Пористый набор

В математике — пористое множество это понятие, используемое при изучении метрических пространств . Подобно концепциям скудных множеств и множеств нулевой меры , пористое множество можно считать «разреженным» или «недостаточным объемом»; однако пористые множества не эквивалентны ни скудным наборам, ни наборам с нулевой мерой, как показано ниже.

Определение

Пусть ( X , d ) — полное метрическое пространство и пусть — подмножество X. E Пусть B ( x , r ) обозначает замкнутый шар в ( X , d ) с центром x ∈ X и радиусом r > 0. E называется пористым , если существуют константы 0 < α < 1 и r ₀ > 0 такие, что , для каждого 0 < r ⩽ r ₀ и каждого x ∈ X существует некоторая точка y ∈ X такая, что

B(y,\alpha r)\subseteq B(x,r)\setminus E.

Подмножество X называется σ -пористым , если оно представляет собой счетное объединение пористых подмножеств X .

Характеристики

Любое пористое множество нигде не является плотным . Следовательно, все σ -пористые множества являются тощими множествами (или первой категории ).
Если X — конечномерное евклидово пространство R ^н, то пористые подмножества являются множествами меры Лебега нулевой .
Однако существует не -σ -пористое подмножество P в R ^н которая имеет первую категорию и нулевую меру Лебега. Это известно как теорема Зайичека .
Взаимосвязь между пористостью и нигде не плотным можно проиллюстрировать следующим образом: если E нигде не плотный, то для x ∈ X и r > 0 существует точка y ∈ X и s > 0 такая, что

B(y,s)\subseteq B(x,r)\setminus E.

Однако если E также пористое, то можно взять s = αr (по крайней мере, при достаточно малых ) , где 0 < α < 1 — константа, зависящая только от E. r

Ссылки

Райх, Симеон; Заславский, Александр Дж. (2002). «Два результата сходимости для методов непрерывного спуска». Электронный журнал дифференциальных уравнений . 2002 (24): 1–11. ISSN 1072-6691 .
Зайичек, Л. (1987–1988). «Пористость и σ -пористость». Настоящий анал. Обмен . 13 (2): 314–350. дои : 10.2307/44151885 . ISSN 0147-1937 . JSTOR 44151885 . МИСТЕР 943561