В астрофизике представляют вириальные уравнения Чандрасекара собой иерархию моментных уравнений уравнений Эйлера , разработанную индийско-американским астрофизиком Субраманьяном Чандрасекаром и физиком Энрико Ферми и Норманом Р. Лебовицем. [1] [2] [3]
Математическое описание [ править ] Рассмотрим жидкую массу M {\displaystyle M} V {\displaystyle V} плотностью ρ ( x , t ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)} p ( x , t ) {\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)} x {\displaystyle \mathbf {x} } моменты .
Моменты плотности определяются как
M = ∫ V ρ d x , I i = ∫ V ρ x i d x , I i j = ∫ V ρ x i x j d x , I i j k = ∫ V ρ x i x j x k d x , I i j k ℓ = ∫ V ρ x i x j x k x ℓ d x , etc. {\displaystyle M=\int _{V}\rho \,d\mathbf {x} ,\quad I_{i}=\int _{V}\rho x_{i}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ij}=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ijk}=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad I_{ijk\ell }=\int _{V}\rho x_{i}x_{j}x_{k}x_{\ell }\,d\mathbf {x} ,\quad {\text{etc.}}} моменты давления
Π = ∫ V p d x , Π i = ∫ V p x i d x , Π i j = ∫ V p x i x j d x , Π i j k = ∫ V p x i x j x k d x etc. {\displaystyle \Pi =\int _{V}p\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{i}=\int _{V}px_{i}\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{ij}=\int _{V}px_{i}x_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad \Pi _{ijk}=\int _{V}px_{i}x_{j}x_{k}d\mathbf {x} \quad {\text{etc.}}} моменты кинетической энергии
T i j = 1 2 ∫ V ρ u i u j d x , T i j ; k = 1 2 ∫ V ρ u i u j x k d x , T i j ; k ℓ = 1 2 ∫ V ρ u i u j x k x ℓ d x , e t c . {\displaystyle T_{ij}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}\,d\mathbf {x} ,\quad T_{ij;k}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad T_{ij;k\ell }={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho u_{i}u_{j}x_{k}x_{\ell }\,d\mathbf {x} ,\quad \mathrm {etc.} } а моменты тензора потенциальной энергии Чандрасекара равны
W i j = − 1 2 ∫ V ρ Φ i j d x , W i j ; k = − 1 2 ∫ V ρ Φ i j x k d x , W i j ; k ℓ = − 1 2 ∫ V ρ Φ i j x k x ℓ d x , e t c . where Φ i j = G ∫ V ρ ( x ′ ) ( x i − x i ′ ) ( x j − x j ′ ) | x − x ′ | 3 d x ′ {\displaystyle W_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}\,d\mathbf {x} ,\quad W_{ij;k}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}x_{k}\,d\mathbf {x} ,\quad W_{ij;k\ell }=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi _{ij}x_{k}x_{\ell }d\mathbf {x} ,\quad \mathrm {etc.} \quad {\text{where}}\quad \Phi _{ij}=G\int _{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x_{i}-x_{i}')(x_{j}-x_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}\,d\mathbf {x'} } где G {\displaystyle G} гравитационной постоянной .
Все тензоры симметричны по определению. Момент инерции I {\displaystyle I} T {\displaystyle T} W {\displaystyle W}
I = I i i = ∫ V ρ | x | 2 d x , T = T i i = 1 2 ∫ V ρ | u | 2 d x , W = W i i = − 1 2 ∫ V ρ Φ d x where Φ = Φ i i = ∫ V ρ ( x ′ ) | x − x ′ | d x ′ {\displaystyle I=I_{ii}=\int _{V}\rho |\mathbf {x} |^{2}\,d\mathbf {x} ,\quad T=T_{ii}={\frac {1}{2}}\int _{V}\rho |\mathbf {u} |^{2}\,d\mathbf {x} ,\quad W=W_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int _{V}\rho \Phi \,d\mathbf {x} \quad {\text{where}}\quad \Phi =\Phi _{ii}=\int _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\,d\mathbf {x'} } Чандрасекар предположил, что масса жидкости находится под действием силы давления и собственной силы гравитации, тогда уравнения Эйлера имеют вид
ρ d u i d t = − ∂ p ∂ x i + ρ ∂ Φ ∂ x i , where d d t = ∂ ∂ t + u j ∂ ∂ x j {\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}},\quad {\text{where}}\quad {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}} первого Вириальное уравнение порядка d 2 I i d t 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}I_{i}}{dt^{2}}}=0} второго Вириальное уравнение порядка 1 2 d 2 I i j d t 2 = 2 T i j + W i j + δ i j Π {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I_{ij}}{dt^{2}}}=2T_{ij}+W_{ij}+\delta _{ij}\Pi } В установившемся состоянии уравнение принимает вид
2 T i j + W i j = − δ i j Π {\displaystyle 2T_{ij}+W_{ij}=-\delta _{ij}\Pi } третьего Вириальное уравнение порядка 1 6 d 2 I i j k d t 2 = 2 ( T i j ; k + T j k ; i + T k i ; j ) + W i j ; k + W j k ; i + W k i ; j + δ i j Π k + δ j k Π i + δ k i Π j {\displaystyle {\frac {1}{6}}{\frac {d^{2}I_{ijk}}{dt^{2}}}=2(T_{ij;k}+T_{jk;i}+T_{ki;j})+W_{ij;k}+W_{jk;i}+W_{ki;j}+\delta _{ij}\Pi _{k}+\delta _{jk}\Pi _{i}+\delta _{ki}\Pi _{j}} В установившемся состоянии уравнение принимает вид
2 ( T i j ; k + T i k ; j ) + W i j ; k + W i k ; j = − δ i j Π K − δ i k Π j {\displaystyle 2(T_{ij;k}+T_{ik;j})+W_{ij;k}+W_{ik;j}=-\delta _{ij}\Pi _{K}-\delta _{ik}\Pi _{j}} Уравнения Эйлера во вращающейся системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } }
ρ d u i d t = − ∂ p ∂ x i + ρ ∂ Φ ∂ x i + 1 2 ρ ∂ ∂ x i | Ω × x | 2 + 2 ρ ε i ℓ m u ℓ Ω m {\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\rho {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} |^{2}+2\rho \varepsilon _{i\ell m}u_{\ell }\Omega _{m}} где ε i ℓ m {\displaystyle \varepsilon _{i\ell m}} символ Леви-Чивита , 1 2 | Ω × x | 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} |^{2}} ускорение и 2 u × Ω {\displaystyle 2\mathbf {u} \times \mathbf {\Omega } } ускорение Кориолиса .
Стационарное вириальное уравнение порядка второго В установившемся состоянии уравнение вириала второго порядка принимает вид
2 T i j + W i j + Ω 2 I i j − Ω i Ω k I k j + 2 ϵ i ℓ m Ω m ∫ V ρ u ℓ x j d x = − δ i j Π {\displaystyle 2T_{ij}+W_{ij}+\Omega ^{2}I_{ij}-\Omega _{i}\Omega _{k}I_{kj}+2\epsilon _{i\ell m}\Omega _{m}\int _{V}\rho u_{\ell }x_{j}\,d\mathbf {x} =-\delta _{ij}\Pi } Если ось вращения выбрана в x 3 {\displaystyle x_{3}}
W i j + Ω 2 ( I i j − δ i 3 I 3 j ) = − δ i j Π {\displaystyle W_{ij}+\Omega ^{2}(I_{ij}-\delta _{i3}I_{3j})=-\delta _{ij}\Pi } и Чандрасекар показывает, что в этом случае тензоры могут принимать только следующий вид
W i j = ( W 11 W 12 0 W 21 W 22 0 0 0 W 33 ) , I i j = ( I 11 I 12 0 I 21 I 22 0 0 0 I 33 ) {\displaystyle W_{ij}={\begin{pmatrix}W_{11}&W_{12}&0\\W_{21}&W_{22}&0\\0&0&W_{33}\end{pmatrix}},\quad I_{ij}={\begin{pmatrix}I_{11}&I_{12}&0\\I_{21}&I_{22}&0\\0&0&I_{33}\end{pmatrix}}} Стационарное вириальное уравнение порядка третьего В установившемся состоянии уравнение вириала третьего порядка принимает вид
2 ( T i j ; k + T i k ; j ) + W i j ; k + W i k ; j + Ω 2 I i j k − Ω i Ω ℓ I ℓ j k + 2 ε i ℓ m Ω m ∫ V ρ u ℓ x j x k d x = − δ i j Π k − δ i k Π j {\displaystyle 2(T_{ij;k}+T_{ik;j})+W_{ij;k}+W_{ik;j}+\Omega ^{2}I_{ijk}-\Omega _{i}\Omega _{\ell }I_{\ell jk}+2\varepsilon _{i\ell m}\Omega _{m}\int _{V}\rho u_{\ell }x_{j}x_{k}\,d\mathbf {x} =-\delta _{ij}\Pi _{k}-\delta _{ik}\Pi _{j}} Если ось вращения выбрана в x 3 {\displaystyle x_{3}}
W i j ; k + W i k ; j + Ω 2 ( I i j k − δ i 3 I 3 j k ) = − ( δ i j Π k + δ i k Π j ) {\displaystyle W_{ij;k}+W_{ik;j}+\Omega ^{2}(I_{ijk}-\delta _{i3}I_{3jk})=-(\delta _{ij}\Pi _{k}+\delta _{ik}\Pi _{j})} Стационарное вириальное уравнение четвертого порядка С x 3 {\displaystyle x_{3}} [4]
1 3 ( 2 W i j ; k l + 2 W i k ; l j + 2 W i l ; j k + W i j ; k ; l + W i k ; l ; j + W i l ; j ; k ) + Ω 2 ( I i j k l − δ i 3 I 3 j k l ) = − ( δ i j Π k l + δ i k Π l j + δ i l Π j k ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}(2W_{ij;kl}+2W_{ik;lj}+2W_{il;jk}+W_{ij;k;l}+W_{ik;l;j}+W_{il;j;k})+\Omega ^{2}(I_{ijkl}-\delta _{i3}I_{3jkl})=-(\delta _{ij}\Pi _{kl}+\delta _{ik}\Pi _{lj}+\delta _{il}\Pi _{jk})} Вириальные уравнения с вязкими напряжениями [ править ] рассмотрим уравнения Навье-Стокса Вместо уравнений Эйлера ,
ρ d u i d t = − ∂ p ∂ x i + ρ ∂ Φ ∂ x i + ∂ τ i k ∂ x k , where τ i k = ρ ν ( ∂ u i ∂ x k + ∂ u k ∂ x i − 2 3 ∂ u l ∂ x l δ i k ) {\displaystyle \rho {\frac {du_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\rho {\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \tau _{ik}}{\partial x_{k}}},\quad {\text{where}}\quad \tau _{ik}=\rho \nu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{l}}}\delta _{ik}\right)} и мы определяем тензор энергии сдвига как
S i j = ∫ V τ i j d x . {\displaystyle S_{ij}=\int _{V}\tau _{ij}d\mathbf {x} .} При условии, что нормальная составляющая полного напряжения на свободной поверхности должна обращаться в нуль, т. е. ( − p δ i k + τ i k ) n k = 0 {\displaystyle (-p\delta _{ik}+\tau _{ik})n_{k}=0} n {\displaystyle \mathbf {n} }
1 2 d 2 I i j d t 2 = 2 T i j + W i j + δ i j Π − S i j . {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I_{ij}}{dt^{2}}}=2T_{ij}+W_{ij}+\delta _{ij}\Pi -S_{ij}.} Это можно легко распространить на вращающуюся систему отсчета.
^ Чандрасекхар, С; Лебовиц Н.Р. (1962). «Потенциалы и суперпотенциалы однородных эллипсоидов» (PDF) . Ап. Дж. 136: 1037–1047. Бибкод : 1962ApJ...136.1037C . дои : 10.1086/147456 . Проверено 24 марта 2012 г. ^ Чандрасекхар, С; Ферми Э (1953). «Проблемы гравитационной устойчивости в присутствии магнитного поля» (PDF) . Ап. J. 118: 116. Бибкод : 1953ApJ...118..116C . дои : 10.1086/145732 . Проверено 24 марта 2012 г. ^ Чандрасекхар, Субраманян. Эллипсоидальные фигуры равновесия. Том. 9. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета, 1969. ^ Чандрасекхар, С. (1968). Вириальные уравнения четвертого порядка. Астрофизический журнал, 152, 293. http://repository.ias.ac.in/74364/1/93-p-OCR.pdf. 
