Матроид Кокстера
В математике матроиды Кокстера являются обобщением матроидов в зависимости от выбора группы Кокстера W и параболической подгруппы P . Обычные матроиды соответствуют случаю, когда — максимальная параболическая подгруппа симметрической группы W. P Они были представлены Гельфандом и Сергановой ( 1987 , 1987b ), которые назвали их в честь Х.С.М. Коксетера .
Боровик, Гельфанд и Уайт (2003) дают подробное описание матроидов Кокстера.
Определение
[ редактировать ]Предположим, что W — группа Кокстера, порожденная множеством S инволюций, а P — параболическая подгруппа (подгруппа, порожденная некоторым подмножеством S ). Матроид Кокстера — это подмножество M в W / P которое для каждого w в W , содержит уникальный минимальный элемент относительно w - порядка Брюа .
Отношение к матроидам
[ редактировать ]группа Кокстера W — это симметрическая группа Sn , а P — параболическая подгруппа Sk – × Sn что Предположим , k . Тогда W / P можно отождествить с подмножествами k -элементов n -элементного множества {1,2,..., n }, а элементы w из W соответствуют линейным порядкам этого набора. Матроид Кокстера состоит из k наборов элементов таких, что для каждого w существует уникальный минимальный элемент в соответствующем порядке Брюа из k -элементных подмножеств. Это в точности определение матроида ранга k на множестве из n элементов в терминах базисов: матроид можно определить как некоторые подмножества из k - элементов, называемые базами набора из n - элементов, такие, что для каждого линейного порядка набора существует единственная минимальная база в упорядочении Гейла -элементных подмножеств k .
Ссылки
[ редактировать ]- Боровик Александр Васильевич ; Гельфанд, ИМ ; Уайт, Нил (2003), Матроиды Кокстера , Progress in Mathematics, vol. 216, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, номер номера : 10.1007/978-1-4612-2066-4 , ISBN. 978-0-8176-3764-4 , г.р. 1989953
- Гельфанд, ИМ ; Серганова, В. В. (1987), "Об общем определении матроида и гридоида", Доклады Академии наук СССР , 292 (1): 15–20, ISSN 0002-3264 , MR 0871945
- Gelfand, I. M. ; Serganova, V. V. (1987b), "Combinatorial geometries and the strata of a torus on homogeneous compact manifolds", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 42 (2): 107–134, doi : 10.1070/RM1987v042n02ABEH001308 , ISSN 0042-1316 , MR 0898623 – English translation in Russian Mathematical Surveys 42 (1987), no. 2, 133–168