Стохастическая теория портфеля

Теория стохастического портфеля ( SPT ) - это математическая теория для анализа структуры фондового рынка и поведения портфеля, введенного Э. Робертом Фернхольцем в 2002 году. Она является описательной в отличие от нормативного и согласуется с наблюдаемым поведением реальных рынков. Нормативные предположения, которые служат основой для более ранних теорий, таких как современная теория портфеля (MPT) и модель ценообразования активов капитала (CAPM), отсутствуют в SPT.

непрерывного времени SPT использует случайные процессы (в частности, непрерывные полумартинглы) для представления цен на отдельные ценные бумаги. Процессы с разрывами, такими как прыжки, также были включены* в теорию (* неопровержимое требование из -за пропущенной цитирования!).

Акции, портфели и рынки

SPT рассматривает акции и фондовые рынки , но его методы могут применяться к другим классам активов и . Акции представлены его ценовым процессом, обычно в логарифмическом представлении . В случае, если рынок представляет собой набор процессов цены цены $X_{i},$ для $i=1,\dots ,n,$ каждый определяется непрерывным полумаргингейлом

d\log X_{i}(t)=\gamma _{i}(t)\,dt+\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\,dW_{\nu }(t)

где $W:=(W_{1},\dots ,W_{d})$ является $n$ -смеренный процесс коричневого движения (wiener) с $d\geq n$ и процессы $\gamma _{i}$ и $\xi _{i\nu }$ по постепенно измеримы отношению к коричневой фильтрации $\{{\mathcal {F}}_{t}\}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}$ Полем В этом представлении $\gamma _{i}(t)$ называется (составной) роста скорость $X_{i},$ и ковариация между $\log X_{i}$ и $\log X_{j}$ является $\sigma _{ij}(t)=\sum _{\nu =1}^{d}\xi _{i\nu }(t)\xi _{j\nu }(t).$ Часто предполагается, что для всех $i,$ процесс $\xi _{i,1}^{2}(t)+\cdots +\xi _{id}^{2}(t)$ положительный, местный квадратный между $t\rightarrow \infty .$

Логарифмическое представление эквивалентно классическому арифметическому представлению, которое использует скорость возврата $\alpha _{i}(t),$ Однако темпы роста могут быть значимым показателем долгосрочной эффективности финансового актива, тогда как температура прибыли имеет смещение вверх. Соотношение между скоростью доходности и скоростью роста составляет

\alpha _{i}(t)=\gamma _{i}(t)+{\frac {\sigma _{ii}(t)}{2}}

Обычное соглашение в SPT состоит в том, чтобы предположить, что у каждой акции есть одна доля в обращении, поэтому $X_{i}(t)$ представляет собой общую капитализацию $i$ -Т -акции в момент времени $t,$ и $X(t)=X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)$ это общая капитализация рынка. Дивиденды могут быть включены в это представление, но здесь пропущены для простоты.

Инвестиционная стратегия $\pi =(\pi _{1},\cdots ,\pi _{n})$ вектор ограниченного, постепенно измеримого процессы; количество $\pi _{i}(t)$ представляет собой долю общего богатства, вложенного в $i$ -Т -акции в время $t$ , и $\pi _{0}(t):=1-\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)$ это доля (инвестирована в денежный рынок с нулевой процентной ставкой). Отрицательные веса соответствуют коротким позициям. Денежная стратегия $\kappa \equiv 0(\kappa _{0}\equiv 1)$ сохраняет все богатство на денежном рынке. Стратегия $\pi$ называется портфелем , если он полностью инвестирован в фондовый рынок , то есть $\pi _{1}(t)+\cdots +\pi _{n}(t)=1$ держит, всегда.

Процесс стоимости $Z_{\pi }$ стратегии $\pi$ всегда положительный и удовлетворяет

d\log Z_{\pi }(t)=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\,d\log X_{i}(t)+\gamma _{\pi }^{*}(t)\,dt

где процесс $\gamma _{\pi }^{*}$ называется избыточным процессом роста и дается

\gamma _{\pi }^{*}(t):={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}(t)\sigma _{ii}(t)-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\pi _{i}(t)\pi _{j}(t)\sigma _{ij}(t)

Это выражение является неотрицательным для портфеля с неотрицательными весами $\pi _{i}(t)$ и был использован При квадратичной оптимизации портфелей запасов, особым случаем которого является оптимизация в отношении логарифмической полезной функции.

Процессы веса рынка ,

\mu _{i}(t):={\frac {X_{i}(t)}{X_{1}(t)+\cdots +X_{n}(t)}}

где $i=1,\dots ,n$ Определите портфель рынка $\mu$ Полем С начальным условием $Z_{\mu }(0)=X(0),$ соответствующий процесс стоимости удовлетворит $Z_{\mu }(t)=X(t)$ для всех $t.$

Ряд условий может быть наложен на рынок, иногда для моделирования реальных рынков, а иногда и подчеркнуть определенные типы гипотетического поведения на рынке. Некоторые обычно вызываемые условия:

Рынок является негенерированным , если собственные значения ковариационной матрицы $(\sigma _{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ ограничены от нуля. Он имеет ограниченную дисперсию, если собственные значения ограничены.
Рынок является последовательным, если $\operatorname {lim} _{t\rightarrow \infty }t^{-1}\log(\mu _{i}(t))=0$ для всех $i=1,\dots ,n.$
Рынок разнообразен на $[0,T]$ Если существует $\varepsilon >0$ так что $\mu _{\max }(t)\leq 1-\varepsilon$ для $t\in [0,T].$
Рынок слабо разнообразен на $[0,T]$ Если существует $\varepsilon >0$ так что

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mu _{\max }(t)\,dt\leq 1-\varepsilon$

Разнообразие и слабое разнообразие являются довольно слабыми условиями, и рынки, как правило, гораздо более разнообразны, чем эти крайности тестируются. Мера разнообразия рынка - это рыночная энтропия , определяемая

S(\mu (t))=-\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\log(\mu _{i}(t)).

Стохастическая стабильность

Мы рассмотрим векторный процесс $(\mu _{(1)}(t),\dots ,\mu _{(n)}(t)),$ с $0\leq t<\infty$ ранжированных весов рынка

\max _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)=:\mu _{(1)}(t)\geq \mu _{(2)}(t)\geq \cdots \mu _{(n)}(t):=\min _{1\leq i\leq n}\mu _{i}(t)

где связи решаются «лексикографически», всегда в пользу самого низкого индекса. Бревенчатые заветы

G^{(k,k+1)}(t):=\log(\mu _{(k)}(t)/\mu _{(k+1)}(t)),

где $0\leq t<\infty$ и $k=1,\dots ,n-1$ являются непрерывными, неотрицательными полумартинглами; Мы обозначаем $\Lambda ^{(k,k+1)}(t)=L^{G^{(k,k+1)}}(t;0)$ их местные времена в начале происхождения. Эти величины измеряют количество оборота между рядами $k$ и $k+1$ В течение временного интервала $[0,t]$ .

Рынок называется стохастически стабильным , если $(\mu _{(1)}(t),\cdots ,\mu _{(n)}(t))$ сходится в распределение как $t\rightarrow \infty$ к случайному вектору $(M_{(1)},\cdots ,M_{(n)})$ со значениями в камере Вейла $\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid x_{1}>x_{2}>\dots >x_{n}{\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}=1\}$ единицы простого простого, и если сильный закон большого количества

\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {\Lambda ^{(k,k+1)}(t)}{t}}=\lambda ^{(k,k+1)}>0

держит подходящую реальную константу $\lambda ^{(1,2)},\dots ,\lambda ^{(n-1,n)}.$

Арбитраж и собственность численности

Учитывая любые две инвестиционные стратегии $\pi ,\rho$ И реальное число $T>0$ , мы говорим, что $\pi$ Арбитраж относительно $\rho$ С той время, проведенной временем $[0,T]$ , если $\mathbb {P} (Z_{\pi }(T)\geq Z_{\rho }(T))\geq 1$ и $\mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))>0$ оба держатся; Этот относительный арбитраж называется «сильным», если $\mathbb {P} (Z_{\pi }(T)>Z_{\rho }(T))=1.$ Когда $\rho$ является $\kappa \equiv 0,$ Мы восстанавливаем обычное определение арбитража по сравнению с наличными. Мы говорим, что данная стратегия $\nu$ имеет свойство Numeraire , если для какой -либо стратегии $\pi$ соотношение $Z_{\pi }/Z_{\nu }$ является а $\mathbb {P}$ −supermartingale. В таком случае процесс $1/Z_{\nu }$ называется «дефлятором» для рынка.

не Арбитраж возможно, в течение любого данного времени по времени, относительно стратегии $\nu$ это имеет свойство цифры (либо в отношении базовой меры вероятности $\mathbb {P}$ или в отношении любой другой меры вероятности, которая эквивалентна $\mathbb {P}$ ) Стратегия $\nu$ С собственности численности максимизирует асимптотические темпы роста от инвестиций, в том смысле, что это

\limsup _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\pi }(T)}{Z_{\nu }(T)}}\right)\leq 0

держит для любой стратегии $\pi$ ; Это также максимизирует ожидаемую логарифмичесть от инвестиций, в том смысле, что для любой стратегии $\pi$ и реальное число $T>0$ у нас есть

\mathbb {E} [\log(Z_{\pi }(T)]\leq \mathbb {E} [\log(Z_{\nu }(T))].

Если вектор $\alpha (t)=(\alpha _{1}(t),\cdots ,\alpha _{n}(t))'$ мгновенных показателей доходности и матрицы $\sigma (t)=(\sigma (t))_{1\leq i,j\leq n}$ мгновенных ковариаций, известны, затем стратегия

\nu (t)=\arg \max _{p\in \mathbb {R} ^{n}}(p'\alpha (t)-{\tfrac {1}{2}}p'\alpha (t)p)\qquad {\text{ for all }}0\leq t<\infty

имеет свойство числовода, когда будет достигнут указанный максимум.

Изучение портфеля Numeraire связывает SPT с так называемым эталонным подходом к математическим финансам, который принимает такой портфель цифр, как приведено, и обеспечивает способ цены претензии без каких-либо дополнительных предположений.

Мера вероятности $\mathbb {Q}$ называется эквивалентной мерой Мартингейла (EMM) на данном хоризоне с временем $[0,T]$ , если он имеет те же нулевые наборы, как и $\mathbb {P}$ на ${\mathcal {F}}_{T}$ и если процессы $X_{1}(t),\dots ,X_{n}(t)$ с $0\leq t\leq T$ все $\mathbb {Q}$ −martingales. Предполагая, что такой EMM существует, арбитраж невозможен на $[0,T]$ относительно любых денег $\kappa$ или в портфель рынка $\mu$ (или, в целом, относительно любого стратегия $\rho$ чей процесс богатства $Z_{\rho }$ это мартингейл под каким -то EMM). И наоборот, если $\pi ,\rho$ портфели, и один из них - арбитраж относительно другого на $[0,T]$ тогда на этом горизонте не может существовать ни один.

Функционально сгенерированные портфели

Предположим, нам дают плавную функцию $G:U\rightarrow (0,\infty )$ в некотором районе $U$ устройства Simply in $\mathbb {R} ^{n}$ Полем Мы называем

\pi _{i}^{\mathbb {G} }(t):=\mu _{i}(t)\left(D_{i}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))+1-\sum _{j=1}^{n}\mu _{j}(t)D_{j}\log(\mathbb {G} (\mu (t)))\right)\qquad {\text{ for }}1\leq i\leq n

портфель , генерируемый функцией $\mathbb {G}$ Полем Можно показать, что все веса этого портфеля неотрицательные, если его генерирующая функция $\mathbb {G}$ вогнутый. При легких условиях относительная производительность этого функционально сгенерированного портфеля $\pi _{\mathbb {G} }$ в отношении портфеля рынка $\mu$ дается разложением FG

\log \left({\frac {Z_{\pi ^{\mathbb {G} }}(T)}{Z_{\mu }(T)}}\right)=\log \left({\frac {\mathbb {G} (\mu (T))}{\mathbb {G} (\mu (0))}}\right)+\int _{0}^{T}g(t)\,dt

который не включает в себя стохастические интегралы. Здесь выражение

g(t):={\frac {-1}{2\mathbb {G} (\mu (t))}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}D_{ij}^{2}\mathbb {G} (\mu (t))\mu _{i}(t)\mu _{j}(t)\tau _{ij}^{\mu }(t)

называется процессом дрейфа портфеля (и это неотрицательное количество, если генерирующая функция $\mathbb {G}$ вогнутый); и количества

\tau _{ij}^{\mu }(t):=\sum _{\nu =1}^{n}(\xi _{i\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t))(\xi _{j\nu }(t)-\xi _{\nu }^{\mu }(t)),\qquad \xi _{i\nu }(t):=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\xi _{i\nu }(t)

с $1\leq i,j\leq n$ называются относительной ковариацией между $\log(X_{i})$ и $\log(X_{j})$ Что касается рынка.

Примеры

Постоянная функция $\mathbb {G} :=w>0$ генерирует рыночный портфель $\mu$ ,
Функция средней геометрии $\mathbb {H} (x):=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}$ генерирует портфель с равным взрывом $\varphi _{i}(n)={\frac {1}{n}}$ для всех $1\leq i\leq n$ ,
Модифицированная функция энтропии $\mathbb {S} ^{c}(x)=c-\sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \log(x_{i})$ для любого $c>0$ генерирует модифицированное портфель энтропии, взвешенное ,
Функция $\mathbb {D} ^{(p)}(x):=(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p})^{\frac {1}{p}}$ с $0<p<1$ генерирует взвешенное разнообразие портфель $\delta _{i}^{(p)}(t)={\frac {(\mu _{i}(t))^{p}}{\sum _{i=1}^{n}(\mu _{i}(t))^{p}}}$ с процессом дрейфа $(1-p)\gamma _{\delta ^{(p)}}^{*}(t)$ .

Арбитраж относительно рынка

Избыточные темпы роста рыночного портфеля признают представление $2\gamma _{\mu }^{*}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\tau _{ii}^{\mu }(t)$ В качестве среднего относительного запаса, взвешенной на капитализацию дисперсия. Это количество неотрицательно; Если это оказалось от нуля, а именно

\gamma _{\mu }^{*}(t)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}(t)\tau _{ii}^{\mu }(t)\geq h>0,

для всех $0\leq t<\infty$ Для какой -то реальной постоянной $h$ , тогда его можно показать, используя разложение FG, что, на каждый $T>\mathbb {S} (\mu (0))/h,$ существует постоянная $c>0$ для которого модифицированный энтропийный портфель $\Theta ^{(c)}$ строгий арбитраж относительно рынка $\mu$ над $[0,T]$ ; См. Фернхольц и Каратзас (2005) для деталей. Это открытый вопрос, существует ли такой арбитраж в течение произвольных временных горизонтов (для двух особых случаев, в Какой ответ на этот вопрос оказывается позитивным, пожалуйста, смотрите абзац ниже и Следующий раздел).

Если собственные значения ковариационной матрицы $(\sigma _{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}$ ограничены от нуля и бесконечности, условия $\gamma _{\mu }^{*}\geq h>0$ может быть показано, что это эквивалентно разнообразию, а именно $\mu _{\max }\leq 1-\varepsilon$ для подходящего $\varepsilon \in (0,1).$ Тогда взвешенное разнообразие портфель $\delta ^{(p)}$ приводит к строгому арбитражу относительно рыночного портфеля в достаточно длительных горизонтов; тогда как подходящие модификации Из этого взвешенного разнообразия портфеля осознает такой строгий арбитраж в течение произвольного времени.

Пример: стабилизированные волатильными рынками рынки

Мы рассмотрим пример системы стохастических дифференциальных уравнений

d\log(X_{i}(t))={\frac {\alpha }{2\mu _{i}(t)}}\,dt+{\frac {\sigma }{\mu _{i}(t)}}\,dW_{i}(t)

с $1\leq i\leq n$ давая реальные постоянные $\alpha \geq 0$ и $n$ -Сязное движение коричневого цвета $(W_{1},\dots ,W_{n}).$ Из работы Bass and Perkins (2002) следует, что эта система имеет слабое решение, которое является уникальным по распределению. Фернхольц и Каратзас (2005) показывают, как построить это решение с точки зрения масштабированных и изменяемых временем квадратных процессов Бесселя , и доказать, что полученная система является согласованной.

Общая рыночная капитализация $X$ ведет себя здесь как геометрическое движение Браун с дрейфом и имеет такой же постоянный скорость роста, что и самый большой запас; тогда как избыточные темпы роста рынка Портфолио является положительной постоянной. С другой стороны, относительные веса рынка $\mu _{i}$ с $1\leq i\leq n$ Иметь динамику мультиалельских процессов Райта-Фишера . Эта модель является примером рынка, не связанного с диеобразом с неограниченными отклонениями, в котором сильные арбитражные возможности в отношении рыночного портфеля $\mu$ Существуют в течение произвольных временных горизонтов , как было показано Banner and Fernholz (2008). Более того, PAL (2012) получил суставную плотность весов рынка в фиксированное время и в определенное время остановки.

Ранные портфели

Мы исправляем целое число $m\in \{2,\dots ,n-1\}$ и построить два взвешенных на заглавные портфели: один состоит из вершины $m$ акции, обозначены $\zeta$ и один, состоящий из дна $n-m$ акции, обозначены $\eta$ Полем Более конкретно,

\zeta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=1}^{m}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=1}^{m}\mu _{(l)}(t)}}\qquad {\text{ and }}\eta _{i}(t)={\frac {\sum _{k=m+1}^{n}\mu _{(k)}(t)\mathbf {1} _{\{\mu _{i}(t)=\mu _{(k)}(t)\}}}{\sum _{l=m+1}^{n}\mu _{(l)}(t)}}

для $1\leq i\leq n.$ Фернхольц (1999), (2002) показал, что относительная производительность портфеля большого стока по отношению к рынку дается как

\log \left({\frac {Z_{\zeta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(1)}(T)+\cdots +\mu _{(m)}(T)}{\mu _{(1)}(0)+\cdots +\mu _{(m)}(0)}}\right)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m)}(t)}{\mu _{(1)}(t)+\cdots +\mu _{(m)}(t)}}\,d\Lambda ^{(m,m+1)}(t).

Действительно, если во время интервала нет оборота. $[0,T]$ , судьба $\zeta$ родственник На рынке определяются исключительно на основании того, как общая капитализация этого суб-универсального принадлежащий $m$ крупнейшие тарифы на акции, в то время $T$ против времени 0; Когда бывает оборот в $m$ -Т -звание, хотя, $\zeta$ должен продать с убытком акцию, которая «переведена» в нижнюю лигу, и купить акцию Это поднялось по стоимости и было повышено. Это объясняет «утечку», которая очевидна в Последний термин, интеграл по отношению к процессу совокупного оборота $\Lambda ^{(m,m+1)}$ относительного веса в портфеле большой капитализации $\zeta$ из акций, который занимает MTH Rank.

Обратная ситуация преобладает с портфелем $\eta$ небольших акций, которые могут продавать с прибыльными акциями, которые продвигаются в лиге «верхняя капитализация», и покупают относительно дешевые акции, которые понижаются:

\log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\log \left({\frac {\mu _{(m+1)}(T)+\cdots +\mu _{(n)}(T)}{\mu _{(m+1)}(0)+\cdots +\mu _{(n)}(0)}}\right)+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\mu _{(m+1)}(t)}{\mu _{(m+1)}(t)+\cdots +\mu _{(n)}(t)}}.

Из этих двух выражений ясно, что на последовательном и стохастически стабильном рынке, малый Портфолио с кап-ключом $\zeta$ склонен превзойти свой коллега с большим актом $\eta$ , по крайней мере, за Большие временные горизонты и; в частности, мы имеем в этих условиях

\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\log \left({\frac {Z_{\eta }(t)}{Z_{\mu }(t)}}\right)=\lambda ^{(m,m+1)}\mathbb {E} \left({\frac {M_{(1)}}{M_{(1)}+\cdots +M_{(m)}}}+{\frac {M_{(m+1)}}{M_{(m+1)}+\cdots +M_{(n)}}}\right)>0.

Это количественно определяет так называемый эффект размера . В Fernholz (1999, 2002), подобные конструкции, как они обобщены, чтобы включить функционально сгенерированные портфели на основе ранговых рыночных весов.

Модели первого и второго порядка

Модели первого и второго порядка- это модели гибридных атласов, которые воспроизводят некоторые структуры реальных фондовых рынков. Модели первого порядка имеют только ранг параметры, а модели второго порядка имеют как на основе рангов, так и на основе имен параметры.

Предположим, это $X_{1},\ldots ,X_{n}$ является последовательным рынком, и что ограничения

\mathbf {\sigma } _{k}^{2}=\lim _{t\to \infty }t^{-1}\langle \log \mu _{(k)}\rangle (t)

и

\mathbf {g} _{k}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{r_{t}(i)=k\}}\,d\log \mu _{i}(t)

существуют для $k=1,\ldots ,n$ , где $r_{t}(i)$ это звание $X_{i}(t)$ Полем Тогда модель атласа ${\widehat {X}}_{1},\ldots ,{\widehat {X}}_{n}$ определяется

d\log {\widehat {X}}_{i}(t)=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {g} _{k}\,\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dt+\sum _{k=1}^{n}\mathbf {\sigma } _{k}\mathbf {1} _{\{{\hat {r}}_{t}(i)=k\}}\,dW_{i}(t),

где ${\hat {r}}_{t}(i)$ это звание ${\widehat {X}}_{i}(t)$ и $(W_{1},\ldots ,W_{n})$ является $n$ -Сянный процесс движения Брауна, является моделью первого порядка для оригинального рынка, $X_{1},\ldots ,X_{n}$ .

В разумных условиях кривая распределения капитала для модели первого порядка будет близка к оригинальному рынку. Тем не менее, модель первого порядка является эргодичной в том смысле, что каждый запас асимптотически тратит $(1/n)$ -К -в своем времени на каждом ранении, свойство, которое не присутствует на реальных рынках. Чтобы варьировать время времени, которое акции тратят на каждое ранжирование, необходимо использовать некоторую форму модели гибридного атласа с параметрами, которые зависят как от ранга, так и от имени. Усилия в этом направлении были предприняты Фернхользом, Ичибой и Каратзасом (2013), которые представили модель второго порядка для рынка с параметрами роста на основе рангов и имен, а также параметры дисперсии, которые зависели только от ранга.

Ссылки

Фернхольц, он (2002). Стохастическая теория портфеля . Нью-Йорк: Springer-Verlag.