Топологическая сложность

В математике топологическая сложность топологического пространства X (также обозначаемого TC( X )) является топологическим инвариантом, тесно связанным с планирования движения . проблемой , представленный Майклом Фарбером в 2003 году.

Определение

Пусть X — топологическое пространство и $PX=\{\gamma :[0,1]\,\to \,X\}$ — пространство всех непрерывных путей в X . Определить проекцию $\pi :PX\to \,X\times X$к $\pi (\gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))$. Топологическая сложность — это минимальное число k такое, что

• есть открытая крышка $\{U_{i}\}_{i=1}^{k}$ из $X\times X$,
• для каждого $i=1,\ldots ,k$, существует локальный раздел $s_{i}:\,U_{i}\to \,PX.$

Примеры

• Топологическая сложность: TC( X ) = 1 тогда и только тогда, X стягиваемо когда .
• Топологическая сложность сферы $S^{n}$ равно 2 для n нечетного и 3 для четного n . Например, в случае с кругом $S^{1}$, мы можем определить путь между двумя точками как геодезическую между точками, если он уникален. Любую пару противоположных точек можно соединить путем против часовой стрелки.
• Если $F(\mathbb {R} ^{m},n)$ — конфигурационное пространство n различных точек евклидова m -пространства, тогда

$TC(F(\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,odd} \\2n-2&\mathrm {for\,\,{\it {m}}\,\,even.} \end{cases}}$

• Топологическая сложность бутылки Клейна равна 5.

Ссылки

• Фарбер, М. (2003). «Топологическая сложность планирования движения». Дискретная и вычислительная геометрия . Том. 29, нет. 2. С. 211–221.
• Арминдо Коста: Топологическая сложность конфигурационных пространств , доктор философии. Диссертация, Даремский университет (2010), онлайн

Внешние ссылки

• Топологическая сложность на nLab