Полярная гомология

В комплексной геометрии полярные гомологии — это группа, которая захватывает голоморфные инварианты многообразия аналогично обычным гомологиям многообразия комплексного в дифференциальной топологии . Полярная гомология была определена Б. Хесиным и А. Росли в 1999 г.

Определение

Пусть M — комплексное проективное многообразие . Пространство $C_{k}$ полярных k -цепей представляет собой векторное пространство над ${\mathbb {C} }$ определяется как частное $A_{k}/R_{k}$ , с $A_{k}$ и $R_{k}$ векторные пространства, определенные ниже.

Определение A _k

Пространство $A_{k}$ свободно порождается тройками $(X,f,\alpha )$ , где X — гладкое k -мерное комплексное многообразие, $f:\;X\mapsto M$ голоморфное отображение и $\alpha$ является рациональной k -формой на X с полюсами первого порядка на дивизоре с нормальным пересечением .

Определение R _k

Пространство $R_{k}$ порождается следующими соотношениями.

$\lambda (X,f,\alpha )=(X,f,\lambda \alpha )$
$(X,f,\alpha )=0$ если $\dim f(X)<k$ .
$\ \sum _{i}(X_{i},f_{i},\alpha _{i})=0$ при условии, что

\sum _{i}f_{i*}\alpha _{i}\equiv 0,

где

dim\;f_{i}(X_{i})=k

для всех

i

и толчок вперед

f_{i*}\alpha _{i}

рассматриваются на гладкой части

\cup _{i}f_{i}(X_{i})

.

Определение граничного оператора

Граничный оператор $\partial :\;C_{k}\mapsto C_{k-1}$ определяется

\partial (X,f,\alpha )=2\pi {\sqrt {-1}}\sum _{i}(V_{i},f_{i},res_{V_{i}}\,\alpha )

,

где $V_{i}$ являются компонентами полярного делителя $\alpha$ , res – вычет Пуанкаре и $f_{i}=f|_{V_{i}}$ являются ограничениями отображения f на каждую компоненту дивизора.

Хесин и Росли доказали, что этот граничный оператор корректно определен и удовлетворяет условиям $\partial ^{2}=0$ . Они определили полярные когомологии как фактор $\operatorname {ker} \;\partial /\operatorname {im} \;\partial$ .