Тензор потенциальной энергии Чандрасекара

В астрофизике тензор потенциальной энергии Чандрасекара обеспечивает гравитационный потенциал тела за счет собственной гравитации, создаваемой распределением материи по телу, названный в честь индийско-американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара . Тензор Чандрасекара является обобщением потенциальной энергии, другими словами, след тензора Чандрасекара дает потенциальную энергию тела.

Определение

Тензор потенциальной энергии Чандрасекара определяется как

$W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x}$

где

$\Phi _{ij}(\mathbf {x} )=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi _{ii}=\Phi =G\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d\mathbf {x'}$

где

• $G$ гравитационная постоянная
• $\Phi (\mathbf {x} )$ это потенциал самогравитации из закона гравитации Ньютона.
• $\Phi _{ij}$ это обобщенная версия $\Phi$
• $\rho (\mathbf {x} )$ материи плотности — распределение
• $V$ это объем тела

Очевидно, что $W_{ij}$ является симметричным тензором по определению. След тензора Чандрасекара $W_{ij}$ есть не что иное, как потенциальная энергия $W$.

$W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}d\mathbf {x}$

Следовательно, тензор Чандрасекара можно рассматривать как обобщение потенциальной энергии.

Доказательство Чандрасекара

Рассмотрим вопрос объема $V$ с плотностью $\rho (\mathbf {x} )$. Таким образом

${\begin{aligned}W_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}d\mathbf {x} \\&=-{\frac {1}{2}}G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int _{V}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x_{i}(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int _{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\int _{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int _{V}\rho x_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}$

Чандрасекара в терминах

Скалярный потенциал определяется как

$\chi (\mathbf {x} )=-G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x'}$

затем Чандрасекар доказывает, что

$W_{ij}=\delta _{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$

Параметр $i=j$ мы получаем $\nabla ^{2}\chi =-2W$, снова взяв лапласиан , получим $\nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho$.

См. также

• Теорема Вириала
• Вириальные уравнения Чандрасекара