Неравенство Ван дер Корпута

В математике неравенство Ван дер Корпута является следствием неравенства Коши -Шварца , которое полезно при изучении корреляций между векторами и, следовательно, случайными величинами . Это также полезно при изучении равнораспределенных последовательностей , например, в оценке равнораспределения Вейля . В общих чертах неравенство Ван дер Корпута утверждает, что если единичный вектор $v$ во внутреннем пространстве продукта $V$ сильно коррелирует со многими единичными векторами $u_{1},\dots ,u_{n}\in V$, то многие пары $u_{i},u_{j}$ должны быть тесно связаны друг с другом. Здесь понятие корреляции уточняется с помощью внутреннего продукта пространства $V$: когда значение абсолютное $\langle u,v\rangle$ близко к $1$, затем $u$ и $v$ считаются сильно коррелированными. (В более общем смысле, если задействованные векторы не являются единичными векторами, то сильная корреляция означает, что $|\langle u,v\rangle |\approx \|u\|\|v\|$.)

Формулировка неравенства

Позволять $V$ быть реальным или сложным пространством внутреннего продукта с внутренним продуктом $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ и индуцированная норма $\|\cdot \|$. Предположим, что $v,u_{1},\dots ,u_{n}\in V$ и это $\|v\|=1$. Затем

$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|\langle v,u_{i}\rangle |\right)^{2}\leq \sum _{i,j=1}^{n}|\langle u_{i},u_{j}\rangle |.$

С точки зрения корреляционной эвристики, упомянутой выше, если $v$ сильно коррелирует со многими единичными векторами $u_{1},\dots ,u_{n}\in V$, то левая часть неравенства будет большой, что приведет к тому, что значительная часть векторов $u_{i}$ быть сильно коррелированными друг с другом.

Доказательство неравенства

Начнем с того, что заметим, что для любого $i\in 1,\dots ,n$ существует $\epsilon _{i}$ (действительный или комплексный) такой, что $|\epsilon _{i}|=1$ и $|\langle v,u_{i}\rangle |=\epsilon _{i}\langle v,u_{i}\rangle$. Затем,

$\left(\sum _{i=1}^{n}\left|\langle v,u_{i}\rangle \right|\right)^{2}$

$=\left(\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}\langle v,u_{i}\rangle \right)^{2}$

$=\left(\left\langle v,\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\rangle \right)^{2}$ поскольку скалярное произведение билинейно

$\leq \|v\|^{2}\left\|\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\|^{2}$ по неравенству Коши–Шварца

$=\|v\|^{2}\left\langle \sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}\epsilon _{i}u_{j}\right\rangle$ по определению индуцированной нормы

$=\sum _{i,j=1}^{n}\epsilon _{i}\epsilon _{j}\langle u_{i},u_{j}\rangle$ с $v$ является единичным вектором, а внутреннее произведение билинейно

$\leq \sum _{i,j=1}^{n}|\langle u_{i},u_{j}\rangle |$ с $|\epsilon _{i}|=1$ для всех $i$.

Внешние ссылки

• Сообщение в блоге Теренса Тао о корреляционной транзитивности, включая неравенство Ван дер Корпута [1]