Расстояние Мельникова

В математике метод Мельникова является инструментом выявления существования хаоса в классе динамических систем при периодических возмущениях.

Фон

Метод Мельникова во многих случаях используется для прогнозирования возникновения хаотических орбит в неавтономных гладких нелинейных системах при периодическом возмущении. Согласно методу можно построить функцию, называемую «функцией Мельникова», которую можно использовать для прогнозирования как регулярного, так и хаотического поведения динамической системы. Таким образом, функция Мельникова будет использоваться для определения меры расстояния между устойчивыми и неустойчивыми многообразиями в отображении Пуанкаре. Более того, когда эта мера равна нулю, по методу эти многообразия пересекаются трансверсально, и от этого пересечения система становится хаотичной.

Этот метод появился в 1890 году А. Пуанкаре. и В. Мельникова в 1963 г. и его можно было бы назвать «методом Пуанкаре-Мельникова». Более того, в нескольких учебниках он был описан как Guckenheimer & Holmes, Кузнецов, С. Виггинс, Аврейцевич и Холике и другие. Существует множество применений расстояния Мельникова, поскольку его можно использовать для прогнозирования хаотических колебаний. В этом методе критическая амплитуда находится путем помещения расстояния между гомоклиническими орбитами и устойчивыми многообразиями равным нулю. Точно так же, как у Гукенхаймера и Холмса, где они первыми на основе теоремы КАМ определили набор параметров относительно слабых возмущенных гамильтоновых систем двух степеней свободы, при которых происходит гомоклиническая бифуркация .

Расстояние Мельникова

Рассмотрим следующий класс систем, заданный формулой

Рисунок 1: Фазовое пространство, представляющее предположения $A1$и $A2$относительно системы (1).

$${{\begin{array}{lcl}{\dot {x}}&=&{\frac {\partial H}{\partial y}}(x,y)+\epsilon g_{1}(x,y,t,\epsilon )\\{\dot {y}}&=&-{\frac {\partial H}{\partial x}}(x,y)+\epsilon g_{2}(x,y,t,\epsilon ),\end{array}}{(1)}}$$или в векторной форме $${{\dot {q}}=JDH(q)+\epsilon g(q,t,\epsilon )~\ ~\ {(2)}}$$

Рисунок 2: Гомоклинические многообразия $W^{s}(\gamma (t))$и $W^{u}(\gamma (t))$обозначено $\Gamma _{\gamma }.$Линии на $\Gamma _{\gamma }$представляют собой типичную траекторию системы 4.

где $q=(x,y)$, $DH=\left({\frac {\partial H}{\partial x}},{\frac {\partial H}{\partial y}}\right)$, $g=(g_{1},g_{2})$ и

$J=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\\\end{array}}\right).$

Предположим, что система (1) гладкая в интересующей области: $\epsilon$ — малый параметр возмущения и $g$ — периодическая вектор-функция в $t$с периодом $T={\dfrac {2\pi }{\omega }}$.

Если $\epsilon =0$, то существует невозмущенная система

${{\dot {q}}=JDH(q).~\ ~\ {(3)}}$

Из этой системы (3), глядя на фазовое пространство на рисунке 1, рассмотрим следующие предположения:

• А1 – Система имеет гиперболическую неподвижную точку. $p_{0}$, связанный с самим собой гомоклинической орбитой $q_{0}(t)=(x_{0}(t),y_{0}(t));$
• А2 – Система заполнена изнутри $\Gamma _{p_{0}}$непрерывным семейством периодических орбит $q^{\alpha }(t)$ периода $T^{\alpha }$с $\alpha \in (-1,0),$ где $\Gamma _{p_{0}}=\{q\in \mathbb {R} ^{2}|q=q_{0}(t),t\in \mathbb {R} \}=W^{s}(p_{0})\cap W^{u}(p_{0})\cup \{p_{0}\}.$

Чтобы получить функцию Мельникова, придется пойти на некоторые хитрости, например, чтобы избавиться от зависимости от времени и получить геометрические преимущества, необходимо использовать новую координату. $\phi$ это циклический тип, заданный $\phi =\omega t+\phi _{0}.$Тогда систему (1) можно было бы переписать в векторной форме следующим образом:

Рисунок 3: Вектор нормали $\pi _{p}$к $\Gamma _{\gamma }$.

${\textstyle {{\begin{array}{lcl}{\dot {q}}&=&JDH(q)+\epsilon g(q,\phi ,\epsilon )\\{\dot {\phi }}&=&\omega .\end{array}}~\ ~\ {(4)}}}$

Следовательно, глядя на рисунок 2, трехмерное фазовое пространство $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1},$где $q\in \mathbb {R} ^{2}$и $\phi \in \mathbb {S} ^{1}$имеет гиперболическую неподвижную точку $p_{0}$невозмущенной системы переходит на периодическую орбиту $\gamma (t)=(p_{0},\phi (t)).$ Двумерные устойчивые и неустойчивые многообразия $\gamma (t)$к $W^{s}(\gamma (t))$и $W^{u}(\gamma (t))$ обозначаются соответственно. По предположению $A1,$ $W^{s}(\gamma (t))$ и $W^{u}(\gamma (t))$совпадают вдоль двумерного гомоклинического многообразия. Это обозначается $\Gamma _{\gamma }=\{(q,\phi )\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}|q=q_{0}(-t_{0}),t_{0}\in \mathbb {R} ;\phi =\phi _{0}\in (0,2\pi ]\},$где $t_{0}$ это время полета из точки $q_{0}(-t_{0})$в точку $q_{0}(0)$о гомоклинической связи .

На рисунке 3 для любой точки $p\equiv (q_{0}(-t_{0}),\phi _{0}),$ вектор построен $\pi _{p}$, нормальный для $\Gamma _{\gamma }$следующее $\pi _{p}\equiv (DH(q_{0}(-t_{0}),0).$Таким образом, варьируя $t_{0}$и $\phi _{0}$служить для перемещения $\pi _{p}$в каждую точку на $\Gamma _{\gamma }.$

Расщепление устойчивых и неустойчивых многообразий.

Если $\epsilon \neq 0$ достаточно мало, что и представляет собой систему (2), то $\gamma (t)$ становится $\gamma _{\epsilon }(t),$ $\Gamma _{\gamma }$ становится $\Gamma _{\gamma _{\epsilon }},$ и устойчивое и неустойчивое многообразия становятся отличными друг от друга. Кроме того, для этого достаточно мала $\epsilon$в районе ${\mathcal {N}}(\epsilon _{0}),$ периодическая орбита $\gamma (t)$невозмущенного векторного поля (3) сохраняется как периодическая орбита, $\gamma _{\epsilon }(t)=\gamma (t)+{\mathcal {O}}(\epsilon ).$ Более того, $W_{loc}^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))$ и $W_{loc}^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))$ являются $C^{r}$ $\epsilon$-близко к $W_{loc}^{s}(\gamma (t))$ и $W_{loc}^{u}(\gamma (t))$ соответственно.

Рисунок 4: Разделение коллекторов, дающих $W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))$и $W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))$как прогнозы в $\Sigma ^{\phi _{0}}.$

Рассмотрим следующее сечение фазового пространства $\Sigma ^{\phi _{0}}=\{(q,\phi )\in \mathbb {R} ^{2}|\phi =\phi _{0}\},$ затем $(q(t),\phi (t))$ и $(q_{\epsilon }(t),\phi (t))$ являются траекториями

невозмущенные и возмущенные векторные поля соответственно. Проекции этих траекторий на $\Sigma ^{\phi _{0}}$даны $(q(t),\phi _{0}(t))$ и $(q_{\epsilon }(t),\phi _{0}(t)).$ Глядя на рисунок 4, можно увидеть разделение $W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))$ и $W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t)),$ определен, следовательно, рассмотрим точки, которые пересекаются $\pi _{p}$ поперечно как $p_{\epsilon }^{s}$ и $p_{\epsilon }^{u}$, соответственно. Поэтому естественно определить расстояние между $W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))$ и $W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))$ в точку $p,$ обозначается $d(p,\epsilon )\equiv |p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u}|$и его можно переписать как $d(p,\epsilon )={\dfrac {(p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u})\cdot (DH(q_{0}(-t_{0}),0)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}),0)\parallel }}.$ С $p_{\epsilon }^{s}$и $p_{\epsilon }^{u}$лежать на $\pi _{p},p_{\epsilon }^{s}=(q_{\epsilon }^{s},\phi _{0})$и $p_{\epsilon }^{u}=(q_{\epsilon }^{u},\phi _{0}),$ а потом $d(p,\epsilon )$ может быть переписан с помощью

Рисунок 5: Геометрическое представление пересечения многообразий с вектором нормали. $\pi _{p}.$

${\textstyle {d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot (q_{\epsilon }^{u}-q_{\epsilon }^{s})}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.~\ ~\ {(5)}}}$

Многообразия $W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))$ и $W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))$ может пересекаться $\pi _{p}$ более чем в одной точке, как показано на рисунке 5. Чтобы после каждого пересечения можно было $\epsilon$ достаточно мала, траектория должна проходить через ${\mathcal {N}}(\epsilon _{0})$ снова.

Вывод функции Мельникова

Разложив в ряд Тейлора уравнение (5) о $\epsilon =0,$ дает нам $d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=d(t_{0},\phi _{0},0)+\epsilon {\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2}),$ где $d(t_{0},\phi _{0},0)=0$ и ${\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.$

Когда $d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=0,$ то функция Мельникова определяется как

${M(t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right),~\ ~\ {(6)}}$

с $DH(q_{0}(-t_{0}))=\left({\dfrac {\partial H}{\partial x}}(q_{0}(-t_{0})),{\dfrac {\partial H}{\partial y}}(q_{0}(-t_{0}))\right)$не равен нулю $q_{0}(-t_{0})$, учитывая $t_{0}$конечный и $M(t_{0},\phi _{0})=0\Rightarrow {\dfrac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0})=0.$

Используя уравнение. (6) потребуется знание решения возмущенной задачи. Чтобы избежать этого, Мельников определил зависящую от времени функцию Мельникова.

${M(t;t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)~\ ~\ {(7)}}$

Где $q_{\epsilon }^{u}(t)$ и $q_{\epsilon }^{s}(t)$ траектории, начинающиеся в $q_{\epsilon }^{u}$ и $q_{\epsilon }^{s}$ соответственно. Взятие производной по времени этой функции позволяет сделать некоторые упрощения. Производная по времени одного из членов уравнения. (7) есть $${{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=\left(D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}){\dot {q_{0}}}(t-t_{0}))\right)\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}.~\ ~\ {(8)}}$$ Из уравнения движения ${\dot {q}}_{\epsilon }^{u,s}(t)=JDH(q_{\epsilon }^{u,s}(t))+\epsilon g(q_{\epsilon }^{u,s}(t),t,\epsilon ),$ затем $${{\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}=JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+g(q_{0}(t-t_{0}),t,0)~\ ~\ {(9)}}$$Подстановка уравнений (2) и (9) обратно в (8) дает $${{\begin{aligned}{ll}{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=&D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}))JDH(q_{0}(t-t_{0})\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\phi (t),0)\end{aligned}}~\ ~\ {(10)}}$$ Можно проверить, что первые два члена в правой части сокращаются путем явного вычисления матричных умножений и скалярных произведений . $g(q,t,\epsilon )$ был перепараметризован на $g(q,\phi ,\epsilon )$.

Интегрируя оставшийся член, выражение для исходных членов не зависит от решения возмущенной задачи.

${{\begin{array}{lcl}DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{-\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\\DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{s}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\end{array}}~\ ~\ {(11)}}$

Нижняя граница интегрирования была выбрана в качестве времени, когда $q_{\epsilon }^{u,s}(t)=\gamma (t)$, так что ${\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}=0$ и, следовательно, граничные члены равны нулю.

Сочетание этих терминов и настроек $\tau =0,$ окончательный вид расстояния Мельникова получается следующим образом:

${M(t_{0},\phi _{0})=\int _{-\infty }^{+\infty }DH(q_{0}(t))\cdot g(q_{0}(t),\omega t+\omega t_{0}+\phi _{0},0)dt.~\ ~\ {(12)}}$

Тогда, используя это уравнение, справедлива следующая теорема

Теорема 1 : Предположим, существует точка $(t_{0},\phi _{0})=({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})$такой, что

• я) $M({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})=0$ и
• 2) $\left.{\frac {\partial M}{\partial t_{0}}}\right|_{({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})}\neq 0$.

Тогда для $\epsilon$ достаточно маленький, $W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))$ и $W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))$ пересекаются поперечно в $(q_{0}(-t_{0})+{\mathcal {O}}(\epsilon ),\phi _{0}).$ Более того, если $M(t_{0},\phi _{0})\neq 0$ для всех $(t_{0},\phi _{0})\in \mathbb {R} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}$, затем $W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))\cap W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))=\emptyset .$

Простые нули функции Мельникова предполагают хаос

Из теоремы 1 при наличии простого нуля функции Мельникова следует в трансверсальных пересечениях стабильной $W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))$и $W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))$ многообразий, что приводит к гомоклиническому клубку . Такой клубок представляет собой очень сложную структуру, в которой устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются бесконечное число раз.

Рассмотрим малый элемент фазового объема, выходящий из окрестности точки вблизи трансверсального пересечения вдоль неустойчивого многообразия неподвижной точки. Очевидно, что когда этот элемент объема приближается к гиперболической неподвижной точке, он будет значительно искажаться из-за повторяющихся бесконечных пересечений и растяжений (и складываний), связанных с соответствующими инвариантными множествами. Поэтому разумно ожидать, что элемент объема будет подвергаться бесконечной последовательности преобразований растяжения и сгиба, как карта-подкова . Тогда это интуитивное ожидание строго подтверждается теоремой, сформулированной следующим образом:

Теорема 2. Предположим, что диффеоморфизм $P:M\rightarrow M$, где $M$ является n-мерным многообразием, имеет гиперболическую неподвижную точку ${\bar {x}}$ со стабильной $W^{s}({\bar {x}})$ и $W^{u}({\bar {x}})$ неустойчивое многообразие, пересекающееся в некоторой точке трансверсально $x_{0}\neq {\bar {x}}$, $W^{s}({\bar {x}})\perp W^{u}({\bar {x}}),$где $dimW^{s}+dimW^{u}=n.$ Затем, $M$ содержит гиперболический набор $\Lambda$, инвариант относительно $P$, на котором $P$ топологически сопряжен сдвигу на конечном числе символов.

Таким образом, по теореме 2 следует, что динамика с поперечной гомоклинической точкой топологически подобна подковообразному отображению и обладает свойством чувствительности к начальным условиям, а значит, когда расстояние Мельникова (10) имеет простой нуль, оно означает, что система хаотична.