Средний радиус

Сфера (вверху), эллипсоид вращения (слева) и трехосный эллипсоид (справа)

Средний радиус (или иногда средний объемный радиус ) в астрономии является мерой размера планет и малых тел Солнечной системы . Альтернативно, тесно связанный средний диаметр ( $D$), который в два раза превышает средний радиус. Для несферического объекта средний радиус (обозначенный $R$ или $r$) определяется как радиус сферы , которая будет заключать в себе тот же объем , что и объект. В случае сферы средний радиус равен радиусу.

Для любого твердого тела неправильной формы существует уникальный эллипсоид с одинаковым объемом и моментами инерции . Размеры объекта — это главные оси этого особого эллипсоида.

Расчет

2D

Площадь круга радиуса R равна $\pi R^{2}$. Учитывая площадь некруглого объекта A , можно вычислить его средний радиус, установив

$A=\pi R_{\text{mean}}^{2}$

или альтернативно

$R_{\text{mean}}={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}$

Например, квадрат со стороной L имеет площадь $L^{2}$. Если сделать эту площадь равной площади круга, это означает, что

$R_{\text{mean}}={\sqrt {\frac {1}{\pi }}}L\approx 0.3183L$

Аналогично эллипс с большой полуосью $a$ и малая полуось $b$ имеет средний радиус $R_{\text{mean}}={\sqrt {a\cdot b}}$.

Для круга, где $a=b$, это упрощается до $R_{\text{mean}}=a$.

3D

Объем сферы радиуса R равен ${\frac {4}{3}}\pi R^{3}$. Учитывая объем несферического объекта V , можно вычислить его средний радиус, установив

$V={\frac {4}{3}}\pi R_{\text{mean}}^{3}$

или альтернативно

$R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}$

Например, куб со стороной L имеет объем $L^{3}$. Если сделать этот объем равным объему сферы, это означает, что

$R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{\frac {3}{4\pi }}}L\approx 0.6204L$

Аналогично трехосный эллипсоид с осями $a$, $b$ и $c$ имеет средний радиус $R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{a\cdot b\cdot c}}$. Формула эллипсоида вращения представляет собой частный случай, когда $a=b$.

Аналогично, сплюснутый сфероид или эллипсоид вращения с осями $a$ и $c$ имеет средний радиус $R_{\text{mean}}={\sqrt[{3}]{a^{2}\cdot c}}$.

Для сферы, где $a=b=c$, это упрощается до $R_{\text{mean}}=a$.

Примеры

• Для планеты Земля , которую можно аппроксимировать как сплюснутый сфероид с радиусами 6 378,1 км и 6 356,8 км , средний радиус равен $R={\sqrt[{3}]{6378.1^{2}\cdot 6356.8}}=6371.0{\text{ km}}$. Экваториальный и полярный радиусы планет часто обозначают $r_{e}$ и $r_{p}$, соответственно.
• Астероид 360 км × 294 км 511 Давида , близкий по форме к трехосному эллипсоиду с размерами × 254 км , имеет средний диаметр $D={\sqrt[{3}]{360\cdot 294\cdot 254}}=300{\text{ km}}$. ,
• Размер шляпы в США — это окружность головы, измеренная в дюймах, разделенная на число «пи» и округленная до ближайшей 1/8 дюйма. Это соответствует среднему диаметру.
• Диаметр на высоте груди — это окружность ствола дерева , измеренная на высоте 4,5 фута, разделенная на число «пи». Это соответствует среднему диаметру. Его можно измерить непосредственно с помощью подпоясывающей ленты .

См. также

• Кубическое среднее
• Земной эллипсоид
• геоид
• Среднее геометрическое