G-мера

В математике G — -мера это мера $\mu$ которую можно представить как слабый* предел последовательности измеримых функций $G=\left(G_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$. Классическим примером является произведение Рисса.

$G_{n}(t)=\prod _{k=1}^{n}\left(1+r\cos(2\pi m^{k}t)\right)$

где $-1<r<1,m\in \mathbb {N}$. Слабый* предел этого произведения — это мера на окружности $\mathbb {T}$в том смысле, что для $f\in C(\mathbb {T} )$:

$\int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int f(t)\prod _{k=1}^{n}\left(1+r\cos(2\pi m^{k}t)\right)\,dt=\lim _{n\to \infty }\int f(t)G_{n}(t)\,dt$

где $dt$ представляет Ее меру .

История

Это был Кин который первым показал, что произведение Рисса можно рассматривать как меру, инвариантную к сильному перемешиванию относительно оператора сдвига. $S(x)=mx\,{\bmod {\,}}1$. Позднее они были обобщены Брауном и Дули. к произведениям Рисса вида

$\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+r_{k}\cos(2\pi m_{1}m_{2}\cdots m_{k}t)\right)$

где $-1<r_{k}<1,m_{k}\in \mathbb {N} ,m_{k}\geq 3$.

Внешние ссылки

• Произведение Рисса в Математической энциклопедии