Кости Сейфмана

Игральные кости Зихермана / ˈ s ɪ k ər m ən / представляют собой пару шестигранных игральных костей с нестандартными числами: одна со сторонами 1, 2, 2, 3, 3, 4, а другая со сторонами 1, 3, 4, 5, 6, 8. Они примечательны тем, что являются единственной парой шестигранных игральных костей , которые не являются обычными игральными кубиками , содержат только положительные целые числа и имеют такое же распределение вероятностей для суммы , что и обычные игральные кости. Они были изобретены в 1978 году Джорджем Сичерманом из Буффало, штат Нью-Йорк.

Математика

Стандартное упражнение в элементарной комбинаторике — вычислить количество способов выбросить любое заданное значение с помощью пары шестигранных игральных костей (путем взятия суммы двух бросков). В таблице указано количество таких способов прокатки заданного значения. $n$ :

Количество способов выбросить заданное число
н	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Количество способов	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Сумасшедшие игральные кости — это математическое упражнение в элементарной комбинаторике , включающее в себя перемаркировку граней пары шестигранных игральных костей для воспроизведения той же частоты выпадения сумм, что и при стандартной маркировке. Игральные кости Зихермана — это сумасшедшие игральные кости, которые помечены только положительными целыми числами . (Если целые числа не обязательно должны быть положительными, чтобы получить одинаковое распределение вероятностей, число на каждой грани одной игральной кости можно уменьшить на k , а на другой игральной кости увеличить на k для любого натурального числа k , что дает бесконечно много решений. )

В таблице ниже перечислены все возможные суммы бросков стандартных кубиков и кубиков Зихермана. Один кубик Зихермана для наглядности раскрашен: 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 , а другой полностью черный, 1–3–4–5–6–8.

Возможные суммы бросков кубиков со стандартными кубиками и кубиками Зихермана.
	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Стандартные кубики	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
Кости Сейфмана	1 +1	2 +1 2 +1	1 +3 3 +1 3 +1	1 +4 2 +3 2 +3 4 +1	1 +5 2 +4 2 +4 3 +3 3 +3	1 +6 2 +5 2 +5 3 +4 3 +4 4 +3	2 +6 2 +6 3 +5 3 +5 4 +4	1 +8 3 +6 3 +6 4 +5	2 +8 2 +8 4 +6	3 +8 3 +8	4 +8

История

Игральные кости Зичермана были обнаружены Джорджем Зичерманом из Буффало, штат Нью-Йорк , и первоначально о них сообщил Мартин Гарднер в статье 1978 года в журнале Scientific American .

Числа можно расположить так, чтобы все пары чисел на противоположных сторонах в сумме давали равные числа: 5 для первой и 9 для второй.

Позже, в письме Зихерману, Гарднер упомянул, что один знакомый ему фокусник предвидел открытие Зихермана. Обобщение игральных костей Зихермана на более чем два игральных кубика и некубические игральные кости см. в Broline (1979), Gallian and Rusin (1979), Brunson and Swift (1997/1998), а также Fowler and Swift (1999).

Математическое обоснование

Пусть каноническая n -гранная игральная кость представляет собой n -эдр, грани которого отмечены целыми числами [1,n], так что вероятность выпадения каждого числа равна 1/ n . Рассмотрим каноническую кубическую (шестигранную) игральную кость. Производящая функция для бросков такой игральной кости равна $x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}$ . Произведение этого многочлена само на себя дает производящую функцию для бросков пары игральных костей: $x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}$ . Из теории круговых многочленов мы знаем, что

x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x).

где d колеблется в делителей n и пределах $\Phi _{d}(x)$ - d -й круговой полином, и

{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}

.

Таким образом, мы получаем производящую функцию одной n -сторонней канонической кости как

x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)

$\Phi _{1}(x)=x-1$ и отменяется. Таким образом, факторизация производящей функции шестигранной канонической игральной кости имеет вид

x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)

Производящая функция для бросков двух игральных костей представляет собой произведение двух копий каждого из этих множителей. Как мы можем разделить их, чтобы сформировать две законные игральные кости, места на которых расположены нетрадиционно? Здесь законность означает, что коэффициенты неотрицательны и в сумме равны шести, так что у каждого игрального кубика шесть сторон и на каждой грани есть хотя бы одно пятно. (То есть, производящая функция каждого игрального кубика должна быть полиномом p(x) с положительными коэффициентами и с p(0) = 0 и p(1) = 6.) Существует только один такой раздел:

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}

и

x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}

Это дает нам распределение пятен на гранях пары игральных костей Зихермана как {1,2,2,3,3,4} и {1,3,4,5,6,8}, как указано выше.

Этот метод можно распространить на игральные кости с произвольным числом сторон.

Ссылки

Бролайн, Д. (1979), «Перенумерация граней игральных костей», Mathematics Magazine , 52 (5), Mathematics Magazine, Vol. 52, № 5: 312–315, номер документа : 10.2307/2689786 , JSTOR 2689786.
Брансон, BW; Свифт, Рэндалл Дж. (1998), «Равновероятные суммы», Mathematical Spectrum , 30 (2): 34–36.
Фаулер, Брайан С.; Свифт, Рэндалл Дж. (1999), «Перемаркировка игральных костей», College Mathematics Journal , 30 (3), The College Mathematics Journal, Vol. 30, № 3: 204–208, номер документа : 10.2307/2687599 , JSTOR 2687599.
Галлиан, Дж.А.; Русин, DJ (1979), «Циклотомные полиномы и нестандартные игральные кости», Discrete Mathematics , 27 (3): 245–259, doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4 , MR 0541471
Гарднер, Мартин (1978), «Математические игры», Scientific American , 238 (2): 19–32, Бибкод : 1978SciAm.238b..19G , doi : 10.1038/scientificamerican0278-19
Ньюман, Дональд Дж. (1998). Аналитическая теория чисел . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-98308-2 .

См. также

Календарь из двух кубов

Внешние ссылки

Информационная страница Mathworld

Эта статья включает в себя материал из Crazy dice на сайте PlanetMath , который доступен по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .