Слияние анионов

Слияние анионов — это процесс, при котором несколько анионов ведут себя как один более крупный составной анион. Слияние анионов важно для понимания физики неабелевых анионов и того, как их можно использовать в квантовой информации.

Абелевы анионы

Если $N$ идентичные абелевы анионы, каждый со своей статистикой $\alpha$ (то есть система подхватывает фазу $e^{i\alpha }$ когда два отдельных аниона подвергаются адиабатическому обмену против часовой стрелки) все сливаются вместе, они вместе имеют статистику $N^{2}\alpha$. В этом можно убедиться, заметив, что при вращении двух составных анионов друг вокруг друга против часовой стрелки возникают $N^{2}$ пары отдельных анионов (один в первом составном анионе, один во втором составном анионе), каждый из которых вносит свой вклад в фазу $e^{i\alpha }$. Аналогичный анализ применим и к слиянию неидентичных абелевых анионов. Статистика составного аниона однозначно определяется статистикой его компонентов.

Правила неабелевых анионных слияний

Неабелевы анионы имеют более сложные отношения слияния. Как правило, в системе с неабелевыми анионами существует составная частица, статистическая метка которой не определяется однозначно статистическими метками ее компонентов, а существует как квантовая суперпозиция (это полностью аналогично тому, как два фермиона известны каждый из них имеет спин 1/2 и 3/2 вместе находится в квантовой суперпозиции полного спина 1 и 2). Если известна общая статистика слияния всех нескольких анионов, остается неопределенность в слиянии некоторых подмножеств этих анионов, и каждая возможность представляет собой уникальное квантовое состояние. Эти множественные состояния создают гильбертово пространство , в котором можно выполнять квантовые вычисления.

В частности, два неабелевых аниона, помеченных $a$ и $b$ иметь правило слияния, заданное формулой $a\times b=\sum _{c}N_{ab}^{c}c$, где формальная сумма по $c$ перебирает все метки возможных типов анионов в системе (а также тривиальную метку $c=1$ обозначая отсутствие частиц), и каждый $N_{ab}^{c}$ — неотрицательное целое число , обозначающее, сколько существует различных квантовых состояний, в которых $a$ и $b$ сливаться в $c$ (Это верно и в абелевом случае, за исключением того случая, что для каждого $a$ и $b$, есть один тип аньона $c$ для чего $N_{ab}^{c}=1$ и для всех остальных $c$, $N_{ab}^{c}=0$ .) Каждый тип аниона $a$ также должна иметь сопряженную античастицу ${\bar {a}}$ среди списка возможных типов Anyon, таких что $N_{a{\bar {a}}}^{1}\neq 0$, т.е. он может аннигилировать вместе со своей античастицей. Метка типа аниона не определяет всю информацию об анионе, но информация, которую она указывает, топологически инвариантна относительно локальных возмущений.

Например, анионная система Фибоначчи, одна из самых простых, состоит из меток $1$ и $\tau$ ( $\tau$ обозначает анион Фибоначчи), которые удовлетворяют правилу слияния $\tau \times \tau =1+\tau$ (соответствует $N_{\tau \tau }^{\tau }=N_{\tau \tau }^{1}=1$), а также тривиальные правила $\tau \times 1=\tau$ и $1\times 1=1$ (соответствует $N_{\tau 1}^{\tau }=N_{11}^{1}=1$).

Система Anyon Изинга состоит из меток $1$ , $\psi$ и $\sigma$ , которые удовлетворяют правилам слияния $\sigma \times \sigma =1+\psi$, $\sigma \times \psi =\sigma$и тривиальные правила.

The $\times$ операция коммутативна и ассоциативна, как и должно быть, чтобы физически иметь смысл со слитыми анионами. Кроме того, можно просмотреть $N_{ab}^{c}$ коэффициенты как записи матрицы $(N_{a})_{b}^{c}$ матрицы с индексами строк и столбцов $b$ и $c$; тогда наибольшее собственное значение этой матрицы известно как квантовая размерность $d_{a}$ любого типа $a$.

Правила слияния также можно обобщить, чтобы рассмотреть, сколькими способами $N_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}$ коллекция $a_{1},a_{2},\ldots a_{m}$ может быть объединен с окончательным типом Anyon $c$.

Гильбертовые пространства термоядерных процессов

Процесс слияния, при котором $a$ и $b$ сливаться в $c$ соответствует $N_{ab}^{c}$ многомерное комплексное векторное пространство $V_{ab}^{c}$, состоящий из всех различных ортонормированных квантовых состояний, в которых $a$ и $b$ сливаться в $c$. Это образует гильбертово пространство. Когда $N_{ab}^{c}\leq 1$, например, в примерах Изинга и Фибоначчи, $V_{ab}^{c}$ это в лучшем случае одномерное пространство с одним состоянием. Прямая сумма $\bigoplus _{c}V_{ab}^{c}$ представляет собой разложение ${\mathcal {H}}_{a}\otimes {\mathcal {H}}_{b}$ тензорное произведение гильбертова пространства отдельного аниона $a$ и гильбертово пространство индивидуального аниона $b$. В квантовой теории поля топологической $V_{ab}^{c}$ — векторное пространство, связанное с парой брюк с надписью «талия» $c$ и ноги $a$ и $b$.

Можно построить более сложные гильбертовы пространства, соответствующие слиянию трех и более частиц, т.е. для квантовых систем, где известно, что $a_{1},a_{2},\ldots a_{m}$ сливаться в окончательный тип Anyon $c$. Это гильбертово пространство $V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}$ описывал бы, например, квантовую систему, образованную, начиная с квазичастицы $c$ и с помощью некоторой локальной физической процедуры разбить эту квазичастицу на квазичастицы $a_{1},a_{2},\ldots a_{m}$ (потому что в такой системе все анионы обязательно должны снова слиться в $c$ топологической инвариантностью). Существует изоморфизм между $V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{1}$ и $V_{a_{j+1},a_{j+2},\ldots a_{m}}^{{\bar {a}}_{1},{\bar {a}}_{2},\ldots {\bar {a}}_{j}}$ для любого $j$. Как упоминалось в предыдущем разделе, перестановки меток также изоморфны.

Можно понять структуру $V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}$ рассматривая процессы слияния одной пары анионов за раз. Существует множество произвольных способов сделать это, каждый из которых можно использовать для получения различного разложения $V_{a_{1},\ldots a_{m}}^{c}$ в пару штанов. Один из возможных вариантов — сначала предохранить $a_{1}$ и $a_{2}$ в $b_{1}$, затем предохранитель $b_{1}$ и $a_{3}$ в $b_{2}$, и так далее. Этот подход показывает нам, что $V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}=\bigoplus _{\lbrace b_{j}\rbrace }\left(V_{a_{1},a_{2}}^{b_{1}}\otimes V_{b_{1},a_{3}}^{b_{2}}\otimes V_{b_{2},a_{4}}^{b_{3}}\ldots V_{b_{m-3},a_{m-1}}^{b_{m-2}}\otimes V_{b_{m-2},a_{m}}^{c}\right)$, и соответственно $N_{a_{1},\ldots a_{m}}^{c}=\left(\prod _{j=2}^{m}N_{a_{j}}\right)_{a_{1}}^{c}$ где $N_{a}$ — матрица, определенная в предыдущем разделе.

Это разложение явно указывает на выбор базиса гильбертова пространства. Разный произвольный выбор порядка объединения анионов будет соответствовать разному выбору базиса.