Гомоклиническая связь

В динамических системах , разделе математики , гомоклиническая связь представляет собой структуру, образованную устойчивым многообразием и неустойчивым многообразием неподвижной точки .

Определение для карт

Позволять $f:M\to M$ быть отображением, определенным на многообразии $M$ , с фиксированной точкой $p$ . Позволять $W^{s}(f,p)$ и $W^{u}(f,p)$ быть устойчивым многообразием и неустойчивым многообразием фиксированной точки $p$ , соответственно. Позволять $V$ — связное инвариантное многообразие такое, что

V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,p)

Затем $V$ называется гомоклинической связностью .

Гетероклиническая связь

Это похожее понятие, но оно относится к двум фиксированным точкам: $p$ и $q$ . Условие, удовлетворяющее $V$ заменяется на:

V\subseteq W^{s}(f,p)\cap W^{u}(f,q)

Это понятие не симметрично относительно $p$ и $q$ .

Гомоклинические и гетероклинические пересечения

Когда инвариантные многообразия $W^{s}(f,p)$ и $W^{u}(f,q)$ , возможно, с $p=q$ , пересекаются, но нет гомоклинической/гетероклинической связи, два многообразия образуют другую структуру, иногда называемую гомоклиническим/гетероклиническим клубком . Фигурка имеет концептуальный рисунок, иллюстрирующий их сложную конструкцию. Теоретическим результатом, подтверждающим этот рисунок, является лямбда-лемма . Гомоклинические клубки всегда сопровождаются подковой Смейла .

Определение непрерывных потоков

Для непрерывных потоков определение по существу то же самое.

В различных публикациях существуют некоторые различия в определении;
Исторически первым рассмотренным случаем был случай непрерывного течения на плоскости , вызванного обыкновенным дифференциальным уравнением . В этом случае гомоклиническая связность — это одна траектория , сходящаяся к неподвижной точке $p$ как вперед, так и назад во времени. Маятник . при отсутствии трения является примером механической системы, имеющей гомоклиническую связь Когда маятник отпускается из верхнего положения (точки наибольшей потенциальной энергии) с бесконечно малой скоростью, маятник вернется в то же положение. По возвращении он будет иметь точно такую же скорость. Время, необходимое для возвращения, увеличится до $\infty$ когда начальная скорость стремится к нулю. Одна из демонстраций в статье о маятнике демонстрирует такое поведение.

Значение

При возмущении динамической системы гомоклиническая связь расщепляется . Оно становится несвязным инвариантным множеством. Рядом с ним будет хаотичный набор под названием « Подкова Смейла» . Таким образом, существование гомоклинической связи потенциально может привести к хаосу . Например, когда маятник помещен в ящик и ящик подвергается небольшим горизонтальным колебаниям, маятник может проявлять хаотическое поведение.

См. также