Поведенческое моделирование

Не путать с моделью поведения .

Поведенческий подход к теории систем и теории управления был инициирован в конце 1970-х годов Дж. К. Виллемсом в результате разрешения противоречий, присутствующих в классических подходах, основанных на пространстве состояний, передаточной функции и представлениях свертки. Этот подход также мотивирован целью получения общей структуры для системного анализа и управления, которая учитывает лежащую в основе физику .

Главным объектом поведенческой установки является поведение – совокупность всех сигналов, совместимых с системой. Важной особенностью поведенческого подхода является то, что он не различает приоритет входных и выходных переменных. Помимо постановки теории систем и управления на строгую основу, поведенческий подход объединил существующие подходы и принес новые результаты по управляемости для систем nD , управлению через взаимосвязь, и идентификация системы.

Динамическая система как совокупность сигналов

В поведенческом плане динамическая система представляет собой тройку

$\Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})$

где

• $\mathbb {T} \subseteq \mathbb {R}$ - это «набор времени» - моменты времени, в течение которых система развивается,
• $\mathbb {W}$ - это «сигнальное пространство» - набор, в котором переменные, эволюция которых моделируется, принимают свои значения, и
• ${\mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }$ «поведение» – набор сигналов, совместимых с законами системы.

( $\mathbb {W} ^{\mathbb {T} }$ обозначает набор всех сигналов, т.е. функций из $\mathbb {T}$ в $\mathbb {W}$).

$w\in {\mathcal {B}}$ означает, что $w$ является траекторией системы, а $w\notin {\mathcal {B}}$ означает, что законы системы запрещают траекторию $w$ произойти. Прежде чем явление будет смоделировано, каждый сигнал в $\mathbb {W} ^{\mathbb {T} }$ считается возможным, тогда как после моделирования учитываются только результаты в ${\mathcal {B}}$ остаются возможностями.

Особые случаи:

• $\mathbb {T} =\mathbb {R}$ – системы непрерывного времени
• $\mathbb {T} =\mathbb {Z}$ – системы дискретного времени
• $\mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}$ – большинство физических систем
• $\mathbb {W}$ конечное множество – дискретные системы событий

Линейные стационарные дифференциальные системы

Свойства системы определяются с точки зрения поведения. Система $\Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})$ Говорят, что это

• «линейный», если $\mathbb {W}$ является векторным пространством и ${\mathcal {B}}$ является линейным подпространством $\mathbb {W} ^{\mathbb {T} }$,
• «инвариантный ко времени», если набор времени состоит из действительных или натуральных чисел и

$\sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}$ для всех $t\in \mathbb {T}$,

где $\sigma ^{t}$ обозначает $t$-сдвиг, определяемый

$\sigma ^{t}(f)(t'):=f(t'+t)$.

В этих определениях линейность отражает закон суперпозиции , а инвариантность во времени утверждает, что сдвиг во времени законной траектории, в свою очередь, является законной траекторией.

«Линейная нестационарная дифференциальная система» - это динамическая система. $\Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})$ чье поведение ${\mathcal {B}}$ – множество решений системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами $R(d/dt)w=0$, где $R$ представляет собой матрицу многочленов с действительными коэффициентами. Коэффициенты $R$ являются параметрами модели. Чтобы определить соответствующее поведение, нам нужно указать, когда мы рассматриваем сигнал. $w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}$ быть решением $R(d/dt)w=0$. Для простоты изложения часто рассматриваются бесконечные дифференцируемые решения. Существуют и другие возможности, такие как принятие распределительных решений или решений в ${\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})$, и с обыкновенными дифференциальными уравнениями, интерпретируемыми в смысле распределений. Определенное поведение

${\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \}.$

Этот конкретный способ представления системы называется «ядерным представлением» соответствующей динамической системы. Существует множество других полезных представлений того же поведения, включая передаточную функцию, пространство состояний и свертку.

Доступные источники по поведенческому подходу см. .

Наблюдаемость скрытых переменных

Ключевой вопрос поведенческого подхода заключается в том, можно ли вывести величину w1 с учетом наблюдаемой величины w2 и модели . Если w1 можно вывести, зная w2 и модель, w2 называется наблюдаемым . , которую необходимо вывести, С точки зрения математического моделирования величину или переменную часто называют скрытой переменной , а наблюдаемую переменную — явной переменной. Такая система тогда называется наблюдаемой (скрытой переменной) системой.

Дополнительные источники

• Паоло Раписарда и Ян К. Виллемс, 2006. Последние достижения в теории поведенческих систем , 24–28 июля 2006 г., MTNS 2006, Киото, Япония.
• Джей Си Виллемс. Терминалы и порты. Журнал IEEE Circuits and Systems, том 10, выпуск 4, страницы 8–16, декабрь 2010 г.
• Дж. К. Виллемс и Х. Л. Трентельман. О квадратичных дифференциальных формах. Журнал SIAM по контролю и оптимизации, том 36, страницы 1702–1749, 1998 г.
• Джей Си Виллемс. Парадигмы и загадки теории динамических систем. Транзакции IEEE по автоматическому управлению, том 36, страницы 259–294, 1991 г.
• Джей Си Виллемс. Модели для динамики. Отчет о динамике, том 2, страницы 171–269, 1989 г.