Личность Ли Шанланя

В математике , в комбинаторике , тождество Ли Шаньланя (также называемое формулой суммирования Ли Шаньланя ) — это некое комбинаторное тождество, приписываемое китайскому математику девятнадцатого века Ли Шаньлану . Поскольку Ли Шаньлань также известен как Ли Реншу (его любезное имя ), эту личность также называют личностью Ли Реншу . Это тождество появляется в третьей главе Дуоцзи билей (垛积比类/垛積比類, что означает суммирование конечных рядов ), математического текста, написанного Ли Шанланом и опубликованного в 1867 году как часть его собрания сочинений. Чешский математик Йозеф Кауки опубликовал элементарное доказательство тождества вместе с историей тождества в 1964 году. Кауки приписал это имя некоему Ли Джен-Шу. Из истории личности было установлено, что Ли Джен-Шу на самом деле является Ли Шанланом. Западные ученые изучали китайскую математику из-за ее исторической ценности; но приписывание этого тождества китайскому математику девятнадцатого века вызвало переосмысление математической ценности работ китайских математиков.

«На Западе Ли больше всего помнят благодаря комбинаторной формуле, известной как «тождество Ли Реншу», которую он вывел, используя только традиционные китайские математические методы».

Личность

Личность Ли Шанланя гласит, что

$\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}={{n+p} \choose p}^{2}$.

Ли Шанлань не представил свою личность таким образом. Он представил это в традиционном китайском алгоритмическом и риторическом ключе.

Подтверждения личности

Ли Шаньлань не предоставил удостоверения личности в Дуоцзи билей . Первое доказательство с использованием дифференциальных уравнений и полиномов Лежандра, концепций, чуждых Ли, было опубликовано Палом Тураном в 1936 году, а доказательство появилось на китайском языке в Юнг Чанга , опубликованной в 1939 году. статье С тех пор было найдено как минимум пятнадцать различных доказательств. Ниже приводится одно из простейших доказательств.

Доказательство начинается с выражения $n \choose q$ как свертка Вандермонда :

${n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}$

Предварительно умножив обе части на $n \choose p$,

${n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{n \choose p}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}$.

Используя следующее соотношение

${n \choose p}{{n-p} \choose k}={{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}$

приведенное выше соотношение можно преобразовать к

${n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{p \choose {q-k}}{{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}$.

Далее отношение

${p \choose {q-k}}{{p+k} \choose {k}}={q \choose k}{{p+k} \choose {q}}$

используется для получения

${n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{{p+k} \choose q}$.

Другое применение свертки Вандермонда дает

${{p+k} \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}$

и, следовательно,

${n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}$

С $p \choose j$ не зависит от k , это можно представить в виде

${n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{k \choose {q-j}}$

Далее результат

${q \choose k}{k \choose {q-j}}={q \choose j}{j \choose {q-k}}$

дает

${n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose j}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}$

$=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}\sum _{k=0}^{q}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}$

$=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}{{n+j} \choose {p+q}}$

Полагая p = q и заменяя j на k ,

${n \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+k} \choose {2p}}$

Тождество Ли следует из этого путем замены n на n + p и некоторой перестановки членов в полученном выражении:

${{n+p} \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}$

О Дуодзи билей

Термин дуодзи обозначает определенный традиционный китайский метод вычисления суммы стопок. Большая часть математики, развивавшейся в Китае с шестнадцатого века, связана с методом дуодзи . Ли Шаньлань был одним из величайших представителей этого метода, и Дуоцзи билей представляет собой изложение его работы, связанной с этим методом. Duoji bilei состоит из четырех глав: глава 1 посвящена треугольным сваям, глава 2 — рядам по конечной степени, глава 3 — треугольным самоумножающимся сваям и глава 4 — модифицированным треугольным сваям.