Формула Мольена

В математике , формула Мольена вычисляет производящую функцию присоединенную к линейному представлению группы G которые в конечномерном векторном пространстве , которая подсчитывает однородные многочлены заданной полной степени являются инвариантами для G. , Он назван в честь Теодора Мольена .

Точнее, там говорится: дано конечномерное комплексное представление V группы G и $R_{n}=\mathbb {C} [V]_{n}=\operatorname {Sym} ^{n}(V^{*})$, пространство однородных полиномиальных функций на V степени n (однородные полиномы первой степени - это в точности линейные функционалы), если G - конечная группа, ряд (называемый рядом Мольена ) можно вычислить как:

$\sum _{n=0}^{\infty }\dim(R_{n}^{G})t^{n}=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}\det(1-tg|V^{*})^{-1}.$

Здесь, $R_{n}^{G}$ является подпространством $R_{n}$ который состоит из всех векторов, фиксированных всеми элементами G ; т. е. инвариантные формы степени n . Таким образом, его размерность равна числу инвариантов степени n . Если G — компактная группа, аналогичная формула справедлива в терминах меры Хаара.

Вывод

Позволять $\chi _{1},\dots ,\chi _{r}$ обозначим неприводимые характеры конечной группы G и V , R , как указано выше. Тогда персонаж $\chi _{R_{n}}$ из $R_{n}$ можно записать как:

$\chi _{R_{n}}=\sum _{i=1}^{r}a_{i,n}\chi _{i}.$

Здесь каждый $a_{i,n}$ задается внутренним произведением:

$a_{i,n}=\langle \chi _{R_{n}},\chi _{i}\rangle =(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\chi _{R_{n}}(g)=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{|\alpha |=n}\lambda (g)^{\alpha }$

где ${\textstyle \lambda (g)^{\alpha }=\prod _{i=1}^{m}\lambda _{i}(g)^{\alpha _{i}}}$ и $\lambda _{1}(g),\dots ,\lambda _{m}(g)$ являются возможными повторяющимися собственными значениями $g:V^{*}\to V^{*}$. Теперь вычисляем ряд:

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{i,n}t^{n}&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\sum _{\alpha }(\lambda _{1}(g)t)^{\alpha _{1}}\cdots (\lambda _{m}(g)t)^{\alpha _{m}}\\&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)(1-\lambda _{1}(g)t)^{-1}\cdots (1-\lambda _{m}(g)t)^{-1}\\&=(\#G)^{-1}\sum _{g\in G}{\overline {\chi _{i}}}(g)\det(1-tg|V^{*})^{-1}.\end{aligned}}$

принимая $\chi _{i}$ быть тривиальным персонажем дает формулу Мольена.

Пример

Рассмотрим симметрическую группу $S_{3}$ действуя на R ³ путем перестановки координат. Сумму складываем по элементам группы следующим образом.Начиная с идентичности, мы имеем

$\det {\begin{pmatrix}1-t&0&0\\0&1-t&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)^{3}$.

Существует трехэлементный класс сопряженности $S_{3}$, состоящий из перестановок двух координат. Это дает три члена вида

$\det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\-t&1&0\\0&0&1-t\end{pmatrix}}=(1-t)(1-t^{2}).$

Существует двухэлементный класс сопряженности циклических перестановок, дающий два члена вида

$\det {\begin{pmatrix}1&-t&0\\0&1&-t\\-t&0&1\end{pmatrix}}=\left(1-t^{3}\right).$

Обратите внимание, что разные элементы одного и того же класса сопряженности дают один и тот же определитель. Таким образом, ряд Мольена

$M(t)={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{(1-t)^{3}}}+{\frac {3}{(1-t)(1-t^{2})}}+{\frac {2}{1-t^{3}}}\right)={\frac {1}{(1-t)(1-t^{2})(1-t^{3})}}.$

С другой стороны, мы можем разложить геометрический ряд и умножить, чтобы получить

$M(t)=(1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots )(1+t^{2}+t^{4}+\cdots )(1+t^{3}+t^{6}+\cdots )=1+t+2t^{2}+3t^{3}+4t^{4}+5t^{5}+7t^{6}+8t^{7}+10t^{8}+12t^{9}+\cdots$

Коэффициенты ряда говорят нам о количестве линейно независимых однородных многочленов от трех переменных, инвариантных относительно перестановок трех переменных, т. е. о количестве независимых симметричных многочленов от трех переменных. Действительно, если мы рассмотрим элементарные симметрические многочлены

$\sigma _{1}=x+y+z$

$\sigma _{2}=xy+xz+yz$

$\sigma _{3}=xyz$

мы видим, например, что в степени 5 имеется базис, состоящий из $\sigma _{3}\sigma _{2}$, $\sigma _{3}\sigma _{1}^{2}$, $\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}$, $\sigma _{1}^{3}\sigma _{2}$, и $\sigma _{1}^{5}$.

(На самом деле, если вы умножите ряд вручную, вы увидите, что $t^{k}$ термин происходит от сочетания $t$, $t^{2}$, и $t^{3}$ точно соответствующие сочетаниям $\sigma _{1}$, $\sigma _{2}$, и $\sigma _{3}$, также соответствующие разбиениям $k$ с $1$, $2$, и $3$ как части. См. также Разделы (теория чисел) и Теория представлений симметричной группы .)

Ссылки

• Дэвид А. Кокс, Джон Б. Литтл, Донал О'Ши (2005), Использование алгебраической геометрии , стр. 295–8.
• Молиен, Т. (1897). «Об инвариантах линейных групп подстановки» . Зона сеанса Король. Пруссия. Академическая наука (Ж. Берл. Бер.) . 52 : 1152-1156. ЖФМ   28.0115.01 .
• Мукаи, С. (2002). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 81. ИСБН  978-0-521-80906-1 .
• Стэнли, Ричард П. (1979). «Инварианты конечных групп и их приложения к комбинаторике» . Бык. амер. Математика. Соц . Новая серия. 1 : 475–511. дои : 10.1090/S0273-0979-1979-14597-X . МР   0526968 .

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/58283/a-question-about-an-application-of-moliens-formula-to-find-the-generators-and-r