Теорема о ядре Пеано

В численном анализе теорема ядра Пеано представляет собой общий результат об границах погрешности для широкого класса числовых приближений (таких как числовые квадратуры ), определенных в терминах линейных функционалов . Приписывается Джузеппе Пеано .

Заявление

Позволять ${\mathcal {V}}[a,b]$ быть пространством всех функций $f$ которые дифференцируемы по $(a,b)$ которые имеют вариацию ограниченную $[a,b]$, и пусть $L$ быть линейным функционалом на ${\mathcal {V}}[a,b]$. Предположим, что это $L$ аннулирует все многочлены степени $\leq \nu$, то есть $$Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].$$Предположим далее, что для любой двумерной функции $g(x,\theta )$ с $g(x,\cdot ),\,g(\cdot ,\theta )\in C^{\nu +1}[a,b]$, справедливо следующее: $$L\int _{a}^{b}g(x,\theta )\,d\theta =\int _{a}^{b}Lg(x,\theta )\,d\theta ,$$и определим ​​Пеано ядро $L$ как $$k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],$$используя обозначения $$(x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}$$Теорема о ядре Пеано утверждает, что если $k\in {\mathcal {V}}[a,b]$, то для каждой функции $f$ то есть ${\textstyle \nu +1}$ раз непрерывно дифференцируемы , имеем $$Lf={\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta .$$

Границы

Несколько ограничений на значение $Lf$ следует из этого результата: $${\begin{aligned}|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{1}\|f^{(\nu +1)}\|_{\infty }\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{\infty }\|f^{(\nu +1)}\|_{1}\\[5pt]|Lf|&\leq {\frac {1}{\nu !}}\|k\|_{2}\|f^{(\nu +1)}\|_{2}\end{aligned}}$$

где $\|\cdot \|_{1}$, $\|\cdot \|_{2}$ и $\|\cdot \|_{\infty }$— такси , евклидова и максимальная нормы соответственно.

Приложение

На практике основным применением теоремы о ядре Пеано является определение погрешности приближения, точного для всех $f\in \mathbb {P} _{\nu }$. Приведенная выше теорема следует из полинома Тейлора для $f$ с целым остатком:

${\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(x-a)f'(a)+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(x-a)^{\nu }}{\nu !}}f^{(\nu )}(a)+{\frac {1}{\nu !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}$

определение $L(f)$ как ошибка аппроксимации, линейность используя $L$ вместе с точностью для $f\in \mathbb {P} _{\nu }$ уничтожить все, кроме последнего члена в правой части, и используя $(\cdot )_{+}$ обозначение, позволяющее удалить $x$-зависимость от интегральных пределов.

См. также

• Разделенные различия