2$.

Заявление

Он утверждает, что количество разделов целого числа $n$ на части, не делящиеся на $d$ равно количеству разбиений, в которых ни одна часть не повторяется d или более раз, что формально можно записать как разбиения вида $n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}$ где $\lambda _{i}\geq \lambda _{i+1}$ и $\lambda _{i}\geq \lambda _{i+d-1}+1$.

Когда $d=2$ это становится частным случаем, известным как теорема Эйлера, согласно которому число разбиений $n$ на отдельные части, равно числу разделов $n$ на нечетные части.

В следующих примерах мы используем обозначение кратности разделов. Например, $1^{4}2^{1}3^{2}$ это обозначение разбиения 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3.

Пример для d=2 (случай теоремы Эйлера)

Среди 15 разделов числа 7 есть 5, выделенных жирным шрифтом ниже, которые содержат только нечетные части (т.е. только нечетные числа):

$\mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},\mathbf {5^{1}1^{2}} ,4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},\mathbf {3^{2}1^{1}} ,3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},\mathbf {3^{1}1^{4}} ,2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}}$

Если мы теперь посчитаем разбиения числа 7 на отдельные части (т. е. где ни одно число не повторяется), мы также получим 5:

$\mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},\mathbf {4^{1}3^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}1^{1}} ,4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}$

Разделы, выделенные жирным шрифтом в первом и втором случае, неодинаковы, и непонятно, почему их количество одинаково.

Пример для d=3

Среди 11 разделов числа 6 есть 7, выделенных ниже жирным шрифтом, которые содержат только части, не делящиеся на 3:

$6,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,3^{2},3^{1}2^{1}1^{1},3^{1}1^{3},\mathbf {2^{3}} ,\mathbf {2^{2}1^{2}} ,\mathbf {2^{1}1^{4}} ,\mathbf {1^{6}}$

А если посчитать разбиения из 6, в которых ни одна часть не повторяется более 2 раз, то тоже получим 7: $\mathbf {6} ,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,\mathbf {3^{2}} ,\mathbf {3^{1}2^{1}1^{1}} ,3^{1}1^{3},2^{3},\mathbf {2^{2}1^{2}} ,2^{1}1^{4},1^{6}$

Доказательство

Доказательство теоремы можно получить с помощью производящих функций . Если мы отметим $p_{d}(n)$ количество разделов, в которых нет частей, кратных d и $q_{d}(n)$ числа разбиений без частей, повторяющихся более d-1 раз, то теорема означает, что для всех n $p_{d}(n)=q_{d}(n)$. Единственность обычных производящих функций подразумевает, что вместо доказательства того, что $p_{d}(n)=q_{d}(n)$ для всех n достаточно доказать, что производящие функции $p_{d}(n)$ и $q_{d}(n)$ равны, т.е. что $\sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}$.

Каждую производящую функцию можно переписать как бесконечное произведение (методом, аналогичным бесконечному произведению статистической суммы ):

$\sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1,d\nmid n}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{n}}}$ (т.е. произведение членов, где n не делится на d ).

$\sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}$

Если мы расширим бесконечное произведение на $q_{d}(n)$:

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}={\frac {1-x^{d}}{1-x}}{\frac {1-x^{2d}}{1-x^{2}}}\dots {\frac {1-x^{kd}}{1-x^{k}}}\dots$

мы видим, что каждый член в числителе сокращается с соответствующим кратным d в знаменателе. После отмены всех членов числителя остается в точности бесконечное произведение для $p_{d}(n)$.

Следовательно, производящие функции для $p_{d}(n)$ и $q_{d}(n)$ равны.

Личности Роджерса-Рамануджана

Основная статья: Личности Роджерса-Рамануджана

Если вместо подсчета числа разбиений с различными частями посчитать число разбиений, части которых различаются хотя бы на 2, возможно дальнейшее обобщение. Впервые он был открыт Леонардом Джеймсом Роджерсом в 1894 году, а затем независимо Рамануджаном в 1913 году и Шуром в 1917 году в рамках так называемых тождеств Роджерса-Рамануджана . В нем говорится, что:

1) Число разбиений, части которых различаются не менее чем на 2, равно числу разбиений, состоящих только из чисел, совпадающих с 1 или 4 (по модулю 5).

2) Число разбиений, части которых различаются не менее чем на 2 и с наименьшей частью не менее 2, равно числу разбиений, состоящих только из чисел, совпадающих с 2 или 3 (по модулю 5).

Пример 1

Например, существует только 3 разделения из 7, выделенных жирным шрифтом ниже, на части, отличающиеся как минимум на 2 (примечание: если число повторяется в разделе, это означает разницу 0 между двумя частями, следовательно, разделение не является засчитано):

$\mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}$

И еще есть только 3 раздела из 7, включающие только части 1, 4, 6:

$7,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},\mathbf {4^{1}1^{3}} ,3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}}$

Пример 2

В качестве примера второй формулировки тождеств Роджерса-Рамануджана рассмотрим разбиения из 7 с дальнейшим ограничением наименьшей части не менее 2, а их всего 2, выделенных жирным шрифтом ниже:

$\mathbf {7} ,6^{1}1^{1},\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}$

И еще есть только 2 раздела из 7, включающие только части 2, 3, 7:

$\mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},\mathbf {3^{1}2^{2}} ,3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}$

Ссылки

• Д. Х. Лемер (1946). «Две теоремы несуществования о разбиениях» . Бык. амер. Математика. Соц. 52 (6): 538–544. дои : 10.1090/S0002-9904-1946-08605-X .