Неоклассический транспорт

В физике плазмы и термоядерном синтезе с магнитным удержанием неоклассический транспорт или неоклассическая диффузия представляет собой теоретическое описание столкновительного транспорта в тороидальной плазме, обычно встречающейся в токамаках или стеллараторах . Это модификация классической диффузии, добавляющая эффекты неоднородных магнитных полей из-за тороидальной геометрии, которые приводят к новым диффузионным эффектам.

Описание

Классический транспорт моделирует плазму в магнитном поле как большое количество частиц, движущихся по винтовым траекториям вокруг силовой линии . В типичных конструкциях реакторов линии примерно параллельны, поэтому частицы, вращающиеся вокруг соседних линий, могут сталкиваться и рассеиваться . Это приводит к процессу случайного блуждания , который в конечном итоге приводит к тому, что частицы оказываются вне магнитного поля.

Неоклассический транспорт добавляет эффекты геометрии полей. В частности, рассматривается поле внутри токамака и аналогичных тороидальных устройств, где поле сильнее на внутренней кривой, чем снаружи, просто из-за того, что магниты расположены ближе друг к другу в этой области. Чтобы выровнять эти силы, поле в целом закручивается в спираль, так что частицы поочередно движутся изнутри реактора наружу.

В этом случае, когда частица проходит снаружи внутрь, она испытывает возрастающую магнитную силу. Если энергия частицы мала, это возрастающее поле может заставить частицу изменить направление, как в магнитном зеркале . Частица теперь движется через реактор в обратном направлении, к внешнему пределу, а затем обратно внутрь, где происходит тот же процесс отражения. Это приводит к тому, что совокупность частиц прыгает взад и вперед между двумя точками, очерчивая путь, который сверху выглядит как банан, — так называемые банановые орбиты.

любая частица в длинном хвосте распределения Максвелла-Больцмана Поскольку этому эффекту подвержена , всегда существует некоторая естественная популяция таких банановых частиц. Поскольку половину своей орбиты они движутся в обратном направлении, их дрейф в космосе носит колебательный характер. Следовательно, когда частицы сталкиваются, их средний размер шага (ширина банана) намного больше, чем их гирорадиус, что приводит к неоклассической диффузии поперек магнитного поля.

Захваченные частицы и банановые орбиты

Следствием тороидальной геометрии орбит с направляющим центром является то, что некоторые частицы могут отражаться на траектории от внешней стороны к внутренней стороне из-за наличия градиентов магнитного поля, подобных магнитному зеркалу . Отраженные частицы не могут совершить полный оборот в полоидальной плоскости и захватываются, следуя банановым орбитам .

Это можно продемонстрировать, рассмотрев равновесия в токамаке для низко- $\beta$ и большое соотношение сторон, которые имеют почти круглое поперечное сечение, где полярные координаты $(r,\theta )$ с центром на магнитной оси, можно использовать с $r={\text{constant}}$ приблизительно описывающих поверхности потока. Величину полного магнитного поля можно аппроксимировать следующим выражением:

$B\approx B_{0}(1-\epsilon \cos {\theta })$

где индекс $0$ указывает значение на магнитной оси $(r=0)$ , $R$ это большой радиус, $\epsilon =r/R_{0}$ - обратное соотношение сторон, и $B$ является магнитное поле. Параллельная составляющая дрейфово-упорядоченных орбит ведущего центра в этом магнитном поле, при условии отсутствия электрического поля, определяется выражением:

m{\dot {v}}_{\parallel }=-\mu \nabla _{\parallel }B=-\nabla _{\parallel }(U(\theta ))

где $m$ - масса частицы, ${\boldsymbol {v}}$ это скорость, а $\mu =mv_{\perp }^{2}/2B$ – магнитный момент (первый адиабатический инвариант). Направление в нижнем индексе указывает параллельно или перпендикулярно магнитному полю. $U(\theta )=\mu B_{0}(1-\epsilon \cos {\theta })$ - эффективный потенциал, отражающий сохранение кинетической энергии ${\mathcal {E}}=mv_{\parallel }^{2}/2+mv_{\perp }^{2}/2=mv_{\parallel }^{2}/2+U={\text{constant}}$ .

На параллельную траекторию действует зеркальная сила , от которой частица, движущаяся в магнитном поле возрастающей величины, может быть отражена. Если магнитное поле имеет минимум вдоль силовой линии, частицы в этой области более слабого поля могут быть захвачены. Это действительно так, учитывая форму $B$ мы используем. Частицы отражаются ( захваченные частицы ) при достаточно больших $v_{\perp }>v_{\parallel }$ или завершить свой полоидальный поворот ( пролетающие частицы ) в противном случае.

Чтобы увидеть это подробно, максимум и минимум эффективного потенциала можно определить как $U_{\min }=\mu B_{0}(1-\epsilon )$ и $U_{\max }=\mu B_{0}(1+\epsilon )$ . Пролетающие частицы имеют ${\mathcal {E}}>U_{\max }$ и захваченные частицы имеют $U_{\min }<{\mathcal {E}}\leq U_{\max }$ . Признавая это и определив константу движения $\lambda =\mu B_{0}/{\mathcal {E}}\geq 0$ , у нас есть

Прохождение: $0\leq \lambda <1-\epsilon$
В ловушке: $1-\epsilon <\lambda \leq 1+\epsilon$

Ширина орбиты

Ширина орбиты $\Delta r$ можно оценить, рассматривая изменение $v_{\parallel }$ за период орбиты $\Delta r\sim \Delta v_{\parallel }/\Omega _{\text{p}}$ . Используя сохранение ${\mathcal {E}}$ и $\mu$ ,

$v_{\parallel }=\pm v{\sqrt {1-\lambda B/B_{0}}}\approx \pm v{\sqrt {1-\lambda (1-\epsilon \cos {\theta })}}$

Затем можно оценить ширину орбиты, что дает

Ширина проезда: $\Delta r_{\text{p}}\sim q\rho$
Ширина банана: $\Delta r_{\text{b}}\sim q\rho /{\sqrt {\epsilon }}$

Угол отскока $\theta _{\text{b}}$ на котором $v_{\parallel }$ становится нулевым для захваченных частиц

$v_{\parallel }(\theta _{\text{b}})=0\quad \Rightarrow \quad \cos {\theta _{\text{b}}}={\frac {\lambda -1}{\epsilon \lambda }}$

Время отскока

Время отскока $\tau _{\text{b}}$ — время, необходимое частице для завершения своей полоидальной орбиты. Это рассчитывается по

$\tau _{\text{b}}=\int {\text{d}}t=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\dot {\theta }}}=\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{v_{\parallel }{\boldsymbol {b}}\cdot \nabla \theta }}\simeq {\frac {B}{B_{\theta }}}\oint {\frac {r{\text{d}}\theta }{\sigma v{\sqrt {1-\lambda (1-\epsilon \cos {\theta }}})}}$

где $\sigma =\pm 1$ . Интеграл можно переписать как

$\tau _{\text{b}}\simeq {\frac {qR}{v{\sqrt {2\epsilon \lambda }}}}\oint {\frac {{\text{d}}\theta }{\sigma {\sqrt {k^{2}-\sin ^{2}(\theta /2)}}}}$

где $q=rB_{\phi }/RB_{\theta }$ и $k^{2}\equiv [1-\lambda (1-\epsilon )]/2\epsilon \lambda$ , что также эквивалентно $\sin ^{2}(\theta _{\text{b}}/2)$ для захваченных частиц. Это можно оценить, используя результаты полного эллиптического интеграла первого рода.

$K(k)\equiv \int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}x}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}x}}},\quad 0<k\leq 1$

со свойствами

${\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2}}(1+{\mathcal {O}}(k^{2}))\quad &{\text{for}}\quad k\rightarrow 0\\K(k)&\rightarrow \ln {\frac {4}{\sqrt {1-k^{2}}}}\quad &{\text{for}}\quad k\rightarrow 1\end{aligned}}$

Время отскока пролетающих частиц получается путем интегрирования между $[0,2\pi ]$

$\tau _{b}={\frac {4qR}{\sigma {\sqrt {2\epsilon \lambda }}}}{\frac {K(k^{-1})}{k}}$

где время отскока захваченной частицы оценивается путем интегрирования между $[0,\theta _{\text{b}}]$ и принимая $\lambda \approx 1$

$\tau _{b}={\frac {8qR}{\sigma {\sqrt {2\epsilon }}}}K(k)$

Предельные случаи

Супер прохождение: $k\rightarrow \infty \quad \Rightarrow \quad K(k^{-1})\rightarrow \pi /2\quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow 2\pi qR/v_{\parallel }$
Супер в ловушке: $k\rightarrow 0\quad \Rightarrow \quad K(k)\rightarrow \pi /2\quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow (2\pi qR/v_{\parallel }){\sqrt {2/\epsilon }}$
Едва попал в ловушку: $k\rightarrow 1\quad \Rightarrow \quad K(k)\rightarrow \infty \quad \Rightarrow \quad \tau _{\text{b}}\rightarrow \infty$

Неоклассические транспортные режимы

Банановый режим

Режим Пфирша-Шлютера

Режим плато

См. также

Вендельштейн 7-X

Ссылки

Вагнер, Ф.; Вобиг, Х. (2005). «Магнитное удержание». В Динклейге, Андреас; Клингер, Томас; Маркс, Геррит; Швейхард, Лутц (ред.). Физика плазмы: удержание, перенос и коллективные эффекты . Спрингер.