Постулат стабильности

В теории вероятностей для получения невырожденного предельного распределения распределения экстремальных значений необходимо «уменьшить» фактическое наибольшее значение, применив линейное преобразование с коэффициентами, зависящими от размера выборки.

Если $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ являются независимыми случайными величинами с общей функцией плотности вероятности

p_{X_{j}}(x)=f(x),

тогда распределения кумулятивная функция $X'_{n}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}$ является

F_{X'_{n}}={[F(x)]}^{n}

Если существует предельное распределение интересов, постулат стабильности утверждает, что предельное распределение представляет собой некоторую последовательность преобразованных «приведенных» значений, таких как $(a_{n}X'_{n}+b_{n})$ , где $a_{n},b_{n}$ может зависеть от n, но не от x .

Чтобы отличить предельную кумулятивную функцию распределения от «приведенного» наибольшего значения из F ( x ), будем обозначать ее G ( x ). Отсюда следует, что G ( x ) должна удовлетворять функциональному уравнению

{[G(x)]}^{n}=G{(a_{n}x+b_{n})}

Это уравнение было получено Морисом Рене Фреше , а также Рональдом Фишером .

Борис Владимирович Гнеденко показал, что нет других распределений, удовлетворяющих постулату устойчивости, кроме следующих: ^{[ 1 ]}

Распределение Гумбеля для постулата минимальной устойчивости
- Если $X_{i}={\textrm {Gumbel}}(\mu ,\beta )$ и $Y=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}$ затем $Y\sim a_{n}X+b_{n}$ где $a_{n}=1$ и $b_{n}=\beta \log(n)$
- Другими словами, $Y\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu -\beta \log(n),\beta )$
Распределение экстремальных значений для постулата максимальной устойчивости
- Если $X_{i}={\textrm {EV}}(\mu ,\sigma )$ и $Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}$ затем $Y\sim a_{n}X+b_{n}$ где $a_{n}=1$ и $b_{n}=\sigma \log({\tfrac {1}{n}})$
- Другими словами, $Y\sim {\textrm {EV}}(\mu -\sigma \log({\tfrac {1}{n}}),\sigma )$
Распределение Фреше для постулата максимальной устойчивости
- Если $X_{i}={\textrm {Frechet}}(\alpha ,s,m)$ и $Y=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}$ затем $Y\sim a_{n}X+b_{n}$ где $a_{n}=n^{-{\tfrac {1}{\alpha }}}$ и $b_{n}=m\left(1-n^{-{\tfrac {1}{\alpha }}}\right)$
- Другими словами, $Y\sim {\textrm {Frechet}}(\alpha ,n^{\tfrac {1}{\alpha }}s,m)$

Ссылки

^ Гнеденко, Б. (1943). «Sur La Distribution Limite Du Terme Maximum D'Une Serie Aleatoire». Анналы математики . 44 (3): 423–453. дои : 10.2307/1968974 .

Эта статистике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

Эта вероятности статья о незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Гнеденко, Б. (1943). «Sur La Distribution Limite Du Terme Maximum D'Une Serie Aleatoire». Анналы математики . 44 (3): 423–453. дои : 10.2307/1968974 .

[ 1 ]